3 平行线的判定
知识点1 平行线的判定
1(2024·舟山质检)如图,直线a,b被直线c所截,给出下列条件:①∠3=∠6;②∠1=∠8;③∠4+∠7=180°;④∠5+∠1=180°.其中能判断a∥b的是(B)
A.①③④ B.①②③
C.②④ D.①②
2如图,∠1=∠2=65°,∠C=30°,则下列结论错误的是(C)
A.AB∥CD B.∠B=30°
C.∠EFC=95° D.∠3=35°
3如图,已知直线EF⊥MN,垂足为F,且∠1=140°,若增加一个条件使得AB∥CD,试写出一个符合要求的条件 ∠2=50°(答案不唯一) .
4(2024·宿迁质检)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,连接DE,CD,DF,则下列条件:①∠1=∠3;②∠2=∠4;③∠ACB=∠5;④∠ADE=∠B;⑤∠ACB+
∠CED=180°.不能判定AC∥DF的有 ②④⑤ (填序号).
知识点2 平行线判定综合运用
5如图,已知∠1=40°,∠C=130°,且AF⊥AB,则下列关系式中不正确的是(D)
A.AF⊥CD B.AB∥CD
C.∠2+∠C=180° D.∠1+∠2=∠C
6如图,O是直线AB上一点,OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=110°,添加一个条件,仍不能判定AB∥CD,添加的条件可能是(C)
A.∠BOE=55°
B.∠DOF=35°
C.∠BOE+∠AOF=90°
D.∠AOF=35°
7(2024·北京质检)如图,∠A=58°,∠D=122°,∠1=3∠2,∠2=25°,点P是BC上一点.
(1)∠DFE的度数为 75° ;
(2)若∠BFP=50°,则CE与PF 平行 (填“平行”或“不平行”).
8如图,点E,F分别在AB,CD上,AF⊥CE于点O,∠1=∠B,∠A+∠2=90°,求证:AB∥CD.请填空.
证明:∵AF⊥CE(已知),
∴∠AOE=90°(_________).
又∵∠1=∠B(________),
∴_________(__________ ),
∴∠AFB=∠AOE(__________________),
∴∠AFB=90°(__________).
又∵∠AFC+∠AFB+∠2=_________(平角的定义),
∴∠AFC+∠2=(________)°.
又∵∠A+∠2=90°(已知),
∴∠A=∠AFC(___________________),
∴____________________(内错角相等,两直线平行).
【解析】∵AF⊥CE(已知),
∴∠AOE=90°(垂直的定义).
又∵∠1=∠B(已知),
∴CE∥BF(同位角相等,两直线平行),
∴∠AFB=∠AOE(两直线平行,同位角相等),
∴∠AFB=90°(等量代换).
又∵∠AFC+∠AFB+∠2=180°(平角的定义),
∴∠AFC+∠2=(90)°.
又∵∠A+∠2=90°(已知),
∴∠A=∠AFC(同角的余角相等),
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
9若将一副三角板按如图所示的方式放置,则下列结论正确的是(B)
A.∠1=∠2
B.如果∠2=30°,那么AC∥DE
C.如果∠2=45°,那么∠4=∠D
D.如果∠2=50°,那么BC∥AE
10完成下面的证明.
如图,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠α+∠β=90°,求证:AB∥CD.
完成推理过程:
BE平分∠ABD(已知),
∴∠ABD=2∠α( 角平分线的定义 ).
∵DE平分∠BDC(已知),
∴∠BDC=2∠β( 角平分线的定义 ),
∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)( 等量代换 ),
∵∠α+∠β=90°(已知),
∴∠ABD+∠BDC=180°( 等量代换 ).
∴AB∥CD( 同旁内角互补,两直线平行 ).
11[推理能力、运算能力]如图1,点A(a,6)在第一象限,点B(0,b)在y轴负半轴上,且a,b满足:(a-2)2+|b+4|=0.
(1)求△AOB的面积.
(2)若线段AB与x轴相交于点C,在点C的右侧x轴上是否存在点D,使S△ACD=S△BOC 若存在,求出D点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,若∠AOx=60°,射线OA绕O点以每秒4°的速度顺时针旋转到OA',射线OB绕B点以每秒10°的速度顺时针旋转到O'B,当OB转动一周时两者都停止运动.若两射线同时开始运动,在旋转过程中,经过多长时间,OA'∥O'B
【解析】(1)∵(a-2)2+|b+4|=0.
∴a-2=0,b+4=0,
解得a=2,b=-4,
∴A(2,6),B(0,-4),
△AOB的面积为×4×2=4;
(2)存在.设直线AB的关系式为y=mx+n,
∵直线过A(2,6),B(0,-4)两点,
∴,
解得,
∴直线AB的关系式为y=x-4,
当y=0时,x=,
∴C(,0),
设D(t,0),
∵S△ACD=S△BOC,
∴×6×(t-)=×4×,
解得t=,
∴D点坐标为(,0);
(3)设x秒后OA'∥O'B,由题意得:
①当∠1=∠2时,(90-60)+4x=10x,
解得x=5;
②当∠3=∠4时,180-(30+4x)=360-10x,
解得x=35.
答:在旋转过程中,经过5或35秒,OA'∥O'B.3 平行线的判定
知识点1 平行线的判定
1(2024·舟山质检)如图,直线a,b被直线c所截,给出下列条件:①∠3=∠6;②∠1=∠8;③∠4+∠7=180°;④∠5+∠1=180°.其中能判断a∥b的是( )
A.①③④ B.①②③
C.②④ D.①②
2如图,∠1=∠2=65°,∠C=30°,则下列结论错误的是( )
A.AB∥CD B.∠B=30°
C.∠EFC=95° D.∠3=35°
3如图,已知直线EF⊥MN,垂足为F,且∠1=140°,若增加一个条件使得AB∥CD,试写出一个符合要求的条件 .
4(2024·宿迁质检)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,连接DE,CD,DF,则下列条件:①∠1=∠3;②∠2=∠4;③∠ACB=∠5;④∠ADE=∠B;⑤∠ACB+
∠CED=180°.不能判定AC∥DF的有 (填序号).
知识点2 平行线判定综合运用
5如图,已知∠1=40°,∠C=130°,且AF⊥AB,则下列关系式中不正确的是( )
A.AF⊥CD B.AB∥CD
C.∠2+∠C=180° D.∠1+∠2=∠C
6如图,O是直线AB上一点,OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=110°,添加一个条件,仍不能判定AB∥CD,添加的条件可能是( )
A.∠BOE=55°
B.∠DOF=35°
C.∠BOE+∠AOF=90°
D.∠AOF=35°
7(2024·北京质检)如图,∠A=58°,∠D=122°,∠1=3∠2,∠2=25°,点P是BC上一点.
(1)∠DFE的度数为 ;
(2)若∠BFP=50°,则CE与PF (填“平行”或“不平行”).
8如图,点E,F分别在AB,CD上,AF⊥CE于点O,∠1=∠B,∠A+∠2=90°,求证:AB∥CD.请填空.
证明:∵AF⊥CE(已知),
∴∠AOE=90°( ).
又∵∠1=∠B( ),
∴ ( ),
∴∠AFB=∠AOE( ),
∴∠AFB=90°( ).
又∵∠AFC+∠AFB+∠2= (平角的定义),
∴∠AFC+∠2=( )°.
又∵∠A+∠2=90°(已知),
∴∠A=∠AFC( ),
∴ (内错角相等,两直线平行).
9若将一副三角板按如图所示的方式放置,则下列结论正确的是( )
A.∠1=∠2
B.如果∠2=30°,那么AC∥DE
C.如果∠2=45°,那么∠4=∠D
D.如果∠2=50°,那么BC∥AE
10完成下面的证明.
如图,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠α+∠β=90°,求证:AB∥CD.
完成推理过程:
BE平分∠ABD(已知),
∴∠ABD=2∠α( ).
∵DE平分∠BDC(已知),
∴∠BDC=2∠β( ),
∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)( ),
∵∠α+∠β=90°(已知),
∴∠ABD+∠BDC=180°( ).
∴AB∥CD( ).
11[推理能力、运算能力]如图1,点A(a,6)在第一象限,点B(0,b)在y轴负半轴上,且a,b满足:(a-2)2+|b+4|=0.
(1)求△AOB的面积.
(2)若线段AB与x轴相交于点C,在点C的右侧x轴上是否存在点D,使S△ACD=S△BOC 若存在,求出D点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,若∠AOx=60°,射线OA绕O点以每秒4°的速度顺时针旋转到OA',射线OB绕B点以每秒10°的速度顺时针旋转到O'B,当OB转动一周时两者都停止运动.若两射线同时开始运动,在旋转过程中,经过多长时间,OA'∥O'B
