4 平行线的性质
知识点1 平行线的性质
1已知,如图,AB∥CD,∠A=70°,则∠ACD=( )
A.55° B.70° C.40° D.110°
2如图,一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,点F为焦点.若∠1=155°,∠2=30°,则∠3的度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
3如图,D为△ABC中BA延长线上一点,AE∥BC,若∠1=∠2,∠BAC=36°,则∠B= °.
4(2024·海口质检)如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠BAD=70°,∠BCD=40°,则∠BED的度数为 .
知识点2 平行线性质的综合运用
5(2024·邯郸期末)把一副三角板放在水平桌面上,摆放成如图所示形状,若DE∥AB,则∠1的度数为( )
A.105° B.115° C.120° D.135°
6如图,含有30°角的直角三角板的两个顶点E,F放在一个长方形的对边上,点E为直角顶点,∠EFG=30°,延长EG交CD于点P,如果∠1=65°,那么∠2的度数是 .
7填写下列证明过程及推理依据.
已知:如图所示,AC,BD交于点O,DF平分∠CDO与AC相交于点F,BE平分∠ABO与AC相交于点E,∠A=∠C.
求证:∠CDF=∠ABE.
证明:∵∠A=∠C(已知),
∴AB∥CD( ),
∴∠ABO=∠CDO( ),
∵DF平分∠CDO,BE平分∠ABO(已知),
∴∠CDF= ,∠ABE= (角平分线定义).
∴∠CDF=∠ABE( ).
8 (2024·贵阳期末)如图,△ABC的角平分线CD,BE相交于F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG于G,则下列结论中:①∠CEG=2∠DCB;②∠DFB=∠CGE;③CA平分∠BCG;④∠ADC=∠GCD.正确的结论是( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
9如图,在△ABC中,以点B为圆心,适当的长度为半径画弧分别交BA,BC边于点P,Q,再分别以点P,Q为圆心,以大于PQ的长为半径画弧,两弧交于点M,连接BM交AC于点E,过点E作ED∥BC交AB于点D,若AB=7,AE=3,则△ADE的周长为 .
10如图,将长方形ABCD沿EF翻折,再沿ED翻折,若∠FEA″=105°,则∠CFE= 度.
11“一带一路”让中国和世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A,D两座可旋转探照灯.假定主道路是平行的,即PQ∥CN,A,B为PQ上两点,AD平分∠CAB交CN于点D,E为AD上一点,连接BE,AF平分∠BAD交BE于点F.
(1)若∠C=40°,求∠EAP的大小;
(2)作AG交CD于点G,且满足∠1=∠ADC,当∠2+∠GAF=180°时,试说明:AC∥BE.
12[几何直观、推理能力]
(1)【感知】如图①,若AB∥CD,AM平分∠BAC,求证:∠CAM=∠CMA.
请将下列证明过程补充完整:
证明:∵AM平分∠BAC,(已知),
∴∠CAM= (角平分线的定义).
∵AB∥CD(已知),
∴∠CMA= (两直线平行,内错角相等).
∴∠CAM=∠CMA(等量代换).
(2)【探索】如图②,AM平分∠BAC,∠CAM=∠CMA,点E在射线AB上,点F在线段CM上,若∠AEF=∠C,求证:EF∥AC.
(3)【拓展】如图③,将【探索】中的点F移动到线段CM的延长线上,其他条件不变,若∠CAM=3∠MEF=57°,请直接写出∠AME的度数.4 平行线的性质
知识点1 平行线的性质
1已知,如图,AB∥CD,∠A=70°,则∠ACD=(B)
A.55° B.70° C.40° D.110°
2如图,一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,点F为焦点.若∠1=155°,∠2=30°,则∠3的度数为(C)
A.35° B.45° C.55° D.65°
3如图,D为△ABC中BA延长线上一点,AE∥BC,若∠1=∠2,∠BAC=36°,则∠B= 72 °.
4(2024·海口质检)如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠BAD=70°,∠BCD=40°,则∠BED的度数为 55° .
知识点2 平行线性质的综合运用
5(2024·邯郸期末)把一副三角板放在水平桌面上,摆放成如图所示形状,若DE∥AB,则∠1的度数为(A)
A.105° B.115° C.120° D.135°
6如图,含有30°角的直角三角板的两个顶点E,F放在一个长方形的对边上,点E为直角顶点,∠EFG=30°,延长EG交CD于点P,如果∠1=65°,那么∠2的度数是 115° .
7填写下列证明过程及推理依据.
已知:如图所示,AC,BD交于点O,DF平分∠CDO与AC相交于点F,BE平分∠ABO与AC相交于点E,∠A=∠C.
求证:∠CDF=∠ABE.
证明:∵∠A=∠C(已知),
∴AB∥CD( 内错角相等,两直线平行 ),
∴∠ABO=∠CDO( 两直线平行,内错角相等 ),
∵DF平分∠CDO,BE平分∠ABO(已知),
∴∠CDF= ∠CDO ,∠ABE= ∠ABO (角平分线定义).
∴∠CDF=∠ABE( 等量代换 ).
8 (2024·贵阳期末)如图,△ABC的角平分线CD,BE相交于F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG于G,则下列结论中:①∠CEG=2∠DCB;②∠DFB=∠CGE;③CA平分∠BCG;④∠ADC=∠GCD.正确的结论是(B)
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
9如图,在△ABC中,以点B为圆心,适当的长度为半径画弧分别交BA,BC边于点P,Q,再分别以点P,Q为圆心,以大于PQ的长为半径画弧,两弧交于点M,连接BM交AC于点E,过点E作ED∥BC交AB于点D,若AB=7,AE=3,则△ADE的周长为 10 .
10如图,将长方形ABCD沿EF翻折,再沿ED翻折,若∠FEA″=105°,则∠CFE= 155 度.
11“一带一路”让中国和世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A,D两座可旋转探照灯.假定主道路是平行的,即PQ∥CN,A,B为PQ上两点,AD平分∠CAB交CN于点D,E为AD上一点,连接BE,AF平分∠BAD交BE于点F.
(1)若∠C=40°,求∠EAP的大小;
(2)作AG交CD于点G,且满足∠1=∠ADC,当∠2+∠GAF=180°时,试说明:AC∥BE.
【解析】(1)∵PQ∥CN,∠C=40°,
∴∠CAB+∠C=180°,∠PAC=∠C=40°,
∴∠CAB=140°,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=70°,
∴∠EAP=∠CAD+∠PAC=110°;
(2)∵PQ∥CN,
∴∠ADC=∠BAD,
∵∠1=∠ADC,
∴∠1=∠BAD,
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAD=2∠EAF,
∴∠1=∠EAF,
∴∠GAF=∠1+∠EAF=∠EAF,
∵∠2+∠GAF=180°,
∴∠2+2∠EAF=180°,
∴∠2+∠BAD=180°,
∵∠2+∠AEB=180°,
∴∠BAD=∠AEB,
∵∠BAD=∠CAD,
∴∠CAD=∠AEB,
∴AC∥BE.
12[几何直观、推理能力]
(1)【感知】如图①,若AB∥CD,AM平分∠BAC,求证:∠CAM=∠CMA.
请将下列证明过程补充完整:
证明:∵AM平分∠BAC,(已知),
∴∠CAM=_________(角平分线的定义).
∵AB∥CD(已知),
∴∠CMA=_________(两直线平行,内错角相等).
∴∠CAM=∠CMA(等量代换).
(2)【探索】如图②,AM平分∠BAC,∠CAM=∠CMA,点E在射线AB上,点F在线段CM上,若∠AEF=∠C,求证:EF∥AC.
(3)【拓展】如图③,将【探索】中的点F移动到线段CM的延长线上,其他条件不变,若∠CAM=3∠MEF=57°,请直接写出∠AME的度数.
【解析】(1)∵AM平分∠BAC,(已知),
∴∠CAM=∠BAM(角平分线的定义).
∵AB∥CD(已知),
∴∠CMA=∠BAM(两直线平行,内错角相等).
∴∠CAM=∠CMA(等量代换).
答案:∠BAM ∠BAM
(2)∵AM平分∠BAC,∴∠CAM=∠BAM.
又∠CAM=∠CMA,∴∠CMA=∠BAM.
∴AB∥CD.
∴∠AEF=∠EFD.
又∠AEF=∠C,
∴∠EFD=∠C.
∴EF∥AC.
(3)由(2)知EF∥AC,过M作MG∥AC(图略),
∴EF∥MG.
∴∠GME=∠FEM.
又MG∥AC,
∴∠CAM=∠AMG.
∴∠CAM+∠FEM=∠GME+∠AMG=∠AME.
∵∠CAM=3∠MEF=57°,
∴∠MEF=19°.
∴∠AME=∠CAM+∠FEM=57°+19°=76°.
