3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象与性质
知识点1 正比例函数的图象
1下列各图象中,表示函数y=x的大致图象的是 ( )
2在水管放水的过程中,放水的时间x(分)与流出的水量y(立方米)是两个变量.已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米,放水的过程共持续10分钟,则y关于x的函数图象是( )
3已知P1(1,y1),P2(2,y2)在正比例函数y=-x的图象上,则y1 y2.(填“>”“<”或“=”)
4一个正比例函数的图象经过点A(-2,3),B(a,-3),则a= .
知识点2 正比例函数图象性质
5如图,三个正比例函数的图象对应的表达式为①y=ax,②y=bx,③y=cx,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>a>c D.b>c>a
6关于正比例函数y=-3x,下列结论正确的是 ( )
A.图象不经过原点
B.y随x的增大而增大
C.图象经过第二、四象限
D.当x=时,y=1
7已知正比例函数y=(k2+3)x的图象上两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2,则下列不等式中一定成立的是 ( )
A.y1+y2>0 B.y1+y2<0
C.y1-y2>0 D.y1-y2<0
8(2024·成都期中)若y=(m-2)x+m2-4是y关于x的正比例函数,如果点A(m,a)和点B(-m,b)在该函数的图象上,那么a和b的大小关系是 ( )
A.ab C.a≤b D.a≥b
9已知函数y=(k+)(k为常数).
(1)当k为何值时,该函数是正比例函数
(2)当k为何值时,正比例函数y随x的增大而增大 请画出它的图象.
(3)当k为何值时,正比例函数y随x的增大而减小 请画出它的图象.
(4)点A(2,5)与点B(2,-3)分别在哪条直线上
10一次函数y=(1-m)x的图象如图所示,则化简+m的结果是 ( )
A.2m-1 B.1-2m
C.2m D.1
11(2024·昆山质检)在y=k1x中,y随x的增大而减小,k1k2<0,则在同一平面直角坐标系中,y=k1x和y=k2x的图象大致为( )
12正比例函数y=kx(k<0),当1≤x≤3时,函数y的最大值和最小值之差为4,则k= .
13(2024·枣庄质检)规定:[k,b]是一次函数y=kx+b(k,b为实数,且k≠0)的“特征数”.若“特征数”为[m+1,m2-4]的一次函数是正比例函数,且y随x的增大而减小,则点(3+2m,1-m)所在的象限是第 象限.
14(2024·晋江质检)已知正比例函数y=kx的图象经过点A,点A在第四象限,过点A作AH⊥x轴,垂足为点H,点A的横坐标为3,且△AOH的面积为3.
(1)求正比例函数的表达式;
(2)在x轴上能否找到一点P,使△AOP的面积为5 若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
15如图,已知四边形ABCD是正方形,点B,C分别在直线y=2x和y=kx上,点A,D是x轴上两点.
(1)若此正方形边长为2,k=________.
(2)若此正方形边长为a,k的值是否会发生变化 若不会发生变化,请说明理由;若会发生变化,求出a的值.第2课时 一次函数的图象与性质
知识点1 一次函数的图象
1如图,四个一次函数y=ax,y=bx,y=cx+1,y=dx-3的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( )
A.b>a>d>c B.a>b>c>d
C.a>b>d>c D.b>a>c>d
2(2024·三明质检)一次函数y=kx+b的图象如图,看图填空:
(1)当x=0时,y= ;当x= 时,y=0;
(2)k= ,b= ;
(3)一次函数的表达式为 ;
(4)当x=5时,y= ;当y=6时,x= .
知识点2 一次函数图象的性质
3直线y=-2x+b上有三个点(-2.4,y1),(-1.5,y2),(1.3,y3),则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1>y2>y3 B.y1C.y2y1>y3
4已知:一次函数y=(2-m)x+m-3.
(1)如果此函数图象经过原点,那么m应满足的条件为 ;
(2)如果此函数图象经过第二、三、四象限,那么m应满足的条件为 ;
(3)如果此函数图象与y轴交点在x轴下方,那么m应满足的条件为 ;
(4)如果此函数图象与y轴交点到x轴的距离为2,那么m应满足的条件为 .
知识点3 一次函数图象的平移
5(2023·天津中考)若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点(2,m),则m的值为 .
6如图,将直线l1:y=-2x向上平移b(b>0)个单位后得到直线l2,直线l2经过点P(1,2),与x轴、y轴分别相交于点A,B.
(1)求直线l2的函数表达式;
(2)求△AOB的面积.
练易错 动点问题遗漏情况
7已知直线y=2x+2与坐标轴交于A,B两点,若直线y=-x+2上有一动点P.
(1)求点A与点B的坐标.
(2)当S△OBP=5时,求点P坐标.
8如图所示,表示一次函数y=ax+b与正比例函数y=abx(a,b是常数,且ab≠0)的图象是 ( )
9已知一次函数y=-x-3,当-1≤x≤2时,函数y的最小值为 .
10(2024·郴州质检)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,1),(1,4),若直线y=2x+b与线段AB有公共点,则b的取值范围是 .
11已知一次函数y1=-2x+a与y2=x+b的图象都经过A(2,0),且与y轴分别交于B,C两点.
(1)求a,b的值;
(2)在同一直角坐标系中画出一次函数y1=-2x+a与y2=x+b的图象;
(3)求△ABC的面积.
12新趋势·抽象能力在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y')给出如下定义:如果y'=,那么我们称点Q为点P的“关联点”,例如:点(2,3)的“关联点”为(2,3),点(-2,3)的“关联点”为点(-2,-3).
(1)点(3,-3)的“关联点”为(a,b),则a+b=________;
(2)如果点Q(m,2)的“关联点”Q'在一次函数y=x+1上,求m的值.第2课时 一次函数的图象与性质
知识点1 一次函数的图象
1如图,四个一次函数y=ax,y=bx,y=cx+1,y=dx-3的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是(B)
A.b>a>d>c B.a>b>c>d
C.a>b>d>c D.b>a>c>d
2(2024·三明质检)一次函数y=kx+b的图象如图,看图填空:
(1)当x=0时,y= 4 ;当x= 2 时,y=0;
(2)k= -2 ,b= 4 ;
(3)一次函数的表达式为 y=-2x+4 ;
(4)当x=5时,y= -6 ;当y=6时,x= -1 .
知识点2 一次函数图象的性质
3直线y=-2x+b上有三个点(-2.4,y1),(-1.5,y2),(1.3,y3),则y1,y2,y3的大小关系是 (A)
A.y1>y2>y3 B.y1C.y2y1>y3
4已知:一次函数y=(2-m)x+m-3.
(1)如果此函数图象经过原点,那么m应满足的条件为 m=3 ;
(2)如果此函数图象经过第二、三、四象限,那么m应满足的条件为 2(3)如果此函数图象与y轴交点在x轴下方,那么m应满足的条件为 m<3且m≠2 ;
(4)如果此函数图象与y轴交点到x轴的距离为2,那么m应满足的条件为 m=5或m=1 .
知识点3 一次函数图象的平移
5(2023·天津中考)若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点(2,m),则m的值为 5 .
6如图,将直线l1:y=-2x向上平移b(b>0)个单位后得到直线l2,直线l2经过点P(1,2),与x轴、y轴分别相交于点A,B.
(1)求直线l2的函数表达式;
(2)求△AOB的面积.
【解析】(1)将直线l1:y=-2x向上平移b(b>0)个单位后得到直线l2:y=-2x+b,
因为直线l2经过点P(1,2),
所以2=-2+b,解得b=4,
所以直线l2的函数表达式为y=-2x+4.
(2)令x=0,则y=4,
所以B(0,4),
令y=0,则x=2,
所以A(2,0),
所以S△AOB=×2×4=4.
练易错 动点问题遗漏情况
7已知直线y=2x+2与坐标轴交于A,B两点,若直线y=-x+2上有一动点P.
(1)求点A与点B的坐标.
(2)当S△OBP=5时,求点P坐标.
【解析】(1)当x=0时,y=2×0+2=2,
所以点A的坐标为(0,2);
当y=0时,2x+2=0,解得x=-1,
所以点B的坐标为(-1,0);
(2)因为点B的坐标为(-1,0),所以OB=1,
所以S△OBP=·OB·|yP|=5,
所以yP=±10.
当y=10时,-x+2=10,解得x=-8,
所以点P的坐标为(-8,10);
当y=-10时,-x+2=-10,解得x=12,
所以点P的坐标为(12,-10).
综上所述,点P的坐标为(-8,10)或(12,-10).
8如图所示,表示一次函数y=ax+b与正比例函数y=abx(a,b是常数,且ab≠0)的图象是 (A)
9已知一次函数y=-x-3,当-1≤x≤2时,函数y的最小值为 -5 .
10(2024·郴州质检)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,1),(1,4),若直线y=2x+b与线段AB有公共点,则b的取值范围是 -1≤b≤2 .
11已知一次函数y1=-2x+a与y2=x+b的图象都经过A(2,0),且与y轴分别交于B,C两点.
(1)求a,b的值;
(2)在同一直角坐标系中画出一次函数y1=-2x+a与y2=x+b的图象;
(3)求△ABC的面积.
【解析】 (1)点A(2,0),分别代入y1=-2x+a与y2=x+b,得0=-4+a,0=2+b,
解得a=4,b=-2;
(2)因为一次函数y1=-2x+4,y2=x-2与y轴分别交于B,C两点.
对于y1=-2x+4,令x=0,得y=4,
对于y2=x-2,令x=0,得y=-2,
所以B(0,4),C(0,-2),
如图所示,
(3)因为OA=2,BC=4-(-2)=6,
所以S△ABC=BC·OA=×6×2=6.
12新趋势·抽象能力在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y')给出如下定义:如果y'=,那么我们称点Q为点P的“关联点”,例如:点(2,3)的“关联点”为(2,3),点(-2,3)的“关联点”为点(-2,-3).
(1)点(3,-3)的“关联点”为(a,b),则a+b=________;
(2)如果点Q(m,2)的“关联点”Q'在一次函数y=x+1上,求m的值.
【解析】(1)因为点(3,-3)的“关联点”为(3,-3),
所以a=3,b=-3,
所以a+b=0;
答案:0
(2)因为点Q'在一次函数y=x+1的图象上,是点Q(m,2)的“关联点”,
所以当m≥0时,点Q'的纵坐标为2;
当m<0时,点Q'的纵坐标为-2,
因为点Q'在一次函数y=x+1的图象上,
所以m+1=2或m+1=-2.
所以m=1或m=-3.3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象与性质
知识点1 正比例函数的图象
1下列各图象中,表示函数y=x的大致图象的是 (A)
2在水管放水的过程中,放水的时间x(分)与流出的水量y(立方米)是两个变量.已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米,放水的过程共持续10分钟,则y关于x的函数图象是(D)
3已知P1(1,y1),P2(2,y2)在正比例函数y=-x的图象上,则y1 > y2.(填“>”“<”或“=”)
4一个正比例函数的图象经过点A(-2,3),B(a,-3),则a= 2 .
知识点2 正比例函数图象性质
5如图,三个正比例函数的图象对应的表达式为①y=ax,②y=bx,③y=cx,则a,b,c的大小关系是 (B)
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>a>c D.b>c>a
6关于正比例函数y=-3x,下列结论正确的是 (C)
A.图象不经过原点
B.y随x的增大而增大
C.图象经过第二、四象限
D.当x=时,y=1
7已知正比例函数y=(k2+3)x的图象上两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2,则下列不等式中一定成立的是 (C)
A.y1+y2>0 B.y1+y2<0
C.y1-y2>0 D.y1-y2<0
8(2024·成都期中)若y=(m-2)x+m2-4是y关于x的正比例函数,如果点A(m,a)和点B(-m,b)在该函数的图象上,那么a和b的大小关系是 (B)
A.ab C.a≤b D.a≥b
9已知函数y=(k+)(k为常数).
(1)当k为何值时,该函数是正比例函数
(2)当k为何值时,正比例函数y随x的增大而增大 请画出它的图象.
(3)当k为何值时,正比例函数y随x的增大而减小 请画出它的图象.
(4)点A(2,5)与点B(2,-3)分别在哪条直线上
【解析】(1)由题意得k2-3=1且k+≠0,
解得k=±2.
所以正比例函数的表达式为y=x或y=-x.
(2)因为正比例函数y随x的增大而增大,
所以k+>0,解得k>-.
所以k=2.
函数图象如图;
(3)因为正比例函数y随x的增大而减小,
所以k+<0,解得k<-.
所以k=-2.
函数图象如图;
(4)因为当x=2时,y=5,
所以点A(2,5)在函数y=x上.
因为当x=2时,y=-3,
所以点B(2,-3)函数y=-x上.
10一次函数y=(1-m)x的图象如图所示,则化简+m的结果是 (D)
A.2m-1 B.1-2m
C.2m D.1
11(2024·昆山质检)在y=k1x中,y随x的增大而减小,k1k2<0,则在同一平面直角坐标系中,y=k1x和y=k2x的图象大致为(B)
12正比例函数y=kx(k<0),当1≤x≤3时,函数y的最大值和最小值之差为4,则k= -2 .
13(2024·枣庄质检)规定:[k,b]是一次函数y=kx+b(k,b为实数,且k≠0)的“特征数”.若“特征数”为[m+1,m2-4]的一次函数是正比例函数,且y随x的增大而减小,则点(3+2m,1-m)所在的象限是第 二 象限.
14(2024·晋江质检)已知正比例函数y=kx的图象经过点A,点A在第四象限,过点A作AH⊥x轴,垂足为点H,点A的横坐标为3,且△AOH的面积为3.
(1)求正比例函数的表达式;
(2)在x轴上能否找到一点P,使△AOP的面积为5 若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为点A的横坐标为3,且△AOH的面积为3,
所以点A的纵坐标为-2,点A的坐标为(3,-2),
因为正比例函数y=kx经过点A,
所以3k=-2,解得k=-.
所以正比例函数的表达式是y=-x;
(2)因为△AOP的面积为5,点A的坐标为(3,-2),所以OP=5,
所以点P的坐标为(5,0)或(-5,0).
15如图,已知四边形ABCD是正方形,点B,C分别在直线y=2x和y=kx上,点A,D是x轴上两点.
(1)若此正方形边长为2,k=________.
(2)若此正方形边长为a,k的值是否会发生变化 若不会发生变化,请说明理由;若会发生变化,求出a的值.
【解析】(1)因为正方形ABCD边长为2,
所以AB=2.
在直线y=2x中,当y=2时,x=1,
所以OA=1,OD=1+2=3,
所以C(3,2),将C(3,2)代入y=kx中,
得2=3k,解得k=.
答案:
(2)k的值不会发生变化.
理由:因为正方形边长为a,所以AB=a,
在直线y=2x中,当y=a时,x=,
所以OA=,OD=a,所以C(a,a),
将C(a,a)代入y=kx中,得a=k×a,
解得k=,所以k的值不会发生变化.
