2 一次函数与正比例函数
知识点1 一次函数的概念
1下列函数①y=πx,②y=-2x+3,③y=,④y=-x,⑤y=x2-1中,是一次函数的有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2若y关于x的函数y=(a-2)x+b是正比例函数,则a,b应满足的条件是 (D)
A.a≠2 B.b=0
C.a=2且b=0 D.a≠2且b=0
3已知函数y=(m-2)x3-|m|+m+7.
(1)当m为何值时,y是x的一次函数
(2)若函数是一次函数,则x为何值时,y的值为3
【解析】(1)由y=(m-2)x3-|m|+m+7是一次函数,得3-|m|=1,m-2≠0,
解得m=-2.
故当m=-2时,y=(m-2)x3-|m|+m+7是一次函数;
(2)当函数是一次函数时,函数表达式为y=-4x+5,当y=3时,3=-4x+5,解得x=,故当x=时,y的值为3.
知识点2 列一次函数表达式
4如图所示的计算程序中,y与x之间的函数表达式是 (A)
A.y=-2x+3 B.y=2x+3
C.y=-2x-3 D.y=2x-3
5已知2y-3与3x+1成正比例,则y与x的函数表达式可能是 (C)
A.y=3x+1 B.y=x+1
C.y=x+2 D.y=3x+2
6已知等腰三角形的周长是20 cm,底边长y(cm)与腰长x(cm)的函数关系式为 y=20-2x ,自变量x的取值范围是 57某水果市场销售一种香蕉.甲店的香蕉价格是4元/千克;乙店的香蕉价格为5元/千克,且若一次购买6千克以上,超过6千克的部分价格打7折.
(1)设在两家店分别购买香蕉x千克,直接写出在甲店的付款金额y1元及在乙店的付款金额y2元的表达式(用含有x的代数式表示);
(2)若购买香蕉50千克,到哪家店购买更省钱
【解析】(1)甲店:y1=4x;
乙店:当x≤6时,y2=5x;
当x>6时,y2=5×6+5×0.7(x-6)=3.5x+9.
综上,乙店的付款金额y2元的表达式为y2=;
(2)当x=50时,y1=4×50=200(元);
y2=3.5×50+9=184(元);
因为200>184,
所以到乙店购买更省钱.
8百货大楼进了一批花布,出售时要在进价(进货价格)的基础上加一定的利润,其长度x与售价y如表,下列用长度x表示售价y的关系式中,正确的是 (B)
长度x/m 1 2 3 4 …
售价y/元 8+0.3 16+0.6 24+0.9 32+1.2 …
A.y=8x+0.3 B.y=(8+0.3)x
C.y=8+0.3x D.y=8+0.3+x
9某市出租车白天的收费起步价为14元,即路程不超过3千米时收费14元,超过部分每千米收费2.4元.如果乘客白天乘坐出租车的路程为x(x>3)千米,乘车费为y元,那么y与x之间的关系式为 y=2.4x+6.8 .
10我们把[a,b]称为一次函数y=ax+b的“特征数”.如果“特征数”是[2,n+1]的一次函数为正比例函数,则n的值为 -1 .
11如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点P,设∠A=x,∠BPC=y,当∠A变化时,求y与x之间的函数表达式,并判断y是不是x的一次函数,指出自变量的取值范围.
【解析】在△ABC中,因为∠A=x,BP,PC是∠B与∠C的平分线,
所以∠PBC+∠PCB=,
在△BPC中,∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB),
即y=180°-=90°+x(0°y是x的一次函数.
12新趋势·模型观念、几何直观
图①长方形ABCD,AB=20 cm,BC=16 cm,点P从点A出发,沿A-B-C-D的路线以每秒2 cm的速度匀速运动,到达点D时停止运动.图②是点P出发x s时,△APD的面积S(cm2)与时间x(s)的关系图象.
(1)根据题目提供的信息,求出a,b,c的值;
(2)写出点P距离点D的路程y(cm)与时间x(s)的关系式;
(3)点P出发几秒时,△APD的面积是长方形ABCD面积的
【解析】(1)由题图②知,当x=10时,AP=10×2=20(cm),
此时点P与点B重合,
所以S△DAP=S△DAB=AB·AD=×20×16=160(cm2),所以a=160;
当点P在BC边上运动时,△ADP的面积为定值160 cm2不变,
因为BC=AD=16 cm,
所以b=10+=18;
因为CD=AB,所以点P在CD上运动的时间与在AB上的运动时间相同,
所以c=10+8+10=28.
(2)根据题意得:y=56-2x,
所以点P距离点D的路程y(cm)与时间x(s)的关系式y=56-2x.
(3)因为AD=16 cm,AB=20 cm,
所以矩形ABCD的面积为20×16=320(cm2),
当△APD的面积是长方形ABCD面积的时,
S△APD=S矩形ABCD=×320=64(cm2),
当0≤x≤10时,S△APD=AD·AP=×16×2x=64,
解得x=4,
根据矩形的性质和点P的运动过程可知,当x=28-4=24时,△APD的面积也是长方形ABCD面积的.
所以点P出发4 s或24 s时,△APD的面积是长方形ABCD面积的.2 一次函数与正比例函数
知识点1 一次函数的概念
1下列函数①y=πx,②y=-2x+3,③y=,④y=-x,⑤y=x2-1中,是一次函数的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2若y关于x的函数y=(a-2)x+b是正比例函数,则a,b应满足的条件是 ( )
A.a≠2 B.b=0
C.a=2且b=0 D.a≠2且b=0
3已知函数y=(m-2)x3-|m|+m+7.
(1)当m为何值时,y是x的一次函数
(2)若函数是一次函数,则x为何值时,y的值为3
知识点2 列一次函数表达式
4如图所示的计算程序中,y与x之间的函数表达式是 ( )
A.y=-2x+3 B.y=2x+3
C.y=-2x-3 D.y=2x-3
5已知2y-3与3x+1成正比例,则y与x的函数表达式可能是 ( )
A.y=3x+1 B.y=x+1
C.y=x+2 D.y=3x+2
6已知等腰三角形的周长是20 cm,底边长y(cm)与腰长x(cm)的函数关系式为 ,自变量x的取值范围是 .
7某水果市场销售一种香蕉.甲店的香蕉价格是4元/千克;乙店的香蕉价格为5元/千克,且若一次购买6千克以上,超过6千克的部分价格打7折.
(1)设在两家店分别购买香蕉x千克,直接写出在甲店的付款金额y1元及在乙店的付款金额y2元的表达式(用含有x的代数式表示);
(2)若购买香蕉50千克,到哪家店购买更省钱
8百货大楼进了一批花布,出售时要在进价(进货价格)的基础上加一定的利润,其长度x与售价y如表,下列用长度x表示售价y的关系式中,正确的是 ( )
长度x/m 1 2 3 4 …
售价y/元 8+0.3 16+0.6 24+0.9 32+1.2 …
A.y=8x+0.3 B.y=(8+0.3)x
C.y=8+0.3x D.y=8+0.3+x
9某市出租车白天的收费起步价为14元,即路程不超过3千米时收费14元,超过部分每千米收费2.4元.如果乘客白天乘坐出租车的路程为x(x>3)千米,乘车费为y元,那么y与x之间的关系式为 .
10我们把[a,b]称为一次函数y=ax+b的“特征数”.如果“特征数”是[2,n+1]的一次函数为正比例函数,则n的值为 .
11如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点P,设∠A=x,∠BPC=y,当∠A变化时,求y与x之间的函数表达式,并判断y是不是x的一次函数,指出自变量的取值范围.
12新趋势·模型观念、几何直观
图①长方形ABCD,AB=20 cm,BC=16 cm,点P从点A出发,沿A-B-C-D的路线以每秒2 cm的速度匀速运动,到达点D时停止运动.图②是点P出发x s时,△APD的面积S(cm2)与时间x( )的关系图象.
(1)根据题目提供的信息,求出a,b,c的值;
(2)写出点P距离点D的路程y(cm)与时间x( )的关系式;
(3)点P出发几秒时,△APD的面积是长方形ABCD面积的
