3 轴对称与坐标变化
知识点1 平面直角坐标系内对称点坐标的特点
1(2024·杭州期中)点(2,-3)关于x轴的对称点是 (B)
A.(-2,3) B.(2,3)
C.(-2,-3) D.(2,-3)
2在直角坐标系xOy中,点A(a,3)与B(-1,b)关于y轴对称,则a,b的值分别为 (A)
A.a=1,b=3 B.a=-1,b=-3
C.a=-1,b=3 D.a=1,b=-3
3已知P1(a-1,5)和P2(2,b+4)关于y轴对称,则(ab)2 024的值为 1 .
4在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,2),B(2,0),C(5,3).
(1)点C关于x轴对称的点C1的坐标为________;
(2)连接A,B,C三点,试说明△ABC是直角三角形.
(3)已知点P在x轴上,若S△PBC=S△ABC,求点P的坐标.
【解析】(1)由题意得:点C1的坐标为(5,-3);
答案:(5,-3)
(2)因为AB2=22+22=8,AC2=(3-2)2+52=26,BC2=(5-2)2+32=18,
所以AB2+BC2=8+18=26=AC2,
所以△ABC是直角三角形;
(3)S△ABC=3×5-×2×2-×(5-2)×3-×(3-2)×5=6,设P点坐标为(t,0),
因为S△PBC=S△ABC,
所以×3×|t-2|=×6=3,
所以t-2=±2,所以t=0或t=4,
P点坐标为(0,0)或(4,0).
知识点2 图形关于坐标轴的对称
5如图,蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形,将其放在平面直角坐标系中,如果图中点E的坐标为(m,2),其关于y轴对称的点F的坐标为(3,n),则m+n的值为 (A)
A.-1 B.1 C.-5 D.5
6a,b,c为△ABC的三条边,满足条件点(a-c,a)与点(0,-b)关于x轴对称,则△ABC的形状为 等边三角形 .
7如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-4,1),C(-1,2).
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)求△ABC的面积.
【解析】(1)△A1B1C1如图,A1(2,4);
(2)由图可知,
=3×3-×2×3-×3×1-×2×1
=9-3--1
=.
知识点3 点或图形关于平行于坐标轴直线的对称问题
8已知点A(4,3)和点B是坐标平面内的两个点,且它们关于直线x=-3对称,则平面内点B的坐标为 (D)
A.(0,-3) B.(4,-9)
C.(4,0) D.(-10,3)
9点A(-3,5)与B(5,5)关于某一直线对称,则对称轴是 (C)
A.x轴 B.y轴
C.直线x=1 D.直线y=1
10在平面直角坐标系中,点A(1,0),B(0,2),作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C的横坐标为 -1或1 ,其中与△ABO成轴对称的△BOC有 2 个.
11点(-7,9)关于直线m(直线m上各点横坐标都为2)对称点的坐标是 (C)
A.(7,9) B.(-7,-9)
C.(11,9) D.(-11,-9)
12(2024·阜阳期中)如图,在直角坐标系中,直角三角形ABC的顶点A在x轴上,顶点B在y轴上,∠ACB=90°,OB∥AC,点C的坐标为(1,2),点D和点C关于AB成轴对称,且AD交y轴于点E.那么点E的坐标为(B)
A.(0, B.(0,) C.(0,) D.(0,)
13如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,点B(0,),点A在第一象限且AB⊥BO,点E是线段AO的中点,点M在线段AB上.若点B和点E关于直线OM对称,则∠AOB的度数是 60° .
14如图,正方形网格中,A,B,C均在格点上,在所给直角坐标系中解答下列问题.
(1)求△ABC的面积;
(2)直接写出A,B两点关于y轴对称点的坐标;
(3)点D是点C关于x轴的对称点,点P是y轴上的一动点,若△PAD的面积是4,求点P的坐标.
【解析】由A,B,C在直角坐标系中的位置可得,A(0,3),B(-1,1),C(3,1),
(1)S△ABC=×4×2=4,
(2)A(0,3)关于y的对称点的坐标为(0,3),
点B(-1,1)关于y轴的对称点的坐标为(1,1);
(3)由题意得,点D(3,-1),
因为△PAD的面积是4,
所以AP×3=4,所以AP=,
所以P(0,3+)或(0,3-),即P(0,)或(0,).
15新趋势·空间观念如图,在平面直角坐标系内,直线l过点M(3,0),且平行于y轴.
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1,△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2,那么试写出△A2B2C2的三个顶点的坐标;
(2)如果点P的坐标是(-a,0),其中a>0,点P关于y轴的对称点是点P1,点P1关于直线l的对称点是点P2,那么求线段P1P2的长(用含a的代数式表示).
【解析】(1)根据题意得A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2)三点关于y轴对称的对应点的坐标为:A1(2,0),B1(1,0),C1(1,2),
则A1(2,0),B1(1,0),C1(1,2)三点关于直线l的对应点的坐标为:A2(4,0),B2(5,0),C2(5,2),
作图如下:
(2)如图1,
当0
因为P与P1关于y轴对称,P(-a,0),
所以P1(a,0).
因为P1与P2关于直线l:x=3对称,设P2(b,0),
可得:=3,即b=6-a,
所以P2(6-a,0),
则P1P2=6-a-a=6-2a.
如图2,
当a>3时,
因为P与P1关于y轴对称,P(-a,0),
所以P1(a,0).
因为P1与P2关于直线l:x=3对称,
设P2(c,0),可得:=3,即c=6-a,
所以P2(6-a,0),
则P1P2=a-(6-a)=2a-6.
综上P1P2的长为6-2a或2a-6.3 轴对称与坐标变化
知识点1 平面直角坐标系内对称点坐标的特点
1(2024·杭州期中)点(2,-3)关于x轴的对称点是 ( )
A.(-2,3) B.(2,3)
C.(-2,-3) D.(2,-3)
2在直角坐标系xOy中,点A(a,3)与B(-1,b)关于y轴对称,则a,b的值分别为 ( )
A.a=1,b=3 B.a=-1,b=-3
C.a=-1,b=3 D.a=1,b=-3
3已知P1(a-1,5)和P2(2,b+4)关于y轴对称,则(ab)2 024的值为 .
4在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,2),B(2,0),C(5,3).
(1)点C关于x轴对称的点C1的坐标为________;
(2)连接A,B,C三点,试说明△ABC是直角三角形.
(3)已知点P在x轴上,若S△PBC=S△ABC,求点P的坐标.
知识点2 图形关于坐标轴的对称
5如图,蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形,将其放在平面直角坐标系中,如果图中点E的坐标为(m,2),其关于y轴对称的点F的坐标为(3,n),则m+n的值为 ( )
A.-1 B.1 C.-5 D.5
6a,b,c为△ABC的三条边,满足条件点(a-c,a)与点(0,-b)关于x轴对称,则△ABC的形状为 .
7如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-4,1),C(-1,2).
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)求△ABC的面积.
知识点3 点或图形关于平行于坐标轴直线的对称问题
8已知点A(4,3)和点B是坐标平面内的两个点,且它们关于直线x=-3对称,则平面内点B的坐标为 ( )
A.(0,-3) B.(4,-9)
C.(4,0) D.(-10,3)
9点A(-3,5)与B(5,5)关于某一直线对称,则对称轴是 ( )
A.x轴 B.y轴
C.直线x=1 D.直线y=1
10在平面直角坐标系中,点A(1,0),B(0,2),作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C的横坐标为 ,其中与△ABO成轴对称的△BOC有 个.
11点(-7,9)关于直线m(直线m上各点横坐标都为2)对称点的坐标是 ( )
A.(7,9) B.(-7,-9)
C.(11,9) D.(-11,-9)
12(2024·阜阳期中)如图,在直角坐标系中,直角三角形ABC的顶点A在x轴上,顶点B在y轴上,∠ACB=90°,OB∥AC,点C的坐标为(1,2),点D和点C关于AB成轴对称,且AD交y轴于点E.那么点E的坐标为( )
A.(0, B.(0,) C.(0,) D.(0,)
13如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,点B(0,),点A在第一象限且AB⊥BO,点E是线段AO的中点,点M在线段AB上.若点B和点E关于直线OM对称,则∠AOB的度数是 .
14如图,正方形网格中,A,B,C均在格点上,在所给直角坐标系中解答下列问题.
(1)求△ABC的面积;
(2)直接写出A,B两点关于y轴对称点的坐标;
(3)点D是点C关于x轴的对称点,点P是y轴上的一动点,若△PAD的面积是4,求点P的坐标.
15新趋势·空间观念如图,在平面直角坐标系内,直线l过点M(3,0),且平行于y轴.
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1,△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2,那么试写出△A2B2C2的三个顶点的坐标;
(2)如果点P的坐标是(-a,0),其中a>0,点P关于y轴的对称点是点P1,点P1关于直线l的对称点是点P2,那么求线段P1P2的长(用含a的代数式表示).