2 定义与命题
第1课时 定义与命题
1下列语句是命题的是( )
A.画一条直线 B.正数都大于零
C.同位角相等吗 D.明天晴天吗
2(2024·浏阳质检)下列命题是真命题的是( )
A.在平面直角坐标系中,点P(-3,0)在y轴上
B.同旁内角互补
C.一次函数y=2x+3中,y随着x的增大而减小
D.的算术平方根是3
3下列命题的逆命题成立的是( )
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.对顶角相等
D.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
4(2024·大连质检)已知下列命题:①若>1,则a>b;②若a+b=0,则|a|=|b|;③等边三角形的三个内角都相等;④底角相等的两个等腰三角形全等;⑤直角三角形的两锐角互余.其中原命题与逆命题均为真命题的是 .(只填写序号)
5下列选项中a,b的取值,可以说明“若a>b,则|a|>|b|”是假命题的反例为( )
A.a=-5,b=-6 B.a=6,b=5
C.a=-6,b=5 D.a=6,b=-5
6将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式,可写成 ,该命题是 (填“真命题”或“假命题”).
7(2024·杭州期末)如图,在△ABC中,点D,E在BC上,BD=DE=EC.
(1)从①AB=AC,②AD=AE中,选择一个作为条件,另外一个作为结论,构成一个真命题,并证明;条件: ,结论: (填序号).
(2)在(1)的条件下,当AD=DE时,求∠BAC的度数.
8[推理能力、运算能力]借助有理数的运算,对任意有理数a,b,定义一种新运算“ ”,规则如下:a b=|a+b|.例如,2 (-1)=|2+(-1)|=1.
(1)填空:①7 (-3)= ;②-2 x=5,则x= ;
(2)我们知道有理数加法运算具有结合律,即(a+b)+c=a+(b+c),请你探究这种新运算“ ”是否也一定具有结合律 若一定具有,请说明理由;若不一定具有,请举一个反例说明.第2课时 定理与证明
1(2024·南宁质检)已知下列命题中:
①有两条边分别相等的两个直角三角形全等;
②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等;
③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等;
④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2下列命题的逆命题是假命题的是( )
A.到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
B.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C.如果a=b,那么a2=b2
D.△ABC中,如果BC2+AC2=AB2,那么∠C=90°
3以下4个命题:
①三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分;
②三角形的三条高所在的直线的交点一定在三角形的内部;
③直角三角形两锐角互余;
④△ABC中,若∠A=2∠B=3∠C,则△ABC为直角三角形.
其中真命题的个数是 .
4下列命题中:①两点的所有连线中,线段最短;②不等式两边加同一个数,不等号的方向改变;③等式两边加同一个数,结果仍相等.是假命题的是 .(填编号)
5 (2024·株洲质检)如图,在△ABD和△ACE中,有①AB=AC;②AD=AE;③∠1=∠2;
④BD=CE.
(1)以①②③④中的任意三个作为条件,第四个作为结论,可以组成以下四个命题:
命题一:条件是①②③,结论是④.
命题二:条件是①②④,结论是③.
命题三:条件是②③④,结论是①.
命题四:条件是①③④,结论是②.
其中真命题是 ;
(2)请你选择一个真命题进行证明,你选择 .
6[推理能力](2024·东营期末)在学习了全等三角形和等边三角形的知识后,张老师出了如下一道题:如图,点B是线段AC上任意一点,分别以AB,BC为边在AC同一侧作等边△ABD和等边△BCE,连接CD,AE分别与BE和DB交于点N,M,连接MN.求证:△ABE≌△DBC.
接着张老师又让学生分小组进行探究:你还能得出什么结论
精英小组探究的结论是AM=DN.
奋斗小组探究的结论是△EMB≌△CNB.
创新小组探究的结论是MN∥AC.
(1)你认为哪一小组探究的结论是正确的
(2)选择其中你认为正确的一种情形加以证明.2 定义与命题
第1课时 定义与命题
1下列语句是命题的是(B)
A.画一条直线 B.正数都大于零
C.同位角相等吗 D.明天晴天吗
2(2024·浏阳质检)下列命题是真命题的是(D)
A.在平面直角坐标系中,点P(-3,0)在y轴上
B.同旁内角互补
C.一次函数y=2x+3中,y随着x的增大而减小
D.的算术平方根是3
3下列命题的逆命题成立的是(D)
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.对顶角相等
D.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
4(2024·大连质检)已知下列命题:①若>1,则a>b;②若a+b=0,则|a|=|b|;③等边三角形的三个内角都相等;④底角相等的两个等腰三角形全等;⑤直角三角形的两锐角互余.其中原命题与逆命题均为真命题的是 ③⑤ .(只填写序号)
5下列选项中a,b的取值,可以说明“若a>b,则|a|>|b|”是假命题的反例为(A)
A.a=-5,b=-6 B.a=6,b=5
C.a=-6,b=5 D.a=6,b=-5
6将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式,可写成 如果两个角是等角的补角,那么这两个角相等 ,该命题是 真命题 (填“真命题”或“假命题”).
7(2024·杭州期末)如图,在△ABC中,点D,E在BC上,BD=DE=EC.
(1)从①AB=AC,②AD=AE中,选择一个作为条件,另外一个作为结论,构成一个真命题,并证明;条件:________,结论:________(填序号).
(2)在(1)的条件下,当AD=DE时,求∠BAC的度数.
【解析】(1)条件:AB=AC;结论:AD=AE.
因为AB=AC,所以∠B=∠C,
在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE.
答案:① ②
(2)因为AD=AE,AD=DE,
所以△ADE是等边三角形,
所以∠ADE=∠AED=∠DAE=60°,
所以∠B+∠BAD+∠C+∠CAE=180°-60°=120°,
因为DE=BD=CE=AD=AE,
所以∠B=∠BAD,∠C=∠CAE,所以∠BAD+∠CAE=(∠B+∠BAD+∠C+∠CAE)
=60°,所以∠BAC=60°+60°=120°.
8[推理能力、运算能力]借助有理数的运算,对任意有理数a,b,定义一种新运算“ ”,规则如下:a b=|a+b|.例如,2 (-1)=|2+(-1)|=1.
(1)填空:①7 (-3)=________;②-2 x=5,则x=________;
(2)我们知道有理数加法运算具有结合律,即(a+b)+c=a+(b+c),请你探究这种新运算“ ”是否也一定具有结合律 若一定具有,请说明理由;若不一定具有,请举一个反例说明.
【解析】(1)①7 (-3)=|7+(-3)|=4.
答案:4
②由题意知,-2 x=|-2+x|,
所以|-2+x|=5,
所以-2+x=±5,
解得x=7或x=-3.
答案:7或-3
(2)“ ”不一定具有结合律,
反例:当a=7,b=-3,c=2时,
(a b) c=|7+(-3)| 2
=4 2
=|4+2|
=6,
a (b c)=7 |-3+2|
=7 1
=|7+1|
=8,
此时,(a b) c≠a (b c),
所以“ ”不一定具有结合律.第2课时 定理与证明
1(2024·南宁质检)已知下列命题中:
①有两条边分别相等的两个直角三角形全等;
②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等;
③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等;
④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等.
其中真命题的个数是(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
2下列命题的逆命题是假命题的是(C)
A.到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
B.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C.如果a=b,那么a2=b2
D.△ABC中,如果BC2+AC2=AB2,那么∠C=90°
3以下4个命题:
①三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分;
②三角形的三条高所在的直线的交点一定在三角形的内部;
③直角三角形两锐角互余;
④△ABC中,若∠A=2∠B=3∠C,则△ABC为直角三角形.
其中真命题的个数是 2 .
4下列命题中:①两点的所有连线中,线段最短;②不等式两边加同一个数,不等号的方向改变;③等式两边加同一个数,结果仍相等.是假命题的是 ② .(填编号)
5 (2024·株洲质检)如图,在△ABD和△ACE中,有①AB=AC;②AD=AE;③∠1=∠2;
④BD=CE.
(1)以①②③④中的任意三个作为条件,第四个作为结论,可以组成以下四个命题:
命题一:条件是①②③,结论是④.
命题二:条件是①②④,结论是③.
命题三:条件是②③④,结论是①.
命题四:条件是①③④,结论是②.
其中真命题是 命题一和命题二 ;
(2)请你选择一个真命题进行证明,你选择 命题二(答案不唯一) .
6[推理能力](2024·东营期末)在学习了全等三角形和等边三角形的知识后,张老师出了如下一道题:如图,点B是线段AC上任意一点,分别以AB,BC为边在AC同一侧作等边△ABD和等边△BCE,连接CD,AE分别与BE和DB交于点N,M,连接MN.求证:△ABE≌△DBC.
接着张老师又让学生分小组进行探究:你还能得出什么结论
精英小组探究的结论是AM=DN.
奋斗小组探究的结论是△EMB≌△CNB.
创新小组探究的结论是MN∥AC.
(1)你认为哪一小组探究的结论是正确的
(2)选择其中你认为正确的一种情形加以证明.
【解析】(1)三个小组探究的结论都正确;
(2)∵△ABD和△BCE是等边三角形,
∴AB=BD,BC=BE,∠ABD=∠CBE=60°,
∴∠ABE=∠DBC,
在△ABE与△DBC中,,
∴△ABE≌△DBC(SAS),
∴∠BAM=∠BDN,∠AEB=∠DCB,
在△ABM与△DBN中,
,
∴△ABM≌△DBN(ASA),
∴AM=DN,BM=BN,
∵∠MBN=180°-60°-60°=60°,
∴△BMN是等边三角形,
∴∠BMN=60°,
∴∠BMN=∠ABM,
∴NM∥AC,
在△EMB与△CNB中,
,
∴△EMB≌△CNB(ASA).
