第七章 平行线的证明
一、选择题
1下列命题是假命题的是 (D)
A.全等三角形的对应边相等
B.一组数据的频率之和等于1
C.全等三角形的面积相等
D.等腰三角形的中线、高线、角平分线重合
2如图,一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD,已知AB∥CD,若∠ABC=150°,则∠BCD的度数是 (D)
A.30° B.120° C.130° D.150°
3如图,点F,E分别在线段AB和CD上,下列条件能判定AB∥CD的是 (B)
A.∠1=∠2 B.∠1=∠4
C.∠4=∠2 D.∠3=∠4
4如图所示,已知直线a∥b,∠1=120°,∠2=62°,则∠3的度数为 (A)
A.58° B.59° C.60° D.62°
5如图,直线a∥b,直角三角形的直角顶点在直线b上,已知∠1=35°,则∠2的度数是 (C)
A.35° B.45° C.55° D.65°
6如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAF=148°,AF∥BE.若BE平分∠ABC,则∠BAC= (D)
A.20° B.22° C.24° D.26°
7如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm.将矩形沿对角线AC折叠,点D落在了D'位置,AD'与BC相交于点E.则BE的长等于(A)
A. cm B. cm C. cm D. cm
8如图,E是BC延长线上的一点,AD∥BC,BD,CD,AP,DP分别平分∠ABC,∠ACE,∠BAC,∠BDC,则∠P的度数为 (C)
A.30° B.42° C.45° D.50°
二、填空题
9已知△ABC中,三个内角的度数比为∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,则△ABC中最大的内角度数是 90° .
10如图是路灯维护工程车的工作示意图,工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=30°,则∠2+∠3的度数为 210° .
11如图a,已知长方形纸带ABCD,将纸带沿EF折叠后,点C,D分别落在H,G的位置,再沿BC折叠成图b,若∠DEF=72°,则∠GMN= 72 °.
三、解答题
12如图是学生用两块三角板拼成的图形,其中B,C,E三点在同一条直线上,C,A,D三点在同一条直线上,∠ACB=∠DCE=90°,∠B=45°,∠D=30°,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
(1)求证:CF∥AB;
(2)求∠DFC的度数.
【解析】(1)∵CF平分∠DCE,∠DCE=90°,
∴∠ECF=∠DCE=45°.
∵∠B=45°,∴∠B=∠ECF=45°,
∴CF∥AB.
(2)∵∠DCE=90°,∠D=30°,
∴∠E=90°-∠D=60°.
∵∠DFC是△ECF的一个外角,
∴∠DFC=∠E+∠ECF=105°.
13如图,点C,D在直线AB上,∠ACE+∠BDF=180°,EF∥AB.
(1)求证:CE∥DF.
(2)∠DFE的平分线FG交AB于点G,过点F作FM⊥FG交CE的延长线于点M.若∠CMF=55°,求∠CDF的度数.
【解析】(1)∵∠ACE+∠BDF=180°,∠ACE+∠BCE=180°,
∴∠BDF=∠BCE,∴CE∥DF;
(2)∵CE∥DF,即CM∥DF,
∴∠CMF+∠DFM=180°.
∵∠CMF=55°,∴∠DFM=125°.
∵FM⊥FG,∴∠GFM=90°,
∴∠DFG=∠DFM-∠GFM=125°-90°=35°.
∵FG是∠DFE的平分线,
∴∠DFE=2∠DFG=70°.
∵EF∥AB,∴∠CDF+∠DFE=180°,
∴∠CDF=110°.
14对于平面内的∠M和∠N,若存在一个常数k>0,使得∠M+k∠N=360°,则称∠N为∠M的k系补周角.如若∠M=90°,∠N=45°,则∠N为∠M的6系补周角.
(1)若∠H=120°,则∠H的4系补周角的度数为________°.
(2)在平面内AB∥CD,点E是平面内一点,连接BE,DE.
①如图1,∠D=60°,若∠B是∠BED的3系补周角,求∠B的度数.
②如图2,∠ABE和∠CDE均为钝角,点F在点E的右侧,且满足∠ABF=n∠ABE,∠CDF=n∠CDE(其中n为常数且n>1),点P是∠ABE的平分线BG上的一个动点,在P点运动过程中,请你确定一个点P的位置,使得∠BPD是∠F的k系补周角,并直接写出此时的k值(用含n的式子表示).
【解析】(1)设∠H的4系补周角的度数为x°,根据新定义得,120+4x=360,解得x=60,
∴∠H的4系补周角的度数为60°.
答案:60
(2)①过E作EF∥AB,如图1,
∴∠B=∠BEF.
∵AB∥CD,∴EF∥CD.
∵∠D=60°,
∴∠DEF=∠D=60°.
∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF,
∴∠B+60°=∠BED.
∵∠B是∠BED的3系补周角,
∴∠BED=360°-3∠B,
∴∠B+60°=360°-3∠B,
∴∠B=75°.
②如图2,当BG上的动点P为∠CDE的平分线与BG的交点时,满足∠BPD是∠F的k系补周角,
过点P作PM∥AB,过点F作FN∥AB,如图2,
∵AB∥CD,∴CD∥PM,CD∥FN,
∴∠ABP=∠BPM,∠CDP=∠DPM,∠ABF+∠BFN=180°,∠CDF+∠DFN=180°,
∴∠ABF+∠BFD+∠CDF
=∠ABF+∠BFN+∠CDF+∠DFN
=180°+180°
=360°,
∵∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点P,
∴∠ABP=∠ABE,∠CDP=∠CDE,
∴∠BPD=∠BPM+∠DPM=(∠ABE+∠CDE),
∵∠ABF=n∠ABE,∠CDF=n∠CDE,
∴∠BPD=(∠ABF+∠CDF),
∴∠BPD=(∠ABF+∠CDF),
∴∠BPD=(360°-∠BFD),
∴∠BFD+2n∠BPD=360°,
∴∠BPD是∠BFD的k系补周角,
此时,k=2n.
15【问题提出】如图①,在△ABC中,AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.
【问题解决】经过组内合作交流.小明得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,经过推理可知△ADC≌△EDB…
(1)由已知和作图得到△ADC≌△EDB的理由是_________.
A.SSS B.SAS C.ASA D.HL
(2)AD的取值范围为_________.
【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”,则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形,从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中,我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”.
【应用】如图②,在△ABC中,点D为BC边的中点,点E在AB边上,AD与CE相交于点F,EA=EF,求证:AB=CF.
【拓展】如图③,在△ABC中,∠BAC=90°,AD平分∠BAC,点E为BC边的中点,过点E作EF∥AD,交AC于点F,交BA的延长线于点G,若AF=1.5,CF=4.5,则△ABC的面积为_________.
【解析】【问题解决】(1)由作图的过程知,AD=DE,CD=BD,∠ADC=∠EDB,
则△ADC≌△EDB(SAS).
答案:B
(2)∵△ADC≌△EDB,则AC=BE=4,
在△ABE中,AB+BE>AE=2AD>AB-BE,
即10>2AD>2,即1
答案:1【方法总结】
【应用】如图,延长AD至H,使AD=DH,
同理可得:△ADB≌△HDC,
∴AB=CH,∠BAD=∠H.
∵EA=EF,∴∠EAF=∠AFE=∠H.
又∵∠EFA=∠HFC,
∴∠HFC=∠H,∴CF=CH=AB.
【拓展】如图,
过点B作BM∥AC交GE延长线于点M,
∴∠C=∠MBC.
∵∠BEM=∠CEF,BE=CE,
∴△BEM≌△CEF(ASA),
∴∠M=∠MFC=∠AFG,BM=FC=4.5.
∵AD平分∠BAC,AD∥EF,
则∠BAD=∠DAC=45°=∠G=∠AFG,∠M=∠AFG=45°,
∴∠G=∠M,AG=AF,
∴BM=4.5=BG,
则AB=4.5-1.5=3.
AC=AF+FC=1.5+4.5=6,
则△ABC的面积=AB·AC=×3×6=9.
答案:9
16(1)如图①,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≌△CAF;
(2)如图②,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F都在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC.求证:EF=BE-CF;
(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=3BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为17,求△ACF与△BDE的面积之和.
【解析】(1)∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°,∴∠BDA=∠AFC=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°,∴∠ABD=∠CAF,
在△ABD和△CAF中,,
∴△ABD≌△CAF(AAS);
(2)∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA,
在△ABE和△CAF中,,
∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴BE=AF,CF=AE,
∴EF=AF-AE=BE-CF;
(3)∵△ABC的面积为17,CD=3BD,
∴△ABD的面积是×17=,
由(2)可证出△ABE≌△CAF,
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和,即等于△ABD的面积.
阶段测评 请做 “期末满分冲刺卷A、B”第七章 平行线的证明
一、选择题
1下列命题是假命题的是 ( )
A.全等三角形的对应边相等
B.一组数据的频率之和等于1
C.全等三角形的面积相等
D.等腰三角形的中线、高线、角平分线重合
2如图,一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD,已知AB∥CD,若∠ABC=150°,则∠BCD的度数是 ( )
A.30° B.120° C.130° D.150°
3如图,点F,E分别在线段AB和CD上,下列条件能判定AB∥CD的是 ( )
A.∠1=∠2 B.∠1=∠4
C.∠4=∠2 D.∠3=∠4
4如图所示,已知直线a∥b,∠1=120°,∠2=62°,则∠3的度数为 ( )
A.58° B.59° C.60° D.62°
5如图,直线a∥b,直角三角形的直角顶点在直线b上,已知∠1=35°,则∠2的度数是 ( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
6如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAF=148°,AF∥BE.若BE平分∠ABC,则∠BAC= ( )
A.20° B.22° C.24° D.26°
7如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm.将矩形沿对角线AC折叠,点D落在了D'位置,AD'与BC相交于点E.则BE的长等于( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
8如图,E是BC延长线上的一点,AD∥BC,BD,CD,AP,DP分别平分∠ABC,∠ACE,∠BAC,∠BDC,则∠P的度数为 ( )
A.30° B.42° C.45° D.50°
二、填空题
9已知△ABC中,三个内角的度数比为∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,则△ABC中最大的内角度数是 .
10如图是路灯维护工程车的工作示意图,工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=30°,则∠2+∠3的度数为 .
11如图a,已知长方形纸带ABCD,将纸带沿EF折叠后,点C,D分别落在H,G的位置,再沿BC折叠成图b,若∠DEF=72°,则∠GMN= °.
三、解答题
12如图是学生用两块三角板拼成的图形,其中B,C,E三点在同一条直线上,C,A,D三点在同一条直线上,∠ACB=∠DCE=90°,∠B=45°,∠D=30°,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
(1)求证:CF∥AB;
(2)求∠DFC的度数.
13如图,点C,D在直线AB上,∠ACE+∠BDF=180°,EF∥AB.
(1)求证:CE∥DF.
(2)∠DFE的平分线FG交AB于点G,过点F作FM⊥FG交CE的延长线于点M.若∠CMF=55°,求∠CDF的度数.
②如图2,∠ABE和∠CDE均为钝角,点F在点E的右侧,且满足∠ABF=n∠ABE,∠CDF=n∠CDE(其中n为常数且n>1),点P是∠ABE的平分线BG上的一个动点,在P点运动过程中,请你确定一个点P的位置,使得∠BPD是∠F的k系补周角,并直接写出此时的k值(用含n的式子表示).
15【问题提出】如图①,在△ABC中,AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.
【问题解决】经过组内合作交流.小明得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,经过推理可知△ADC≌△EDB…
(1)由已知和作图得到△ADC≌△EDB的理由是_________.
A.SSS B.SAS C.ASA D.HL
(2)AD的取值范围为_________.
【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”,则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形,从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中,我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”.
【应用】如图②,在△ABC中,点D为BC边的中点,点E在AB边上,AD与CE相交于点F,EA=EF,求证:AB=CF.
【拓展】如图③,在△ABC中,∠BAC=90°,AD平分∠BAC,点E为BC边的中点,过点E作EF∥AD,交AC于点F,交BA的延长线于点G,若AF=1.5,CF=4.5,则△ABC的面积为_________.
16(1)如图①,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≌△CAF;
(2)如图②,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F都在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC.求证:EF=BE-CF;
(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=3BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为17,求△ACF与△BDE的面积之和.