第三章 位置与坐标
一、选择题
1在平面直角坐标系xOy中,点P(3,5)关于y轴对称的点的坐标是 (B)
A.(-3,0) B.(-3,5)
C.(-3,-5) D.(3,-5)
2(2023·嘉兴、舟山中考)在平面直角坐标系中,点P(-1,m2+1)位于 (B)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3如图,点A(1,-2)与点B(a,b)关于直线l对称,则a-b的值为 (B)
A.1 B.-1 C.2 D.-5
4已知点P的坐标为(2x,x+3),点M的坐标为(x+1,2x),PM平行于x轴,则M点的坐标为 (D)
A.(2,4) B.(2,2) C.(6,6) D.(4,6)
5已知点P的坐标为(a,b),其中a,b均为实数,若a,b满足3a=2b+5,则称点P为“和谐点”.若点M(m-1,3m+2)是“和谐点”,则点M所在的象限是 (B)
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
6如图所示,A(2,0),AB=3,以点A为圆心,AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C,则点C的坐标为 (C)
A.(3,0) B.(,0)
C.(-,0) D.(-3,0)
7如图,在平面直角坐标系xOy中,直线MN分别与x轴,y轴交于点M,N,且OM=6,∠OMN=30°,等边△AOB的顶点A,B分别在线段MN,OM上,则OB的长为 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
8已知点P(a-2b,-2)与点Q(-6,2a+b)关于原点对称,则a+b= 0 .
9在平面直角坐标系中有一个对称图形,点A(3,2)与点B(3,-2)在此图形上互为对称点,则在此图形上的另一点C(-1,-3)的对称点坐标为 (-1,3) .
10如图,在平面直角坐标系中,以点A(3,1)为端点的四条射线AB,AC,AD,AE分别过点B(1,1),点C(1,3),点D(4,4),点E(5,2),则∠BAC = ∠DAE(填“>”“=”或“<”).
11在平面直角坐标系xOy中,点A(-2,3),点B(-1,0),点D(2,3),点C在x轴上.若CD=AB,则点C的坐标为 (1,0)或(3,0) .
12定义:在平面直角坐标系xOy中,已知点P1(a,b),P2(c,b),P3(c,d),这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1,P2,P3的“最佳间距”.例如:点P1(-1,2),P2(1,2),P3(1,3)的“最佳间距”是1.
(1)点Q1(2,1),Q2(5,1),Q3(5,5)的“最佳间距”是 3 ;
(2)当点O(0,0),E(m,0),P(m,-2m+1)的“最佳间距”为时,点P的横坐标为 -或或 .
三、解答题
13(1)如图,已知点A(-3,4),B(4,3),请在方格纸中画出平面直角坐标系(要求:画出坐标轴,标注坐标原点O).
(2)在(1)的条件下,△AOB的面积是_______.
【解析】(1)如图.
(2)根据题意可得:∠AOB=90°,
AO=BO==5,
所以S△AOB=×5×5=.
答案:
14(2024·遵义期末)如图,A(-1,0),C(1,4),点B在x轴上,且AB=2.
(1)求点B的坐标,并画出△ABC;
(2)求△ABC的面积;
(3)在y轴上是否存在点P,使以A,B,P三点为顶点的三角形的面积为7 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)如图所示:
由图形可知:点B的坐标为(-3,0)或(1,0).
△AB'C或△AB″C是所求作的三角形.
(2)=AB·CB'=×2×4=4,
即△ABC的面积为4.
(3)设存在一个点P(0,y),使得以A,B,P三点为顶点的三角形的面积为7,
则S△ABP=AB·|y|=7,
即×2×|y|=7
解得y=±7.
所以点P的坐标为(0,7)或(0,-7),
即在y轴上存在点P,使以A,B,P三点为顶点的三角形的面积为7,其中点P的坐标为(0,7)或(0,-7).
15在平面直角坐标系中,对于点A(x,y),若点B的坐标为(x+ay,ax+y),其中a为常数,则称点B是点A的“a倍相关点”.
例如,点A(1,3)的“2倍相关点”B的横坐标为1+2×3=7,纵坐标为2×1+3=5,所以点A的“2倍相关点”B的坐标为(7,5).
(1)已知点P(-2,3)的“倍相关点”是点Q(s,t),求s+t的值;
(2)已知点M(1,2m)的“-2倍相关点”是点N,且点N在y轴上,求点N到x轴的距离.
【解析】(1)根据题意,得s=-2+×3=-1,t=×(-2)+3=,
所以s+t=-1+=;
(2)设点N的坐标为(p,q),则p=1-4m,
q=-2+2m,
所以点N的坐标为(1-4m,-2+2m),
因为点N在y轴上,
所以1-4m=0,解得m=,
所以点N的坐标为(0,-),
所以点N到x轴的距离为|-|=.
16如图,在平面直角坐标系中,点A,B坐标分别为(a,0),(b,0),且a,b满足|a+2|+=0,点C(0,3).
(1)求a,b的值及△ABC面积;
(2)已知M(t,t)满足S△BCM=S△ABC,求M的坐标.
【解析】(1)因为|a+2|+=0,
所以a+2=0,b-4=0,所以a=-2,b=4,
所以点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(4,0).
又因为点C的坐标为(0,3),
所以AB=|-2-4|=6,CO=3,
所以S△ABC=AB·CO=×6×3=9.
(2)因为点M的坐标为(t,t),由(1)可知S△ABC=9,
当M在第一象限时,
又S△BCM=S△ABC,
所以S四边形OBMC=S△OBC+S△BCM=S△OCM+S△OBM=15,
OC·t+OB·t=15,
所以t(OC+OB)=15,
所以t(3+4)=15,解得t=,
故点M的坐标为(,).
当点M在第三象限时,S△BCM=S△ABC=9,
因为S△OBC=OC·OB=×3×4=6,
所以S四边形OCMB=9-6=3,
所以S△OCM+S△OBM=3,
即:OC·|t|+OB·|t|=3,
|t|(OC+OB)=3,|t|(3+4)=3,|t|=.
因为M在第三象限,所以M(-,-).
综上,M的坐标为(,)或(-,-).第三章 位置与坐标
一、选择题
1在平面直角坐标系xOy中,点P(3,5)关于y轴对称的点的坐标是 ( )
A.(-3,0) B.(-3,5)
C.(-3,-5) D.(3,-5)
2(2023·嘉兴、舟山中考)在平面直角坐标系中,点P(-1,m2+1)位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3如图,点A(1,-2)与点B(a,b)关于直线l对称,则a-b的值为 ( )
A.1 B.-1 C.2 D.-5
4已知点P的坐标为(2x,x+3),点M的坐标为(x+1,2x),PM平行于x轴,则M点的坐标为 ( )
A.(2,4) B.(2,2) C.(6,6) D.(4,6)
5已知点P的坐标为(a,b),其中a,b均为实数,若a,b满足3a=2b+5,则称点P为“和谐点”.若点M(m-1,3m+2)是“和谐点”,则点M所在的象限是 ( )
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
6如图所示,A(2,0),AB=3,以点A为圆心,AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C,则点C的坐标为 ( )
A.(3,0) B.(,0)
C.(-,0) D.(-3,0)
7如图,在平面直角坐标系xOy中,直线MN分别与x轴,y轴交于点M,N,且OM=6,∠OMN=30°,等边△AOB的顶点A,B分别在线段MN,OM上,则OB的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
8已知点P(a-2b,-2)与点Q(-6,2a+b)关于原点对称,则a+b= .
9在平面直角坐标系中有一个对称图形,点A(3,2)与点B(3,-2)在此图形上互为对称点,则在此图形上的另一点C(-1,-3)的对称点坐标为 .
10如图,在平面直角坐标系中,以点A(3,1)为端点的四条射线AB,AC,AD,AE分别过点B(1,1),点C(1,3),点D(4,4),点E(5,2),则∠BAC ∠DAE(填“>”“=”或“<”).
11在平面直角坐标系xOy中,点A(-2,3),点B(-1,0),点D(2,3),点C在x轴上.若CD=AB,则点C的坐标为 .
12定义:在平面直角坐标系xOy中,已知点P1(a,b),P2(c,b),P3(c,d),这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1,P2,P3的“最佳间距”.例如:点P1(-1,2),P2(1,2),P3(1,3)的“最佳间距”是1.
(1)点Q1(2,1),Q2(5,1),Q3(5,5)的“最佳间距”是 ;
(2)当点O(0,0),E(m,0),P(m,-2m+1)的“最佳间距”为时,点P的横坐标为 .
三、解答题
13(1)如图,已知点A(-3,4),B(4,3),请在方格纸中画出平面直角坐标系(要求:画出坐标轴,标注坐标原点O).
(2)在(1)的条件下,△AOB的面积是_______.
14(2024·遵义期末)如图,A(-1,0),C(1,4),点B在x轴上,且AB=2.
(1)求点B的坐标,并画出△ABC;
(2)求△ABC的面积;
(3)在y轴上是否存在点P,使以A,B,P三点为顶点的三角形的面积为7 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
15在平面直角坐标系中,对于点A(x,y),若点B的坐标为(x+ay,ax+y),其中a为常数,则称点B是点A的“a倍相关点”.
例如,点A(1,3)的“2倍相关点”B的横坐标为1+2×3=7,纵坐标为2×1+3=5,所以点A的“2倍相关点”B的坐标为(7,5).
(1)已知点P(-2,3)的“倍相关点”是点Q(s,t),求s+t的值;
(2)已知点M(1,2m)的“-2倍相关点”是点N,且点N在y轴上,求点N到x轴的距离.
16如图,在平面直角坐标系中,点A,B坐标分别为(a,0),(b,0),且a,b满足|a+2|+=0,点C(0,3).
(1)求a,b的值及△ABC面积;
(2)已知M(t,t)满足S△BCM=S△ABC,求M的坐标.
