第2课时 勾股定理的验证及简单应用
知识点1 勾股定理验证
1我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示),如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别是a和b,那么ab的值为( )
A.49 B.25 C.12 D.10
2如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.连接四条线段得到如图2的新的图案.如果图1中的直角三角形的长直角边为9,短直角边为4,图2中的阴影部分的面积为S,那么S的值为 ( )
A.56 B.60 C.65 D.75
3(2024·岳阳质检)如图,是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中AF=a,DF=b,连接AE,BE,若△ADE与△BEH的面积相等,则+= .
4(2024·保定质检)如图,在四边形ABDE中,AB∥DE,AB⊥BD,点C是边BD上一点,BC=DE=a,CD=AB=b,AC=CE=c.下列结论:①△ABC≌△CDE;②∠ACE=90°;③(a+b)2-c2=2×ab;④该图可以验证勾股定理.其中正确的结论是 .(填序号)
知识点2 勾股定理的应用
5在Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=17 cm,c=13 cm,则Rt△ABC的面积是 ( )
A.30 cm2 B.35 cm2
C.60 cm2 D.78 cm2
6如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,分别以点A,B为圆心,以AB长为半径画弧,两弧相交于点D,连接AD,BD,则△ABD的周长为 ( )
A.18 B.24 C.36 D.30
7在△ABC中,∠ABC=90°,FO垂直平分AC交AB延长线于点F,已知AB=8,BE=6,则BF= .
练易错 忽视分类讨论而致错
8(2024·徐州期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ABC扩充为等腰三角形ABD,使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形,则CD的长为
.
9(2024·杭州质检)如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于 ( )
A.180°-α B.180°-2α
C.90°+α D.90°+2α
10(2024·深圳质检)如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNPQ的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=60,则S2的值是 .
11△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90°,如图1,根据勾股定理,则a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.
12新趋势·推理能力、创新意识
阅读下列材料,并完成相应任务.
探索整式乘法法则时,我们用不同方法表示同一个图形的面积,直观地理解乘法法则.
如图1,现有4张大小形状相同的直角三角形纸片,三边长分别是a,b,c,将它们拼成如图2的大正方形.
(1)观察:图2中,大正方形的面积可以用(a+b)2表示,也可以用含a,b,c的代数式表示为__________________,那么可以得到等式:__________________.
整理后,得到a,b,c之间的数量关系:a2+b2=c2,这就是著名的“勾股定理”,它反映了直角三角形的三边关系,即直角三角形的两直角边a,b与斜边c所满足的关系式.
(2)思考:爱动脑的小明通过图2得到启示,发现其他图形也能验证“勾股定理”,请你帮助小明画出该图形.(画出一种即可)
(3)应用:如图3,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,那么AB=________,点D为射线BC上一点,将△ACD沿AD所在直线翻折,点C的对应点为点C',如果点C'在射线BA上,那么CD=________.(直接写出答案) 第2课时 勾股定理的验证及简单应用
知识点1 勾股定理验证
1我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示),如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别是a和b,那么ab的值为(C)
A.49 B.25 C.12 D.10
2如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.连接四条线段得到如图2的新的图案.如果图1中的直角三角形的长直角边为9,短直角边为4,图2中的阴影部分的面积为S,那么S的值为 (C)
A.56 B.60 C.65 D.75
3(2024·岳阳质检)如图,是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中AF=a,DF=b,连接AE,BE,若△ADE与△BEH的面积相等,则+= 3 .
4(2024·保定质检)如图,在四边形ABDE中,AB∥DE,AB⊥BD,点C是边BD上一点,BC=DE=a,CD=AB=b,AC=CE=c.下列结论:①△ABC≌△CDE;②∠ACE=90°;③(a+b)2-c2=2×ab;④该图可以验证勾股定理.其中正确的结论是 ①②③④ .(填序号)
知识点2 勾股定理的应用
5在Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=17 cm,c=13 cm,则Rt△ABC的面积是 (A)
A.30 cm2 B.35 cm2
C.60 cm2 D.78 cm2
6如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,分别以点A,B为圆心,以AB长为半径画弧,两弧相交于点D,连接AD,BD,则△ABD的周长为 (D)
A.18 B.24 C.36 D.30
7在△ABC中,∠ABC=90°,FO垂直平分AC交AB延长线于点F,已知AB=8,BE=6,则BF= 12 .
练易错 忽视分类讨论而致错
8(2024·徐州期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ABC扩充为等腰三角形ABD,使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形,则CD的长为
3或或2 .
9(2024·杭州质检)如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于 (C)
A.180°-α B.180°-2α
C.90°+α D.90°+2α
10(2024·深圳质检)如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNPQ的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=60,则S2的值是 20 .
11△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90°,如图1,根据勾股定理,则a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.
【解析】若△ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2,
若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有a2+b2当△ABC是锐角三角形时,
过点A作AD⊥BC,垂足为D,设CD为x,则有BD=a-x,
根据勾股定理得b2-x2=AD2=c2-(a-x)2,
即b2-x2=c2-a2+2ax-x2.
所以a2+b2=c2+2ax,
因为a>0,x>0,所以2ax>0,
所以a2+b2>c2.
当△ABC是钝角三角形时,
过B作BD⊥AC,交AC的延长线于D.
设CD为y,则有BD2=a2-y2,
根据勾股定理得(b+y)2+a2-y2=c2.
即a2+b2+2by=c2.
因为b>0,y>0,所以2by>0,
所以a2+b212新趋势·推理能力、创新意识
阅读下列材料,并完成相应任务.
探索整式乘法法则时,我们用不同方法表示同一个图形的面积,直观地理解乘法法则.
如图1,现有4张大小形状相同的直角三角形纸片,三边长分别是a,b,c,将它们拼成如图2的大正方形.
(1)观察:图2中,大正方形的面积可以用(a+b)2表示,也可以用含a,b,c的代数式表示为__________________,那么可以得到等式:__________________.
整理后,得到a,b,c之间的数量关系:a2+b2=c2,这就是著名的“勾股定理”,它反映了直角三角形的三边关系,即直角三角形的两直角边a,b与斜边c所满足的关系式.
(2)思考:爱动脑的小明通过图2得到启示,发现其他图形也能验证“勾股定理”,请你帮助小明画出该图形.(画出一种即可)
(3)应用:如图3,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,那么AB=________,点D为射线BC上一点,将△ACD沿AD所在直线翻折,点C的对应点为点C',如果点C'在射线BA上,那么CD=________.(直接写出答案)
【解析】(1)由题图可知:正方形的面积也可表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积,即4×ab+c2,
因为用不同的方法表示同一个图形的面积,面积不变,所以(a+b)2=4×ab+c2,
答案:4×ab+c2 (a+b)2=4×ab+c2
(2)答案不唯一,比如:
(3)在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,
由勾股定理,得AB===5,
点D为射线BC上一点,分两种情况:
①点D在BC上时,如图,
设CD=x,由翻折可知C'D=x,BD=BC-CD=4-x,BC'=AB-AC'=AB-AC=5-3=2,
在Rt△BDC'中,
由勾股定理,得BD2=BC'2+DC'2,即(4-x)2=22+x2,解得x=;
②点D在BC的延长线上时,如图,
设CD=y,由翻折可知C'D=y,BD=BC+CD=4+y,BC'=AB+AC'=AB+AC=5+3=8,
在Rt△BDC'中,
由勾股定理,得BD2=BC'2+DC'2,即(4+y)2=82+y2,解得y=6.
答案:5 或6第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
知识点1 认识勾股定理
1在△ABC中,∠A=25°,∠B=65°,则下列式子成立的是 ( )
A.AC2+AB2=BC2
B.AB2+BC2=AC2
C.AC2+BC2=AB2
D.AC2+BC2=2AB2
2在△ABC中,∠C=90°,其中a∶b=3∶4,且c=10 cm,则S△ABC= cm2.
3如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=4,BC=3,BD=,
(1)求CD的长;
(2)求AD的长;
(3)求AB的长.
知识点2 利用勾股定理解勾股树问题
4如图是一棵勾股树,它是由正方形和直角三角形拼成的,若正方形A,B,C,D的边长分别是4,5,3,4,则最大的正方形E的面积是 ( )
A.66 B.16 C.32 D.2 306
5(2024·平顶山期中)在我国古算书《周髀算经》中早有记载,如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按如图2的方式放置在最大的正方形内,若S1=64,S2=36,则图中阴影部分的面积是 .
知识点3 利用勾股定理解决图形面积问题、线段长问题
6(2024·郴州质检)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,则AC边上的高BD的长
为 ( )
A.4 B.4.4 C.4.8 D.5
7若一个直角三角形的两边长分别是4,3,则第三边的平方是 .
8如图,滑杆在机械槽内运动,∠ACB为直角.已知滑杆AB长2.5 m,顶端A在AC上运动,量得滑杆下端B距C点的距离为1.5 m,当端点B向右移动0.5 m时,求滑杆顶端A下滑多少米.
练易错 忽视分类讨论而致错
9(2024·成都质检)在△ABC中,AB=25,AC=26,BC边上的高AD=24,则△ABC的周长为 .
10如图,已知△ABC中,AB=2,AC=3,AD⊥BC于D,P为AD上任意一点,则PC2-PB2等于 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
11点A,B,C,D,E是如图所示的正方形网格中网格线的交点,则∠BAC+∠CDE=
.
12(2024·佛山禅城区质检)【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度.
【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现:系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,但这条绳子的长度未知.
【实践探究】设计测量方案:
第一步:先测量比旗杆多出的部分绳子的长度,测得多出部分绳子的长度是1米;
第二步:把绳子向外拉直,绳子的底端恰好接触地面的点C,再测量绳子底端C与旗杆底部B点之间的距离,测得距离为5米;
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米,通过计算即可求得旗杆的高度.
(1)依题知BC=________米,用含有x的式子表示AC为________米;
(2)请你求出旗杆的高度.
13如图,在四边形草坪ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=20 m,BC=15 m,CD=7 m.求这块草坪ABCD的面积.
14[推理能力、模型观念]如图,已知四边形ABCD中,AB∥CD,BC=AD=4,AB=CD=10,∠DCB=90°,E为CD边上的一点,DE=7,动点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动,连接PE,设点P运动的时间为t秒.
(1)求BE的长;
(2)若△BPE为直角三角形,求t的值.第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
知识点1 认识勾股定理
1在△ABC中,∠A=25°,∠B=65°,则下列式子成立的是 (C)
A.AC2+AB2=BC2
B.AB2+BC2=AC2
C.AC2+BC2=AB2
D.AC2+BC2=2AB2
2在△ABC中,∠C=90°,其中a∶b=3∶4,且c=10 cm,则S△ABC= 24 cm2.
3如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=4,BC=3,BD=,
(1)求CD的长;
(2)求AD的长;
(3)求AB的长.
【解析】(1)因为CD⊥AB于点D,所以∠BDC=90°,
根据勾股定理BC2=BD2+CD2,已知BC=3,BD=,
代入解得:CD=.
(2)因为CD⊥AB于点D,
所以∠ADC=90°,AC2=AD2+CD2,因为AC=4,CD=,所以AD=.
(3)因为AD=,BD=,所以AB=AD+BD=5.
知识点2 利用勾股定理解勾股树问题
4如图是一棵勾股树,它是由正方形和直角三角形拼成的,若正方形A,B,C,D的边长分别是4,5,3,4,则最大的正方形E的面积是 (A)
A.66 B.16 C.32 D.2 306
5(2024·平顶山期中)在我国古算书《周髀算经》中早有记载,如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按如图2的方式放置在最大的正方形内,若S1=64,S2=36,则图中阴影部分的面积是 16 .
知识点3 利用勾股定理解决图形面积问题、线段长问题
6(2024·郴州质检)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,则AC边上的高BD的长
为 (C)
A.4 B.4.4 C.4.8 D.5
7若一个直角三角形的两边长分别是4,3,则第三边的平方是 25或7 .
8如图,滑杆在机械槽内运动,∠ACB为直角.已知滑杆AB长2.5 m,顶端A在AC上运动,量得滑杆下端B距C点的距离为1.5 m,当端点B向右移动0.5 m时,求滑杆顶端A下滑多少米.
【解析】在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2=4,故AC=2.
在Rt△ECD中,CD=BC+BD=2,
所以CE2=DE2-CD2=2.25,故CE=1.5,
所以AE=AC-CE=0.5 m,
即滑杆顶端A下滑0.5 m.
练易错 忽视分类讨论而致错
9(2024·成都质检)在△ABC中,AB=25,AC=26,BC边上的高AD=24,则△ABC的周长为 68或54 .
10如图,已知△ABC中,AB=2,AC=3,AD⊥BC于D,P为AD上任意一点,则PC2-PB2等于 (A)
A.5 B.6 C.7 D.8
11点A,B,C,D,E是如图所示的正方形网格中网格线的交点,则∠BAC+∠CDE=
45° .
12(2024·佛山禅城区质检)【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度.
【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现:系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,但这条绳子的长度未知.
【实践探究】设计测量方案:
第一步:先测量比旗杆多出的部分绳子的长度,测得多出部分绳子的长度是1米;
第二步:把绳子向外拉直,绳子的底端恰好接触地面的点C,再测量绳子底端C与旗杆底部B点之间的距离,测得距离为5米;
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米,通过计算即可求得旗杆的高度.
(1)依题知BC=________米,用含有x的式子表示AC为________米;
(2)请你求出旗杆的高度.
【解析】(1)根据题意知:BC=5米,AC=(x+1)米.
答案:5 (x+1)
(2)在直角△ABC中,由勾股定理得:
BC2+AB2=AC2,
即52+x2=(x+1)2,
解得x=12.
答:旗杆的高度为12米.
13如图,在四边形草坪ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=20 m,BC=15 m,CD=7 m.求这块草坪ABCD的面积.
【解析】如图,连接AC.
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2=AB2+BC2,所以AC2=625=252,所以AC=25 m.
在Rt△ADC中,由勾股定理得AD2+DC2=AC2,所以AD2=AC2-DC2=242,即AD=
24 m.
所以S四边形ABCD=AB·BC+AD·DC=234(m2).
因此这块草坪ABCD的面积为234 m2.
14[推理能力、模型观念]如图,已知四边形ABCD中,AB∥CD,BC=AD=4,AB=CD=10,∠DCB=90°,E为CD边上的一点,DE=7,动点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动,连接PE,设点P运动的时间为t秒.
(1)求BE的长;
(2)若△BPE为直角三角形,求t的值.
【解析】(1)因为CD=10,DE=7,所以CE=10-7=3,
在Rt△CBE中,BE2=BC2+CE2=52,BE=5.
(2)当∠BPE=90°时,AP=DE=7,则t=7÷1=7(秒),
当∠BEP=90°时,BE2+PE2=BP2,即52+42+(7-t)2=(10-t)2,解得t=,
所以当t=7或时,△BPE为直角三角形.
