7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
知识点1 待定系数法求一次函数表达式
1如图,线段AB对应的函数表达式为 (C)
A.y=-x+2
B.y=-x+2
C.y=-x+2(0≤x≤3)
D.y=-x+20(02如果直线y=2x+3与直线y=3x-2b的交点在x轴上,那么b的值为 - .
3(2024·舟山质检)已知关于x,y的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图象的交点坐标为(1,-1),则a= 2 ,b= 3 .
4如图,一次函数y=k2x+b的图象与y轴交于点B,与正比例函数y=k1x的图象相交于点A(4,3),且OA=OB.分别求出这两个函数的表达式.
【解析】因为正比例函数y=k1x的图象经过点A(4,3),所以4k1=3,所以k1=,
所以正比例函数的表达式为y=x.
如图中,过点A作AC⊥x轴于点C,在Rt△AOC中,OC=4,AC=3,
所以AO==5,所以OB=OA=5,所以点B的坐标为(0,-5),
所以,解得,所以一次函数的表达式为y=2x-5.
知识点2 用二元一次方程组解决一次函数综合性问题
5一次函数y=kx+b和y=mx+n的图象如图所示,几位同学根据图象得到了下面的结论:
甲:关于x,y的二元一次方程组的解是;
乙:关于x的一元一次方程kx+b=mx+n的解是x=-2;
丙:关于x的一元一次方程mx+n=0的解是x=-5.
三人中,判断正确的是 (B)
A.甲、乙 B.甲、丙
C.乙、丙 D.甲、乙、丙
6在直角坐标系中,直线l1经过点(1,-3)和点(3,1),直线l2经过点(1,0),且与直线l1交于点A(2,a).
(1)求a的值;
(2)点A(2,a)可看成怎样的二元一次方程组的解
(3)设直线l1与y轴交于点B,直线l2与y轴交于点C,求△ABC的面积.
【解析】(1)设直线l1的表达式为y=kx+b,把(1,-3)和(3,1)代入,
得,解得,则直线l1的表达式为y=2x-5,
把A(2,a)代入y=2x-5,得a=2×2-5=-1;
(2)设l2的表达式为y=mx+n,把A(2,-1),(1,0)代入,
得,解得,所以l2的表达式为y=-x+1,
所以点A(2,a)可以看作是二元一次方程组的解;
(3)把x=0代入y=2x-5,得y=-5,把x=0代入y=-x+1,得y=1,
所以点B的坐标为(0,-5),点C的坐标为(0,1),所以BC=1-(-5)=6.
又因为点A的坐标为(2,-1),所以S△ABC=×6×2=6.
7甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行,甲骑自行车从A地到B地,乙驾车从B地到A地,他们分别以不同的速度匀速行驶.已知甲先出发6分钟后,乙才出发,在整个过程中,甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示,则乙到达终点A时,甲还需 78 分钟到达终点B.
8如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(1,0),B(5,8).
(1)直线AB的函数表达式为 y=2x-2 ;
(2)某同学设计了一个动画:在函数y=-2x+b中,输入b(b>0)的值,得到直线CD,其中点C在x轴上,点D在y轴上.
①当△OCD的面积为6时,直线CD就会发蓝光,则此时输入的b的值为 2 ;
②当直线CD与线段AB有交点时,直线CD就会发红光,则此时输入的b的取值范围是 2≤b≤18 .
9已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交x轴于点A(2,0),交y轴于点B,且△AOB的面积为3,求此一次函数的表达式.
【解析】因为A(2,0),S△AOB=3,所以OB=3,所以B的坐标为(0,3)或(0,-3).
①当B的坐标为(0,3)时,把A(2,0),B(0,3)代入y=kx+b中得解得:所以一次函数的表达式为y=-x+3.
②当B的坐标为(0,-3)时,把A(2,0),B(0,-3)代入y=kx+b中得,
解得:所以y=x-3.
综上所述,该函数表达式为y=-x+3或y=x-3.
10如图,一次函数y=mx+n的图象经过点A,与函数y=-x+6的图象交于点B,B点的横坐标为1.
(1)方程组的解是________;
(2)求出m,n的值;
(3)求代数式(-)·的值.
【解析】(1)当x=1时,y=-x+6=5,则B点坐标为(1,5),
所以方程组的解是
答案:
(2)把A(-1,1),B(1,5)代入y=mx+n得解得
(3)原式=-=-n(n>0),
当m=2,n=3时,原式=-3.
11新趋势·模型观念、创新意识学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象信息,当t=________时甲、乙两人相遇,甲的速度为________米/分钟.
(2)求出线段AB所表示的函数表达式.
【解析】(1)因为甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,t=24分钟时甲乙两人相遇,所以甲的速度为2 400÷60=40(米/分钟).
答案:24 40
(2)甲、乙两人的速度和为2 400÷24=100(米/分钟),所以乙的速度为100-40=60(米/分钟).
乙从图书馆回学校的时间为2 400÷60=40(分钟),100×(40-24)=1 600(米),
所以A点的坐标为(40,1 600).设线段AB所表示的函数表达式为y=kt+b,
因为A(40,1 600),B(60,2 400),所以解得
所以线段AB所表示的函数表达式为y=40t(40≤t≤60).7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
知识点1 待定系数法求一次函数表达式
1如图,线段AB对应的函数表达式为 ( )
A.y=-x+2
B.y=-x+2
C.y=-x+2(0≤x≤3)
D.y=-x+20(02如果直线y=2x+3与直线y=3x-2b的交点在x轴上,那么b的值为 .
3(2024·舟山质检)已知关于x,y的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图象的交点坐标为(1,-1),则a= ,b= .
4如图,一次函数y=k2x+b的图象与y轴交于点B,与正比例函数y=k1x的图象相交于点A(4,3),且OA=OB.分别求出这两个函数的表达式.
知识点2 用二元一次方程组解决一次函数综合性问题
5一次函数y=kx+b和y=mx+n的图象如图所示,几位同学根据图象得到了下面的结论:
甲:关于x,y的二元一次方程组的解是;
乙:关于x的一元一次方程kx+b=mx+n的解是x=-2;
丙:关于x的一元一次方程mx+n=0的解是x=-5.
三人中,判断正确的是 ( )
A.甲、乙 B.甲、丙
C.乙、丙 D.甲、乙、丙
6在直角坐标系中,直线l1经过点(1,-3)和点(3,1),直线l2经过点(1,0),且与直线l1交于点A(2,a).
(1)求a的值;
(2)点A(2,a)可看成怎样的二元一次方程组的解
(3)设直线l1与y轴交于点B,直线l2与y轴交于点C,求△ABC的面积.
7甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行,甲骑自行车从A地到B地,乙驾车从B地到A地,他们分别以不同的速度匀速行驶.已知甲先出发6分钟后,乙才出发,在整个过程中,甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示,则乙到达终点A时,甲还需 分钟到达终点B.
8如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(1,0),B(5,8).
(1)直线AB的函数表达式为 ;
(2)某同学设计了一个动画:在函数y=-2x+b中,输入b(b>0)的值,得到直线CD,其中点C在x轴上,点D在y轴上.
①当△OCD的面积为6时,直线CD就会发蓝光,则此时输入的b的值为 ;
②当直线CD与线段AB有交点时,直线CD就会发红光,则此时输入的b的取值范围是 .
9已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交x轴于点A(2,0),交y轴于点B,且△AOB的面积为3,求此一次函数的表达式.
10如图,一次函数y=mx+n的图象经过点A,与函数y=-x+6的图象交于点B,B点的横坐标为1.
(1)方程组的解是________;
(2)求出m,n的值;
(3)求代数式(-)·的值.
11新趋势·模型观念、创新意识学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象信息,当t=________时甲、乙两人相遇,甲的速度为________米/分钟.
(2)求出线段AB所表示的函数表达式.
