6 二元一次方程与一次函数
知识点1 二元一次方程与一次函数
1已知二元一次方程2x+3y-6=0,若把y看成x的函数,画出它的图象,根据图象回答:
(1)当y=-4,0,2时,对应的x值是多少
(2)当y=0时,对应的x值是哪个方程的解 解为多少
【解析】2x+3y-6=0,3y=-2x+6,0y=-x+2.
(1)根据图象可得y=0时,x=3,y=2时,x=0,y=-4时,x=9.
(2)当y=0时,对应的x值是方程-x+2=0的解,解为x=3.
知识点2 二元一次方程组与一次函数
2(2024·武汉质检)在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示,则关于x,y的方程组,的解是 (C)
A. B. C. D.
3若二元一次方程组的解是则一次函数y=2x-m的图象与一次函数y=4x-1的图象的交点坐标为 (2,7) .
4(2024·扬州期中)如图,直线l1:y=x+5交y轴,x轴于A,B两点,直线l2:y=-x-1交y轴,x轴于C,D两点,直线l1,l2相交于P点.
(1)方程组的解是________;
(2)求直线l1,l2与x轴围成的三角形的面积;
(3)过P点的直线把△PAC面积两等分,直接写出这条直线的表达式.
【解析】(1)因为直线l1:y=x+5和直线l2:y=-x-1都经过点(-4,1),
所以两条直线的交点P为(-4,1),所以方程组的解是.
答案:
(2)把y=0分别代入y=x+5和y=-x-1,解得x=-5和x=-2,
所以B(-5,0),D(-2,0),因为P(-4,1),所以直线l1,l2与x轴围成的三角形面积为×(-2+5)×1=;
(3)把x=0分别代入y=x+5和y=-x-1,解得y=5和y=-1,
所以A(0,5),C(0,-1),所以线段AC的中点为(0,2),
设过P点且把△PAC面积两等分的直线的表达式为y=kx+b,
把点(-4,1),(0,2)代入得,解得,
所以这条直线的表达式为y=x+2.
知识点3 图象法解二元一次方程组
5(1)请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y1=x+1和y2=-x+3的图象;
(2)根据图象直接写出的解:_______;
(3)利用图象直接写出当x在什么范围内时,y1>0.
【解析】(1)如图所示:
(2)由(1)中两函数图象可知,其交点坐标为(1,2),则的解为.
答案:
(3)由题图得,当x>-1时,y1>0.
6如果是方程组的解,则一次函数y=mx+n的表达式为 (D)
A.y=-x+2 B.y=x-2
C.y=-x-2 D.y=x+2
7如图,l1经过点(0,1.5)和(2,3),l2经过原点和点(2,3),以两条直线l1,l2的交点坐标为解的方程组是 (C)
A. B.
C. D.
8定义:我们把直线y=kx+b(k≠0)与直线y=-x的交点称为直线y=kx+b(k≠0)的“不动点”.例如求直线y=3x-2的“不动点”:联立方程,解得,则y=3x-2的“不动点”为(,-).若直线y=mx+n的“不动点”为(n-1,3),则m,n的值分别为 -,-2 .
9规定:二元一次方程ax+by=c有无数组解,每组解记为P(x,y),称P(x,y)为亮点,将这些亮点连接得到一条直线,称这条直线是亮点的隐线,回答下列问题:
(1)已知A(-1,2),B(4,-3),C(-3,1),则是隐线3x+2y=6的亮点的是________;
(2)设P(0,-2),Q(1,-)是隐线t2x+hy=6的两个亮点,求方程(t2+4)x-(t2+h+4)y=26中x,y的最小的正整数解;
(3)已知m,n是实数,且|m|+2=7,若P(|m|,)是隐线2x-3y=s的一个亮点,求隐线中s的最大值和最小值的和.
【解析】(1)把三点的坐标代入方程3x+2y=6中,只有B点满足方程,所以B点是亮点;
答案:B(4,-3)
(2)把P(0,-2),Q(1,-)代入隐线t2x+hy=6中,得,所以,
把,代入(t2+4)x-(t2+h+4)y=26中,得5x-6y=26,所以x==y+5+,
因为x,y都为正整数,所以最小正整数解为;
(3)把P(|m|,)代入隐线2x-3y=s得s=2|m|-3,因为|m|+2=7,
所以|m|=-2+7,所以s=-4+14-3=14-7,
因为≥0,0≤|m|=-2+7,即0≤≤3.5,
所以当=0时,s=14-7的最大值为14,
当=3.5时,s=14-7的最小值为-10.5,
所以s的最大值和最小值的和为14-10.5=3.5.
10[模型观念、推理能力]请你用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数y=-2|x|+2的图象和性质,并解决问题.
(1)①当x=0时,y=-2|x|+2=2;
②当x>0时,y=-2|x|+2=_________;
③当x<0时,y=-2|x|+2=_________;
显然,②和③均为某个一次函数的一部分.
(2)在平面直角坐标系中,作出函数y=-2|x|+2的图象.
(3)一次函数y=kx+b(k为常数,k≠0)的图象恒过点(1,3),若无解,结合函数的图象,直接写出k的取值范围.
【解析】(1)①当x=0时,y=-2|x|+2=2;
②当x>0时,y=-2|x|+2=-2x+2;
③当x<0时,y=-2|x|+2=2x+2.
答案:②-2x+2 ③2x+2
(2)函数y=-2|x|+2的图象如图所示:
(3)如图所示,方程组无解,表示y=kx+b与函数y=-2|x|+2的图象没有交点,
①当k>0时,一次函数呈上升状态,要保证y=kx+b与y=-2|x|+2的图象没有交点,临界位置如l1所示,此时一次函数过点(1,3)和(0,2),k=1,在此基础上将l1顺时针旋转即符合题意,则k的取值范围为0②当k<0时,一次函数呈下降状态,要保证y=kx+b与y=-2|x|+2的图象没有交点,临界位置如l2所示,此时一次函数与y=-2x+2平行,k=-2,在此基础上将l2逆时针旋转符合题意且k=-2时也符合题意,则k的取值范围为-2≤k<0,
综上,k的取值范围为-2≤k<1且k≠0.6 二元一次方程与一次函数
知识点1 二元一次方程与一次函数
1已知二元一次方程2x+3y-6=0,若把y看成x的函数,画出它的图象,根据图象回答:
(1)当y=-4,0,2时,对应的x值是多少
(2)当y=0时,对应的x值是哪个方程的解 解为多少
知识点2 二元一次方程组与一次函数
2(2024·武汉质检)在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示,则关于x,y的方程组,的解是 ( )
A. B. C. D.
3若二元一次方程组的解是则一次函数y=2x-m的图象与一次函数y=4x-1的图象的交点坐标为 .
4(2024·扬州期中)如图,直线l1:y=x+5交y轴,x轴于A,B两点,直线l2:y=-x-1交y轴,x轴于C,D两点,直线l1,l2相交于P点.
(1)方程组的解是________;
(2)求直线l1,l2与x轴围成的三角形的面积;
(3)过P点的直线把△PAC面积两等分,直接写出这条直线的表达式.
知识点3 图象法解二元一次方程组
5(1)请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y1=x+1和y2=-x+3的图象;
(2)根据图象直接写出的解:_______;
(3)利用图象直接写出当x在什么范围内时,y1>0.
6如果是方程组的解,则一次函数y=mx+n的表达式为 ( )
A.y=-x+2 B.y=x-2
C.y=-x-2 D.y=x+2
7如图,l1经过点(0,1.5)和(2,3),l2经过原点和点(2,3),以两条直线l1,l2的交点坐标为解的方程组是 ( )
A. B.
C. D.
8定义:我们把直线y=kx+b(k≠0)与直线y=-x的交点称为直线y=kx+b(k≠0)的“不动点”.例如求直线y=3x-2的“不动点”:联立方程,解得,则y=3x-2的“不动点”为(,-).若直线y=mx+n的“不动点”为(n-1,3),则m,n的值分别为 -,-2 .
9规定:二元一次方程ax+by=c有无数组解,每组解记为P(x,y),称P(x,y)为亮点,将这些亮点连接得到一条直线,称这条直线是亮点的隐线,回答下列问题:
(1)已知A(-1,2),B(4,-3),C(-3,1),则是隐线3x+2y=6的亮点的是________;
(2)设P(0,-2),Q(1,-)是隐线t2x+hy=6的两个亮点,求方程(t2+4)x-(t2+h+4)y=26中x,y的最小的正整数解;
(3)已知m,n是实数,且|m|+2=7,若P(|m|,)是隐线2x-3y=s的一个亮点,求隐线中s的最大值和最小值的和.
10[模型观念、推理能力]请你用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数y=-2|x|+2的图象和性质,并解决问题.
(1)①当x=0时,y=-2|x|+2=2;
②当x>0时,y=-2|x|+2=_________;
③当x<0时,y=-2|x|+2=_________;
显然,②和③均为某个一次函数的一部分.
(2)在平面直角坐标系中,作出函数y=-2|x|+2的图象.
(3)一次函数y=kx+b(k为常数,k≠0)的图象恒过点(1,3),若无解,结合函数的图象,直接写出k的取值范围.
