第2课时 三角形的外角
知识点1 三角形外角定理
1如图,∠ACD是△ABC的外角,若∠ACD=110°,∠B=50°,则∠A=( )
A.40° B.50° C.55° D.60°
2已知△ABC三个内角的度数之比为1∶2∶3,则它的三个外角的度数之比是 .
3如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边BC上E处,折痕为CD,则∠EDB= .
4如图,点D在△ABC的边BC上,AC=AB=BD,AD=CD,则∠BAC为 .
知识点2 三角形外角定理综合应用
5如图,在△ABC中,点E和F分别是AC,BC上一点,EF∥AB,∠BCA的平分线交AB于点D,∠MAC是△ABC的外角,若∠EFC=α,∠MAC=β,∠ADC=γ,则α,β,γ三者间的数量关系是( )
A.β=α+γ B.β=2α-2γ
C.β=α+2γ D.β=2γ-α
6如图,在△ABC中,BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB.若∠A=72°,则∠D-∠E= °.
7如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=35°,E是BC边上一点,ED交CA的延长线于点D,交AB于点F,∠D=31°.求∠BFE的大小.
练易错 忽视隐含条件致错
8(2024·安徽期中)(1)如图1,在△ABC中,点D在边AC上,点E在边AB上,沿DE折叠,当点A落在CD上时,∠DAE与∠1之间有一种数量关系保持不变,请找出这种数量关系并说明理由;
(2)若折成图2时,即点A落在△ABC内时,请找出∠DAE与∠1,∠2之间的关系式并说明理由.
9(2024·郑州期末)如图在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于O,CE为外角∠ACD的平分线,BO的延长线交CE于点E,记∠BAC=∠1,∠BEC=∠2,则以下结论:①∠1=2∠2,②∠BOC=3∠2,③∠BOC=90°+∠1,④∠BOC=90°+∠2,正确的是( )
A.①②③ B.①③④
C.①④ D.②④
10如图,∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上运动,BE平分∠NBA,BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C,则∠ACB的度数是 °.
11(2024·济南质检)“三等分一个角”是数学史上一个著名的问题,今天人们已经知道,仅用圆规和直尺是不可能作出的.在探索中,有人曾利用过如图所示的图形,其中四边形ABCD是矩形,F是DA延长线上一点,G是CF上一点,并且∠ACG=
∠AGC,∠GAF=∠F,你能证明∠ECB=∠ACB吗 并写出证明过程.
12在△ABC中,三个内角的平分线交于点O,过点O作OD⊥OB,交边BC于点D.
(1)如图1,猜想∠AOC与∠ODC的关系,并说明你的理由;
(2)如图2,作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.
①求证:BF∥OD;
②若∠F=35°,求∠BAC的度数.
13新趋势·推理能力、创新意识 当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们定义此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.
(1)若一个“特征三角形”的“特征角”为100°,则这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ;
(2)若一个“特征三角形”恰好是直角三角形,则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为 ;
(3)一个“特征三角形”的“特征角”α的度数的取值范围为 . 第2课时 三角形的外角
知识点1 三角形外角定理
1如图,∠ACD是△ABC的外角,若∠ACD=110°,∠B=50°,则∠A=(D)
A.40° B.50° C.55° D.60°
2已知△ABC三个内角的度数之比为1∶2∶3,则它的三个外角的度数之比是 5∶4∶3 .
3如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边BC上E处,折痕为CD,则∠EDB= 10° .
4如图,点D在△ABC的边BC上,AC=AB=BD,AD=CD,则∠BAC为 108° .
知识点2 三角形外角定理综合应用
5如图,在△ABC中,点E和F分别是AC,BC上一点,EF∥AB,∠BCA的平分线交AB于点D,∠MAC是△ABC的外角,若∠EFC=α,∠MAC=β,∠ADC=γ,则α,β,γ三者间的数量关系是(D)
A.β=α+γ B.β=2α-2γ
C.β=α+2γ D.β=2γ-α
6如图,在△ABC中,BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB.若∠A=72°,则∠D-∠E= 36 °.
7如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=35°,E是BC边上一点,ED交CA的延长线于点D,交AB于点F,∠D=31°.求∠BFE的大小.
【解析】∵∠B=50°,∠C=35°,
∴∠DAB=∠B+∠C=50°+35°=85°,
∵∠D=31°,
∴∠AFE=∠D+∠DAB=31°+85°=116°,
∴∠BFE=180°-∠AFE=180°-116°=64°.
练易错 忽视隐含条件致错
8(2024·安徽期中)(1)如图1,在△ABC中,点D在边AC上,点E在边AB上,沿DE折叠,当点A落在CD上时,∠DAE与∠1之间有一种数量关系保持不变,请找出这种数量关系并说明理由;
(2)若折成图2时,即点A落在△ABC内时,请找出∠DAE与∠1,∠2之间的关系式并说明理由.
【解析】(1)∠1=2∠DAE.
理由:如图1,延长BE交CD的延长线于R.
由翻折可知,∠EAD=∠R,
∵∠1=∠EAD+∠R,
∴∠1=2∠EAD.
(2)∠1+∠2=2∠EAD.
理由:如图2,延长BE交CD的延长线于T,连接AT.
由翻折可知,∠EAD=∠ETD,
∵∠1=∠EAT+∠ETA,∠2=∠DAT+∠DTA,
∴∠1+∠2=∠EAT+∠ETA+∠DAT+∠DTA=∠EAD+∠ETD=2∠EAD.
9(2024·郑州期末)如图在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于O,CE为外角∠ACD的平分线,BO的延长线交CE于点E,记∠BAC=∠1,∠BEC=∠2,则以下结论:①∠1=2∠2,②∠BOC=3∠2,③∠BOC=90°+∠1,④∠BOC=90°+∠2,正确的是(C)
A.①②③ B.①③④
C.①④ D.②④
10如图,∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上运动,BE平分∠NBA,BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C,则∠ACB的度数是 45 °.
11(2024·济南质检)“三等分一个角”是数学史上一个著名的问题,今天人们已经知道,仅用圆规和直尺是不可能作出的.在探索中,有人曾利用过如图所示的图形,其中四边形ABCD是矩形,F是DA延长线上一点,G是CF上一点,并且∠ACG=
∠AGC,∠GAF=∠F,你能证明∠ECB=∠ACB吗 并写出证明过程.
【证明】∵∠AGC=∠GAF+∠F,∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F,∴∠ACG=2∠F.
∵DF∥CB,∴∠F=∠FCB,
∴∠ACG=2∠FCB,
∴∠ECB=∠ACB.
12在△ABC中,三个内角的平分线交于点O,过点O作OD⊥OB,交边BC于点D.
(1)如图1,猜想∠AOC与∠ODC的关系,并说明你的理由;
(2)如图2,作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.
①求证:BF∥OD;
②若∠F=35°,求∠BAC的度数.
【解析】(1)∠AOC=∠ODC,
理由:∵三个内角的平分线交于点O,
∴∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠BCA)=(180°-∠ABC),
∵∠OBC=∠ABC,
∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=90°+∠ABC=90°+∠OBC,
∵OD⊥OB,∴∠BOD=90°,
∴∠ODC=90°+∠OBD,
∴∠AOC=∠ODC.
(2)①∵BF平分∠ABE,
∴∠EBF=∠ABE=(180°-∠ABC)=90°-∠DBO,
∵∠ODB=90°-∠OBD,
∴∠FBE=∠ODB,
∴BF∥OD;
②∵BF平分∠ABE,
∴∠FBE=∠ABE=(∠BAC+∠ACB),
∵三个内角的平分线交于点O,
∴∠FCB=∠ACB,
∵∠F=∠FBE-∠BCF=(∠BAC+∠ACB)-
∠ACB=∠BAC,
∵∠F=35°,
∴∠BAC=2∠F=70°.
13新趋势·推理能力、创新意识 当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们定义此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.
(1)若一个“特征三角形”的“特征角”为100°,则这个“特征三角形”的最小内角的度数为 30° ;
(2)若一个“特征三角形”恰好是直角三角形,则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为 60°或90° ;
(3)一个“特征三角形”的“特征角”α的度数的取值范围为 0°<α<120° . 5 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理的证明
知识点1 三角形内角和定理及其应用
1(2024·济阳质检)一个三角形的三个内角度数之比为4∶5∶7,则这个三角形是(A)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
2如图,在△ABC中,BD⊥AC,垂足为D,若∠A=40°,则∠ABD的度数为(B)
A.60° B.50° C.40° D.30°
3如图,两个完全相同的三角形ABC和三角形A'B'C'的顶点C,C'重合.若∠ACB=∠A'C'B'=90°且∠ACD=2∠A'CB,则∠A'CB= 30° .
4(2024·长春期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于点E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的大小是 20° .
5如图,在△ABC中,AE是角平分线,AD是高,∠C=40°,∠B=70°,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求∠CAE的度数;
(2)求∠ADF的度数.
【解析】(1)∵∠C=40°,∠B=70°,
∴∠BAC=180°-(∠C+∠B)=70°,
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠BAC=35°.
(2)∵AD是△ABC的高,
∴∠CAD=90°-∠C=50°,
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°,
∵DF⊥AE,
∴∠ADF=90°-∠DAE=75°.
知识点2 三角形的内角和定理的综合应用
6(2024·盐城期中)如图,将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上,使得该三角板的两条直角边DE,DF恰好分别经过点B,C,若∠A=45°,则∠ABD+∠ACD的值为(B)
A.40° B.45° C.50° D.55°
7如图,是由一副三角板拼凑得到的,∠D=∠ACB=90°,∠A=30°,∠F=45°,A,E,B,D四点同线,E,F过点C,则∠ECB的度数为(B)
A.70° B.75° C.80° D.85°
8 (2024·兴化期末)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,EF∥BC交BD于点G,若∠BEG=130°,则∠DGF= 25 °.
9如图,BD是∠ABC的平分线,AD⊥BD,垂足为D,∠DAC=20°,∠C=38°,则
∠BAD=(A)
A.58° B.64° C.62° D.56°
10如图,△ABC中,∠BAC=70°,O是三条高AD,BE,CF的交点,则∠BOC的度数为 110° .
11如图,在△ABC中,线段AF平分∠BAC,交BC边于点E,过点F作FD⊥BC于点D,若∠C-∠B=32°,则∠F= 16° .
12如图,已知AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,AD与CE交于点F,
∠CAD=30°,∠B=50°.
(1)求∠ADC和∠AFC的度数;
(2)直接写出图中与∠CAD相等的角.
【解析】(1)∵AD是△ABC的角平分线,∠CAD=30°,
∴∠BAC=2∠CAD=60°,
∵∠B=50°,∠BAC+∠B+∠ACB=180°,
∴∠ACB=180°-60°-50°=70°,
∵∠DAC+∠ADC+∠ACB=180°,
∴∠ADC=180°-30°-70°=80°;
∵CE是△ABC的高,CE⊥AB,
∴∠CEA=90°,
∴∠AFE=90°-∠BAD=90°-30°=60°,
∴∠AFC=180°-∠AFE=180°-60°=120°.
(2)∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
∴∠BAC=60°,
∵CE⊥AB,
∴∠ACE=90°-∠BAC=30°,
∴∠ACE=∠CAD,
∴图中与∠CAD相等的角有∠BAD,∠ACE.
13[模型观念、推理能力]在△ABC中,∠C>∠B,AE平分∠BAC,F为射线AE上一点(不与点E重合),且FD⊥BC于D.
(1)如果点F与点A重合,且∠C=50°,∠B=30°,如图1,求∠EFD的度数;
(2)如果点F在线段AE上(不与点A重合),如图2,求证:∠EFD=(∠C-∠B);
(3)如果点F在△ABC外部,如图3,此时∠EFD与∠C-∠B的数量关系是否发生变化 请说明理由.
【解析】(1)∵∠C=50°,∠B=30°,
∴∠BAC=180°-50°-30°=100°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠CAE=50°.
在△ACE中,∠AEC=80°,
在Rt△ADE中,∠EFD=90°-80°=10°.
(2)∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE==90°-(∠C+∠B),
∵∠AEC为△ABE的外角,
∴∠AEC=∠B+90°-(∠C+∠B)=90°+(∠B-∠C),
∵FD⊥BC,
∴∠FDE=90°.
∴∠EFD=90°-90°-(∠B-∠C)=(∠C-∠B).
(3)没变化.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=.
∵∠DEF为△ABE的外角,
∴∠DEF=∠B+=90°+(∠B-∠C),
∵FD⊥BC,
∴∠FDE=90°,
∴∠EFD=90°-90°-(∠B-∠C)=(∠C-∠B).5 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理的证明
知识点1 三角形内角和定理及其应用
1(2024·济阳质检)一个三角形的三个内角度数之比为4∶5∶7,则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
2如图,在△ABC中,BD⊥AC,垂足为D,若∠A=40°,则∠ABD的度数为( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
3如图,两个完全相同的三角形ABC和三角形A'B'C'的顶点C,C'重合.若∠ACB=∠A'C'B'=90°且∠ACD=2∠A'CB,则∠A'CB= .
4(2024·长春期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于点E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的大小是 .
5如图,在△ABC中,AE是角平分线,AD是高,∠C=40°,∠B=70°,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求∠CAE的度数;
(2)求∠ADF的度数.
知识点2 三角形的内角和定理的综合应用
6(2024·盐城期中)如图,将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上,使得该三角板的两条直角边DE,DF恰好分别经过点B,C,若∠A=45°,则∠ABD+∠ACD的值为( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
7如图,是由一副三角板拼凑得到的,∠D=∠ACB=90°,∠A=30°,∠F=45°,A,E,B,D四点同线,E,F过点C,则∠ECB的度数为( )
A.70° B.75° C.80° D.85°
8 (2024·兴化期末)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,EF∥BC交BD于点G,若∠BEG=130°,则∠DGF= °.
9如图,BD是∠ABC的平分线,AD⊥BD,垂足为D,∠DAC=20°,∠C=38°,则
∠BAD=( )
A.58° B.64° C.62° D.56°
10如图,△ABC中,∠BAC=70°,O是三条高AD,BE,CF的交点,则∠BOC的度数为 .
11如图,在△ABC中,线段AF平分∠BAC,交BC边于点E,过点F作FD⊥BC于点D,若∠C-∠B=32°,则∠F= .
12如图,已知AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,AD与CE交于点F,
∠CAD=30°,∠B=50°.
(1)求∠ADC和∠AFC的度数;
(2)直接写出图中与∠CAD相等的角.
13[模型观念、推理能力]在△ABC中,∠C>∠B,AE平分∠BAC,F为射线AE上一点(不与点E重合),且FD⊥BC于D.
(1)如果点F与点A重合,且∠C=50°,∠B=30°,如图1,求∠EFD的度数;
(2)如果点F在线段AE上(不与点A重合),如图2,求证:∠EFD=(∠C-∠B);
(3)如果点F在△ABC外部,如图3,此时∠EFD与∠C-∠B的数量关系是否发生变化 请说明理由.
