3 勾股定理的应用
知识点1 勾股定理中方位角问题
1如图,在海上编队演习中,两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发,一号舰沿南偏西30°方向以12海里/时的速度航行,二号舰以16海里/时速度沿另一方向航行,离开港口0.5小时后它们分别到达A,B两点,相距10海里,则二号舰航行的方向是( )
A.南偏东30° B.北偏东30°
C.南偏东60° D.南偏西60°
2(2024·沧州期末)如图,甲、乙两艘轮船同时从港口O出发,甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行,乙轮船向南偏西45°方向航行.已知它们离开港口O两小时后,两艘轮船相距50海里,乙轮船平均每小时航行 海里.
知识点2 勾股定理最短路径问题
3如图是一个底面为等边三角形的三棱镜,在三棱镜的侧面上,从顶点A到顶点A'镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为5 cm,底面边长为4 cm,则这圈金属丝的长度至少为 ( )
A.8 cm B.13 cm C.12 cm D.15 cm
4如图是台阶的示意图,已知每个台阶的宽度都是20 cm,高度都是10 cm,连接AB,则AB= .
知识点3 勾股定理的应用
5如图,有一个水池,水面是一边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面,这根芦苇的长度为_______尺. ( )
A.10 B.12 C.13 D.14
6如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,则船向岸边移动了
米.
7如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为多少米.
练易错 忽视分类讨论而致错
8(2024·烟台期中)如图,一圆柱高20 cm,底面周长是12 cm,一只螳螂在AB的中点E处,一只昆虫在CD的某处,螳螂以最快的速度、最短的爬行距离捕捉到了昆虫,螳螂共爬行了10 cm,那么此时昆虫离点C的距离为 .
9如图,地面上有一个长方体盒子,一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处,盒子的顶点C'处有一小块糖粒,蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C'处吃这块糖粒,已知盒子的长和宽均为20,高为30,则蚂蚁爬行的最短距离的平方为 ( )
A.1 700 B.2 500
C.2 900 D.4 900
10勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷.如图,秋千静止时,踏板离地的垂直高度BE=1 m,将它往前推6 m至C处时(即水平距离CD=6 m),踏板离地的垂直高度CF=4 m,它的绳索始终拉直,则绳索AC的长是_______m. ( )
A. B. C.6 D.
11[推理能力、模型观念]如图是盼盼家新装修的房子,其中两个房间甲、乙,他将一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA,如果梯子的底端P不动,顶端靠在对面墙上,此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB.
(1)当盼盼在甲房间时,梯子靠在对面墙上,顶端刚好落在对面墙角B处,若MA=1.6米,AP=1.2米,则甲房间的宽度AB=_______米.
(2)当他在乙房间时,测得MA=2.4米,MP=2.5米,且∠MPN=90°,求乙房间的宽AB.3 勾股定理的应用
知识点1 勾股定理中方位角问题
1如图,在海上编队演习中,两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发,一号舰沿南偏西30°方向以12海里/时的速度航行,二号舰以16海里/时速度沿另一方向航行,离开港口0.5小时后它们分别到达A,B两点,相距10海里,则二号舰航行的方向是(C)
A.南偏东30° B.北偏东30°
C.南偏东60° D.南偏西60°
2(2024·沧州期末)如图,甲、乙两艘轮船同时从港口O出发,甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行,乙轮船向南偏西45°方向航行.已知它们离开港口O两小时后,两艘轮船相距50海里,乙轮船平均每小时航行 15 海里.
知识点2 勾股定理最短路径问题
3如图是一个底面为等边三角形的三棱镜,在三棱镜的侧面上,从顶点A到顶点A'镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为5 cm,底面边长为4 cm,则这圈金属丝的长度至少为 (B)
A.8 cm B.13 cm C.12 cm D.15 cm
4如图是台阶的示意图,已知每个台阶的宽度都是20 cm,高度都是10 cm,连接AB,则AB= 130 cm .
知识点3 勾股定理的应用
5如图,有一个水池,水面是一边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面,这根芦苇的长度为_______尺. (C)
A.10 B.12 C.13 D.14
6如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,则船向岸边移动了
9 米.
7如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为多少米.
【解析】在Rt△ACB中,∠ACB=90°,BC=0.7米,
AC=2.4米,
所以AB2=0.72+2.42=6.25,
因为AB>0,
所以AB=2.5米,
在Rt△A'BD中,∠A'DB=90°,A'D=2米,
A'B=AB=2.5米,
所以BD2+A'D2=A'B2,
即BD2+22=2.52,
因为BD>0,
所以BD=1.5米,
所以CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).
即小巷的宽度为2.2米.
练易错 忽视分类讨论而致错
8(2024·烟台期中)如图,一圆柱高20 cm,底面周长是12 cm,一只螳螂在AB的中点E处,一只昆虫在CD的某处,螳螂以最快的速度、最短的爬行距离捕捉到了昆虫,螳螂共爬行了10 cm,那么此时昆虫离点C的距离为 2 cm或18 cm .
9如图,地面上有一个长方体盒子,一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处,盒子的顶点C'处有一小块糖粒,蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C'处吃这块糖粒,已知盒子的长和宽均为20,高为30,则蚂蚁爬行的最短距离的平方为 (B)
A.1 700 B.2 500
C.2 900 D.4 900
10勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷.如图,秋千静止时,踏板离地的垂直高度BE=1 m,将它往前推6 m至C处时(即水平距离CD=6 m),踏板离地的垂直高度CF=4 m,它的绳索始终拉直,则绳索AC的长是_______m. (B)
A. B. C.6 D.
11[推理能力、模型观念]如图是盼盼家新装修的房子,其中两个房间甲、乙,他将一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA,如果梯子的底端P不动,顶端靠在对面墙上,此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB.
(1)当盼盼在甲房间时,梯子靠在对面墙上,顶端刚好落在对面墙角B处,若MA=1.6米,AP=1.2米,则甲房间的宽度AB=_______米.
(2)当他在乙房间时,测得MA=2.4米,MP=2.5米,且∠MPN=90°,求乙房间的宽AB.
【解析】(1)在Rt△AMP中,因为∠A=90°,MA=1.6米,AP=1.2米,
所以PM2=MA2+AP2=4,所以PM=2米,
因为PB=PM=2米,所以甲房间的宽度AB=AP+PB=3.2(米).
答案:3.2
(2)因为∠MPN=90°,
所以∠APM+∠BPN=90°,
因为∠APM+∠AMP=90°,
所以∠AMP=∠BPN.
在△AMP与△BPN中,
所以△AMP≌△BPN(AAS),
所以MA=PB=2.4米,
因为在Rt△AMP中,∠A=90°,
MA=2.4米,MP=2.5米,
所以PA2=MP2-MA2=0.49,
所以PA=0.7米,
所以AB=PA+PB=0.7+2.4=3.1(米).
