2 求解二元一次方程组
第1课时 代入消元法
知识点 用代入消元法解二元一次方程组
1关于x,y的二元一次方程组,用代入消元法消去y后所得到的方程,正确的是 (A)
A.3x-x-5=8 B.3x+x-5=8
C.3x+x+5=8 D.3x-x+5=8
2二元一次方程组的解是 (B)
A. B.
C. D.
3二元一次方程组的解是 .
4若|x+y-3|与(2x+3y-8)2互为相反数,则x+2y= 5 .
5解方程组:
(1);
(2).
【解析】(1),把②代入①得,2x+(4x-1)=2,x=,
把x=代入②得,y=1,所以原方程组的解为.
(2),将①代入②,得2y+2+y=8,即3y=6,
解得y=2,将y=2代入①,得x=2+1=3,则原方程组的解为.
6解方程组:
【解析】由①得:y=2x-3③,将③代入②,得:3x-(2x-3)=8,
解得:x=5.将x=5代入①得:10-y=3,所以y=7,所以该方程组的解为
7解方程组
【解析】整理得
由①得x=9+5y③,把③代入②得,3(9+5y)-y=-15,
解得y=-3,把y=-3代入③,得x=-6.所以
8(2024·驻马店期末)小鑫、小童两人同时解方程组时,小鑫看错了方程②中的a,解得,小童看错了①中的b,解得.
(1)求正确的a,b的值;
(2)求原方程组的正确解.
【解析】(1)根据题意,可得,整理得,解得;
(2)将a,b代入原方程组,得,由②可得y=2x-17③,
将③代入①,可得x-3(2x-17)=1,解得x=10,把x=10代入③,解得y=3.
故原方程组的正确解是.
9(2024·东营质检)用代入消元法解方程组,代入消元,正确的是(D)
A.由①得y=3x+2,代入②后得3x=11-2(3x+2)
B.由②得x=,代入②得3×=11-2y
C.由①得x=,代入②得2-y=11-2y
D.由②得3x=11-2y,代入①得11-2y-y=2
10已知方程组与有相同的解,则a,b的值为 (D)
A. B.
C. D.
11(2024·重庆质检)对于x,y定义一种新运算F,规定F(x,y)=ax+by(其中a,b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算,例如:F(0,0)=a×0+b×0=0,若F(1,2)=-3,F(2,-1)=4,下列结论正确的个数为 (A)
①F(3,4)=-5;
②若F(m,n)-2F(-m,n)=27,则m,n有且仅有4组正整数解;
③若F(kx,y)=F(x,ky)对任意实数x,y均成立,则k=1.
A.3 B.2 C.1 D.0
12若方程组(1)与(2)
有相同的解,则a= 3 ,b= 2 .
13(2024·唐山期中)整体代入就是把某些部分看成一个整体,则能使复杂的问题简单化.例如,在解方程组时,把①变形:x-y=1③,把③代入②中,求得x= 0 ,y= -1 ;利用整体代入思想,已知,则x2+4y2= 17 .
14新趋势·推理能力、运算能力阅读与思考:如果一对数m,n,满足+=,我们称这一对数m,n为“相随数对”,记为(m,n).
(1)若(2,n)是“相随数对”,则n=_______;
(2)若(m,n)是“相随数对”,
①用含n的代数式表示m;
②若25m+n=6,求m,n的值.
【解析】(1)因为(2,n)是“相随数对”,所以+=,解得n=-,
答案:-
(2)①因为(m,n)是“相随数对”,所以+=,所以35m+14n=10(m+n),
解得m=-n;
②因为25m+n=6,m=-n,所以-4n+n=6,解得n=-2,所以m=-n=,
所以m的值为,n的值为-2.第2课时 加减消元法
知识点 加减消元法解二元一次方程组
1用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中无法消元的是( )
A.①×2-② B.②×(-3)-①
C.①×(-2)+② D.①-②×3
2用加减消元法解方程组,由②-①消去未知数y,所得到的一元一次方程是 ( )
A.2x=9 B.2x=3 C.4x=9 D.4x=3
3若方程mx+ny=6的两个解是则m,n的值为 ( )
A.4,2 B.2,4
C.-4,-2 D.-2,-4
4已知关于x,y的方程的解满足x+y=-3,则a的值为 .
5甲、乙两人都解方程组,甲看错a解得,乙看错b解得,则方程组正确的解是 .
6解下列方程组:
(1) (2)
7解下列方程组:
(1); (2).
8(2024·张家界期末)在等式y=kx+b中,当x=4时,y=-20;当x=-2时,y=16.
(1)求k,b的值;
(2)当y=-8时,求x的值.
9对于有理数x,y,规定新运算:x※y=ax+by+xy,其中a,b是常数,等式右边的是通常的加法和乘法运算.已知:2※1=7,(-3)※3=3,求1※1的值.
10已知方程组和的解相同,则a,b的值分别为 ( )
A. B.
C. D.
11(2024·泸州期中)对x,y定义一种新运算T,规定:T(x,y)=ax+bxy+1(其中a,b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算.例如:T(0,1)=a×0+b×0×1+1=1,若T(2,1)=7,T(-1,2)=-3,则下列结论正确的个数为 ( )
(1)a=1,b=2;
(2)若T(m,n)=2(n≠-2),则m=;
(3)若T(m,n)=5,则m,n有且仅有6组整数解.
A.0 B.1 C.2 D.3
12若|-2a+b+3|+(3a+b-4)2=0,则多项式a2+4ab+4b2的值等于 .
13若方程组的解是某学生看错了c,求出解为则正确的c值为 ,b= .
14(2024·嘉兴期中)例:解方程组
.
由①+②,得4 000x+4 000y=16 000,
即x+y=4,③
由①-②得2x-2y=2,
即x-y=1,④
[归纳]对于大系数的二元一次方程组,当用代入法和加减法解非常麻烦时,可以通过观察各项系数的特点,寻求特殊解法.
结合例子,模仿解方程组:
.
15新趋势·推理能力、模型观念
三个同学对问题“若方程组的解是,求方程组的解”提出各自的想法.甲说:“这个题目好像条件不够,不能求解.”乙说:“它们的系数有一定的规律,可以试试.”丙说:“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过换元替代的方法来解决.”参考他们的讨论,请你解答这个题目.2 求解二元一次方程组
第1课时 代入消元法
知识点 用代入消元法解二元一次方程组
1关于x,y的二元一次方程组,用代入消元法消去y后所得到的方程,正确的是 ( )
A.3x-x-5=8 B.3x+x-5=8
C.3x+x+5=8 D.3x-x+5=8
2二元一次方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
3二元一次方程组的解是 .
4若|x+y-3|与(2x+3y-8)2互为相反数,则x+2y= .
5解方程组:
(1);
(2).
6解方程组:
7解方程组
8(2024·驻马店期末)小鑫、小童两人同时解方程组时,小鑫看错了方程②中的a,解得,小童看错了①中的b,解得.
(1)求正确的a,b的值;
(2)求原方程组的正确解.
9(2024·东营质检)用代入消元法解方程组,代入消元,正确的是( )
A.由①得y=3x+2,代入②后得3x=11-2(3x+2)
B.由②得x=,代入②得3×=11-2y
C.由①得x=,代入②得2-y=11-2y
D.由②得3x=11-2y,代入①得11-2y-y=2
10已知方程组与有相同的解,则a,b的值为 ( )
A. B.
C. D.
11(2024·重庆质检)对于x,y定义一种新运算F,规定F(x,y)=ax+by(其中a,b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算,例如:F(0,0)=a×0+b×0=0,若F(1,2)=-3,F(2,-1)=4,下列结论正确的个数为 ( )
①F(3,4)=-5;
②若F(m,n)-2F(-m,n)=27,则m,n有且仅有4组正整数解;
③若F(kx,y)=F(x,ky)对任意实数x,y均成立,则k=1.
A.3 B.2 C.1 D.0
12若方程组(1)与(2)
有相同的解,则a= ,b= .
13(2024·唐山期中)整体代入就是把某些部分看成一个整体,则能使复杂的问题简单化.例如,在解方程组时,把①变形:x-y=1③,把③代入②中,求得x= ,y= ;利用整体代入思想,已知,则x2+4y2= .
14新趋势·推理能力、运算能力阅读与思考:如果一对数m,n,满足+=,我们称这一对数m,n为“相随数对”,记为(m,n).
(1)若(2,n)是“相随数对”,则n=_______;
(2)若(m,n)是“相随数对”,
①用含n的代数式表示m;
②若25m+n=6,求m,n的值.第2课时 加减消元法
知识点 加减消元法解二元一次方程组
1用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中无法消元的是(D)
A.①×2-② B.②×(-3)-①
C.①×(-2)+② D.①-②×3
2用加减消元法解方程组,由②-①消去未知数y,所得到的一元一次方程是 (A)
A.2x=9 B.2x=3 C.4x=9 D.4x=3
3若方程mx+ny=6的两个解是则m,n的值为 (A)
A.4,2 B.2,4
C.-4,-2 D.-2,-4
4已知关于x,y的方程的解满足x+y=-3,则a的值为 5 .
5甲、乙两人都解方程组,甲看错a解得,乙看错b解得,则方程组正确的解是 .
6解下列方程组:
(1) (2)
【解析】(1)②×5得:25x-5y=5③,③-①得:22x=5,所以x=,将x=代入①得:y=.所以方程组的解为
(2)原方程组化为:①-②得:4y=28,所以y=7.
将y=7代入①得:x=5,所以方程组的解为
7解下列方程组:
(1); (2).
【解析】(1)①-②,得6y=-2,解得y=-,把y=-代入①,得x=.
所以;
(2)原方程组可化为,①×3-②,得2y=4,
解得y=2.把y=2代入①,得x=-.所以.
8(2024·张家界期末)在等式y=kx+b中,当x=4时,y=-20;当x=-2时,y=16.
(1)求k,b的值;
(2)当y=-8时,求x的值.
【解析】(1)把x=4时,y=-20;x=-2时,y=16代入y=kx+b中可得,
解得;
(2)由(1)可知y=-6x+4,当y=-8时,-8=-6x+4,解得x=2.
9对于有理数x,y,规定新运算:x※y=ax+by+xy,其中a,b是常数,等式右边的是通常的加法和乘法运算.已知:2※1=7,(-3)※3=3,求1※1的值.
【解析】根据题意,得,①×3-②,得9a=3,即a=,
将a=代入①,得b=,则1※1=++1=.
10已知方程组和的解相同,则a,b的值分别为 (C)
A. B.
C. D.
11(2024·泸州期中)对x,y定义一种新运算T,规定:T(x,y)=ax+bxy+1(其中a,b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算.例如:T(0,1)=a×0+b×0×1+1=1,若T(2,1)=7,T(-1,2)=-3,则下列结论正确的个数为 (C)
(1)a=1,b=2;
(2)若T(m,n)=2(n≠-2),则m=;
(3)若T(m,n)=5,则m,n有且仅有6组整数解.
A.0 B.1 C.2 D.3
12若|-2a+b+3|+(3a+b-4)2=0,则多项式a2+4ab+4b2的值等于 1 .
13若方程组的解是某学生看错了c,求出解为则正确的c值为 1 ,b= -2 .
14(2024·嘉兴期中)例:解方程组
.
由①+②,得4 000x+4 000y=16 000,
即x+y=4,③
由①-②得2x-2y=2,
即x-y=1,④
[归纳]对于大系数的二元一次方程组,当用代入法和加减法解非常麻烦时,可以通过观察各项系数的特点,寻求特殊解法.
结合例子,模仿解方程组:
.
【解析】①+②,得500x+500y=1 500,即x+y=3③,
①-②,得6x-6y=54,即x-y=9④,
③+④,得2x=12,解得x=6,
③-④,得2y=-6,解得y=-3,
则原方程组的解为.
15新趋势·推理能力、模型观念
三个同学对问题“若方程组的解是,求方程组的解”提出各自的想法.甲说:“这个题目好像条件不够,不能求解.”乙说:“它们的系数有一定的规律,可以试试.”丙说:“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过换元替代的方法来解决.”参考他们的讨论,请你解答这个题目.
【解析】所求方程组可变形为,
两方程相加得(a1+a2)x+(b1+b2)y=c1+c2,①
根据第一组方程的解可得,
两方程相加得8(a1+a2)+9(b1+b2)=c1+c2,②
由①②得,解得.
所以原方程组的解为.
