4 一次函数的应用
第1课时 借助一次函数表达式解决一些简单问题
1声音在空气中传播的速度v(简称声速)与空气温度t的关系(如表所示),则下列说法错误的是 ( )
空气温度t(℃) -15 -10 5 10 15
声速v(m/s) 321 324 333 336 339
A.在一定范围内,空气温度越高声速越快
B.空气温度每升高10 ℃,声速增加6 m/s
C.声速v与空气温度t之间的关系式为v=t+330
D.当空气温度为20 ℃时,声音5 s可以传播1 740 m
2如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点B,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则直线BC的表达式为 .
3(2023·济南中考)学校提倡“低碳环保,绿色出行”,小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学,两人各自从家同时同向出发,沿同一条路匀速前进.如图所示,l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s(km)和时间t( )的关系,则出发 h后两人相遇.
4直线l经过点A(2,2),且与y轴交于点B,若△AOB的面积为1,则直线l的表达式为 .
5新趋势·模型观念、应用意识
某游泳馆普通票为20元/次,暑假为丰富学生假期生活,特推出两种学生优惠卡:
①畅游卡:每张售价500元,每次游泳凭卡不再收费;
②学生卡:每张售价200元,每次游泳凭卡另收费10元.
暑假普通票正常出售,两种学生优惠卡仅限学生暑假期间使用,不限次数.设小明计划今年暑假期间游泳x次.
(1)分别写出选择普通票、学生卡消费时,所需费用y1,y2与次数x之间的函数表达式;
(2)在同一坐标系中三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A,B,C的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式合算 第3课时 借助两个一次函数图象解决实际问题
1(2024·北京海淀区质检)已知甲车从A地出发前往B地,同时乙车从B地出发前往A地,两车离A地距离y(千米)和行驶时间x(小时)的关系如图,则两车相遇时,甲车行驶的时间是 ( )
A.3.5小时 B.小时
C.2.5小时 D.3小时
2甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客,在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案,甲园:顾客进园需购买门票,采摘的草莓按六折优惠.乙园:顾客进园免门票,采摘草莓超过一定数量后,超过的部分打折销售.活动期间,某顾客的草莓采摘量为x千克,若在甲园采摘需总费用y1元,若在乙园采摘需总费用y2元.y1,y2与x之间的函数图象如图所示,则下列说法中错误的是 ( )
A.甲园的门票费用是60元
B.草莓优惠前的销售价格是40元/千克
C.乙园超过5千克后,超过的部分价格优惠是打五折
D.若顾客采摘15千克草莓,那么到甲园比到乙园采摘更实惠
3一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地,匀速而行,大客车到达乙地后停止,小轿车到达乙地后停留4 h,再按照原速从乙地出发返回甲地,小轿车返回甲地后停止.已知两车距甲地的距离(km)与所用的时间( )的关系如图所示.当两车相距80 km时,两车出发了 h.
4新趋势·模型观念、推理能力在一条笔直的公路上有A,B两地,甲、乙二人同时出发,甲从A地步行匀速前往B地,到达B地后,立刻以原速度沿原路返回A地.乙从B地步行匀速前往A地(甲、乙二人到达A地后均停止运动),甲、乙二人之间的距离y(米)与出发时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)A,B两地之间的距离是________米,乙的步行速度是________米/分钟.
(2)图中a=________,b=________,c=________.
(3)求线段MN的函数表达式.
(4)在乙运动的过程中,何时两人相距80米 4 一次函数的应用
第1课时 借助一次函数表达式解决一些简单问题
1声音在空气中传播的速度v(简称声速)与空气温度t的关系(如表所示),则下列说法错误的是 (D)
空气温度t(℃) -15 -10 5 10 15
声速v(m/s) 321 324 333 336 339
A.在一定范围内,空气温度越高声速越快
B.空气温度每升高10 ℃,声速增加6 m/s
C.声速v与空气温度t之间的关系式为v=t+330
D.当空气温度为20 ℃时,声音5 s可以传播1 740 m
2如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点B,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则直线BC的表达式为 y=3x+3 .
3(2023·济南中考)学校提倡“低碳环保,绿色出行”,小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学,两人各自从家同时同向出发,沿同一条路匀速前进.如图所示,l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s(km)和时间t(h)的关系,则出发 0.35 h后两人相遇.
4直线l经过点A(2,2),且与y轴交于点B,若△AOB的面积为1,则直线l的表达式为 y=x+1或y=x-1 .
5新趋势·模型观念、应用意识
某游泳馆普通票为20元/次,暑假为丰富学生假期生活,特推出两种学生优惠卡:
①畅游卡:每张售价500元,每次游泳凭卡不再收费;
②学生卡:每张售价200元,每次游泳凭卡另收费10元.
暑假普通票正常出售,两种学生优惠卡仅限学生暑假期间使用,不限次数.设小明计划今年暑假期间游泳x次.
(1)分别写出选择普通票、学生卡消费时,所需费用y1,y2与次数x之间的函数表达式;
(2)在同一坐标系中三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A,B,C的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式合算
【解析】(1)由题意可得:选择普通票消费:y1=20x,选择学生卡消费:y2=10x+200;
(2)因为y2=10x+200,所以当x=0,y2=200,所以A(0,200);
由题意,得20x=10x+200,解得x=20,则y=400.所以B(20,400);
在y2=10x+200中,当y=500时,得x=30.所以C(30,500).
(3)当0当x=20时,普通票和学生卡费用相同,均比畅游卡合算;
当20当x=30时,畅游卡和学生卡费用相同,均比普通票合算;
当x>30时,选择畅游卡合算.第2课时 借助单个一次函数图象解决实际问题
知识点1 一次函数与一元一次方程
1若关于x的方程4x-b=0的解为x=2,则直线y=4x-b的图象一定经过点 (A)
A.(2,0) B.(0,3) C.(0,4) D.(2,5)
2(2024·德州质检)如图,一次函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则方程ax+4=0的解为 (A)
A.x=6 B.x=3 C.x=-6 D.x=-3
3若直线y=kx+b与x轴的交点坐标为(-3,0),则关于x的方程kx+b=0的解是 x=-3 .
4(2024·秦皇岛期末)如图,已知函数y=2x+b和y=ax-3的图象交于点P(-2,-5),根据图象可得方程2x+b=ax-3的解是 x=-2
知识点2 单一一次函数图象解决实际问题
5(2023·威海中考)一辆汽车在行驶过程中,其行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示.当0≤x≤0.5时,y与x之间的函数表达式为y=60x;当0.5≤x≤2时,y与x之间的函数表达式为 y=80x-10 .
6为了让更多的学生学会游泳,少年宫新建一个游泳池,其容积为480 m3,打开进水口注水时,游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间满足一次函数关系,其图象如图所示,下列说法错误的是 (D)
A.注水2小时时,游泳池的蓄水量为380 m3
B.该游泳池内开始注水时已经蓄水100 m3
C.注水2小时时,还需注水100 m3,可将游泳池注满
D.每小时可注水190 m3
7甲和乙同时加工一种产品,他们的工作量与工作时间的关系如图所示,则当甲加工了这种产品70件时,乙加工了 280 件.
8已知直线y=2x+3与直线y=-2x+5,求两直线与x轴围成的三角形的面积.
【解析】令y=0,则2x+3=0,
解得x=-,
-2x+5=0,解得x=,
所以与x轴的交点坐标分别为(-,0),(,0),
两点间的距离为-(-)=4,
联立,解得,
所以两直线与x轴围成的三角形的面积为×4×4=8.
9如图,是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象.下列说法:①售2件时甲、乙两家售价一样;②买1件时买乙家的合算;③买3件时买甲家的合算;④买乙家的1件售价约为3元.其中正确的说法是 (D)
A.①② B.②③④
C.③④ D.①②③
10(2024·盘锦质检)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是正方形,点B的坐标为(4,4),直线y=mx-2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分,则m= 2 .
11如图1是一个轴对称图形,且每个角都是直角,长度如图所示,小明按图2所示的方式两两相扣,相扣处不留空隙,小明用x个如图1所示的图形拼出来的总长度y会随着x的变化而变化,y与x的表达式为y= 5x+2 .
12公交是一种绿色的出行方式,今年某县全面开通环保电动公交车.某电动公交车在每天发车前需先将蓄电池充满,然后立即开始不间断运行.为保障行车安全,当蓄电池剩余电量低于20 kW·h时,需停止运行.在充电和运行过程中,蓄电池的电量y(单位:kW·h)与时间x(单位:h)之间的关系如图所示.已知当该电动公交车运行时,y与x的函数表达式为y=-15x+b.
(1)该电动公交车每小时充电量为________kW·h;
(2)当该电动公交车运行时,求y关于x的函数表达式;
(3)当蓄电池的电量为65 kW·h时,求该电动公交车运行了多长时间.
【解析】(1)由题中图象知,5 h共充电200-50=150(kW·h),
所以每小时充电量为150÷5=30(kW·h);
答案:30
(2)y与x的函数表达式为y=-15x+b.图象经过点(5,200),将其代入得:
200=-15×5+b,
解得b=275,所以y=-15x+275,
当y=20时,x=17,所以5≤x≤17,
所以该公交车运行时y关于x的函数表达式为:y=-15x+275(5≤x≤17);
(3)当蓄电池的电量为65 kW·h时,
将y=65代入表达式中得:-15x+275=65,
解得x=14,所以14-5=9(小时),
所以该电动公交车运行了9小时.
13新趋势·几何直观、推理能力
如图,正方形OA1B1C1,C1A2B2C2,C2A3B3C3,…的顶点A1,A2,A3,…在直线y=kx+b上,顶点C1,C2,C3,…在x轴上,已知B1(1,1),B2(3,2),那么点A4的坐标为 (7,8) ,点An的坐标为 (-1,) . 第2课时 借助单个一次函数图象解决实际问题
知识点1 一次函数与一元一次方程
1若关于x的方程4x-b=0的解为x=2,则直线y=4x-b的图象一定经过点 ( )
A.(2,0) B.(0,3) C.(0,4) D.(2,5)
2(2024·德州质检)如图,一次函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则方程ax+4=0的解为 ( )
A.x=6 B.x=3 C.x=-6 D.x=-3
3若直线y=kx+b与x轴的交点坐标为(-3,0),则关于x的方程kx+b=0的解是 .
4(2024·秦皇岛期末)如图,已知函数y=2x+b和y=ax-3的图象交于点P(-2,-5),根据图象可得方程2x+b=ax-3的解是
知识点2 单一一次函数图象解决实际问题
5(2023·威海中考)一辆汽车在行驶过程中,其行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示.当0≤x≤0.5时,y与x之间的函数表达式为y=60x;当0.5≤x≤2时,y与x之间的函数表达式为 .
6为了让更多的学生学会游泳,少年宫新建一个游泳池,其容积为480 m3,打开进水口注水时,游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t( )之间满足一次函数关系,其图象如图所示,下列说法错误的是 ( )
A.注水2小时时,游泳池的蓄水量为380 m3
B.该游泳池内开始注水时已经蓄水100 m3
C.注水2小时时,还需注水100 m3,可将游泳池注满
D.每小时可注水190 m3
7甲和乙同时加工一种产品,他们的工作量与工作时间的关系如图所示,则当甲加工了这种产品70件时,乙加工了 件.
8已知直线y=2x+3与直线y=-2x+5,求两直线与x轴围成的三角形的面积.
9如图,是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象.下列说法:①售2件时甲、乙两家售价一样;②买1件时买乙家的合算;③买3件时买甲家的合算;④买乙家的1件售价约为3元.其中正确的说法是 ( )
A.①② B.②③④
C.③④ D.①②③
10(2024·盘锦质检)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是正方形,点B的坐标为(4,4),直线y=mx-2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分,则m= .
11如图1是一个轴对称图形,且每个角都是直角,长度如图所示,小明按图2所示的方式两两相扣,相扣处不留空隙,小明用x个如图1所示的图形拼出来的总长度y会随着x的变化而变化,y与x的表达式为y= .
12公交是一种绿色的出行方式,今年某县全面开通环保电动公交车.某电动公交车在每天发车前需先将蓄电池充满,然后立即开始不间断运行.为保障行车安全,当蓄电池剩余电量低于20 kW·h时,需停止运行.在充电和运行过程中,蓄电池的电量y(单位:kW·h)与时间x(单位:h)之间的关系如图所示.已知当该电动公交车运行时,y与x的函数表达式为y=-15x+b.
(1)该电动公交车每小时充电量为________kW·h;
(2)当该电动公交车运行时,求y关于x的函数表达式;
(3)当蓄电池的电量为65 kW·h时,求该电动公交车运行了多长时间.
13新趋势·几何直观、推理能力
如图,正方形OA1B1C1,C1A2B2C2,C2A3B3C3,…的顶点A1,A2,A3,…在直线y=kx+b上,顶点C1,C2,C3,…在x轴上,已知B1(1,1),B2(3,2),那么点A4的坐标为 ,点An的坐标为 . 第3课时 借助两个一次函数图象解决实际问题
1(2024·北京海淀区质检)已知甲车从A地出发前往B地,同时乙车从B地出发前往A地,两车离A地距离y(千米)和行驶时间x(小时)的关系如图,则两车相遇时,甲车行驶的时间是 (B)
A.3.5小时 B.小时
C.2.5小时 D.3小时
2甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客,在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案,甲园:顾客进园需购买门票,采摘的草莓按六折优惠.乙园:顾客进园免门票,采摘草莓超过一定数量后,超过的部分打折销售.活动期间,某顾客的草莓采摘量为x千克,若在甲园采摘需总费用y1元,若在乙园采摘需总费用y2元.y1,y2与x之间的函数图象如图所示,则下列说法中错误的是 (D)
A.甲园的门票费用是60元
B.草莓优惠前的销售价格是40元/千克
C.乙园超过5千克后,超过的部分价格优惠是打五折
D.若顾客采摘15千克草莓,那么到甲园比到乙园采摘更实惠
3一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地,匀速而行,大客车到达乙地后停止,小轿车到达乙地后停留4 h,再按照原速从乙地出发返回甲地,小轿车返回甲地后停止.已知两车距甲地的距离(km)与所用的时间(h)的关系如图所示.当两车相距80 km时,两车出发了 4,14或16 h.
4新趋势·模型观念、推理能力在一条笔直的公路上有A,B两地,甲、乙二人同时出发,甲从A地步行匀速前往B地,到达B地后,立刻以原速度沿原路返回A地.乙从B地步行匀速前往A地(甲、乙二人到达A地后均停止运动),甲、乙二人之间的距离y(米)与出发时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)A,B两地之间的距离是________米,乙的步行速度是________米/分钟.
(2)图中a=________,b=________,c=________.
(3)求线段MN的函数表达式.
(4)在乙运动的过程中,何时两人相距80米
【解析】(1)由题中图象知:当x=0时,y=1 200,
所以A,B两地之间的距离是1 200米;
由题中图象知:乙经过20分钟到达A,
所以乙的速度为=60(米/分钟).
答案:1 200 60
(2)由题中图象知:当x=时,y=0,
所以甲乙二人的速度和为:1 200÷=140(米/分钟),
设甲的速度为x米/分钟,则乙的速度为(140-x)米/分钟,
所以140-x=60,
所以x=80.
所以甲的速度为80米/分钟,
因为点M的实际意义是经过c分钟甲到达B地,
所以c=1 200÷80=15(分钟),
所以a=60×15=900(米).
因为点N的实际意义是经过20分钟乙到达A地,
所以b=900-(80-60)×5=800(米).
答案:900 800 15
(3)由题意得:M(15,900),N(20,800),
设线段MN的表达式为y=kx+n,
所以,
解得,
所以线段MN的表达式为y=-20x+1 200(15≤x≤20).
(4)在乙运动的过程中,二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米.理由:
①相遇前两人相距80米时,二人的所走路程和为1 200-80=1 120(米),
所以1 120÷140=8(分钟);
②相遇后两人相距80米时,二人的所走路程和为1 200+80=1 280(米),
所以1 280÷140=(分钟).
综上,在乙运动的过程中,二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米.
阶段测评 请做 “单元提优测评卷(四)”
