2 一定是直角三角形吗
知识点1 勾股定理逆定理
1(2024·太原期中)现有长度为4 cm,5 cm,8 cm,12 cm,13 cm的五根细木条,若选择其中的三根首尾顺次相接恰好能摆成直角三角形的是 (C)
A.4 cm,5 cm,8 cm
B.5 cm,8 cm,12 cm
C.5 cm,12 cm,13 cm
D.8 cm,12 cm,13 cm
2三角形的三边长为a,b,c,且满足等式(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是 直角 三角形(直角、锐角、钝角).
知识点2 勾股数
3在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边,当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形,当a2+b2≠c2,利用代数式a2+b2和c2的关系,探究△ABC的形状(按角分类).
(1)当△ABC三边分别为6,8,9时,△ABC为________三角形;当△ABC三边分别为6,8,11时,△ABC为________三角形.
(2)猜想,当a2+b2________c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2________c2时,△ABC为钝角三角形.
(3)若a=3,b=4,当c为何值时,△ABC是锐角三角形,直角三角形,钝角三角形.
【解析】(1)锐角 钝角
(2)> <
(3)c2=a2+b2=32+42=25,c=5,
当c=5时,△ABC是直角三角形,
当5当4≤c<5时,是锐角三角形.
知识点3 勾股定理及逆定理的应用
4如图,学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD,测得AB=9 m,BC=
12 m,CD=8 m,AD=17 m,且∠ABC=90°,这块菜地的面积是 (B)
A.48 m2 B.114 m2
C.122 m2 D.158 m2
5如图,△ABC中AC=6,BC=8,AB=10,AD为△ABC的角平分线,CD= 3 .
练易错 忽视分类讨论而致错
6新中考·过程性学习阅读下列解题过程:
已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
因为a2c2-b2c2=a4-b4,①
所以c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2),②
所以c2=a2+b2,③
所以△ABC是直角三角形.④
请你判断上述解题过程是否正确 如果有误,请你将正确的解答过程写下来.
【解析】上述解题过程不正确,
因为a2c2-b2c2=a4-b4,
所以c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2),
所以(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,
所以a2-b2=0或(c2-a2-b2)=0,
所以a=b或c2=a2+b2,
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
7如图,已知正方形网格中小方格的边长为1,△ABC的三个顶点均在格点上,则△ABC的形状为 (A)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.以上答案都不对
8一个三角形的三边长之比为5∶12∶13,且周长为60 cm,则它的面积是
120 cm2.
9若a,b,c分别是△ABC的三条边长,且a2-6a+b2-10c+c2=8b-50,则这个三角形的形状是 直角三角形 .
10(2024·九江质检)如图,在△ABC中,AB=AC,点D为AB上一点,连接CD,BD=5,DC=12,BC=13,则AB= 16.9 .
11(2024·梅州梅江区质检)【问题提出】满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
(1)请把下列三组勾股数补充完整:
①_____,8,10;②5,_____,13;③8,15,_____.
【初步探究】(2)小敏发现,很多已经约去公因数的勾股数组中,都有一个数是偶数,如果将它写成2mn,那么另外两个数可以写成m2+n2,m2-n2,如4=2×2×1,5=22+12,3=22-12.请你帮小敏证明这三个数2mn,m2+n2,m2-n2是勾股数组.
【综合运用】(3)如果21,72,75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组,则m+n=________.
【解析】(1)①6,8,10; ②5,12,13;③8,15,17.
答案:①6 ②12 ③17
(2)因为(m2-n2)2+(2mn)2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2,
(m2+n2)2=m4+n4+2m2n2,
所以(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2,
所以m2-n2,2mn,m2+n2是勾股数;
(3)化简得:7,24,25,
因为偶数24=2×3×4,25=42+32,7=42-32,所以m=4,n=3,所以m+n=7.
答案:7
12新趋势·推理能力、模型观念
如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.
(1)证明:AP=CQ;
(2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,连接PQ,证明:△PQC是直角三角形.
【证明】(1)因为∠ABP+∠PBC=60°,∠QBC+∠PBC=60°,
所以∠ABP=∠CBQ.
又因为AB=CB,BP=BQ,
所以△ABP≌△CBQ(SAS),所以AP=CQ;
(2)由PA∶PB∶PC=3∶4∶5,
可设PA=3a,PB=4a,PC=5a,
连接PQ,在△PBQ中,
由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°,
所以△PBQ为正三角形.
所以PQ=4a.
于是在△PQC中
因为PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2,
所以△PQC是直角三角形.2 一定是直角三角形吗
知识点1 勾股定理逆定理
1(2024·太原期中)现有长度为4 cm,5 cm,8 cm,12 cm,13 cm的五根细木条,若选择其中的三根首尾顺次相接恰好能摆成直角三角形的是 ( )
A.4 cm,5 cm,8 cm
B.5 cm,8 cm,12 cm
C.5 cm,12 cm,13 cm
D.8 cm,12 cm,13 cm
2三角形的三边长为a,b,c,且满足等式(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是 三角形(直角、锐角、钝角).
知识点2 勾股数
3在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边,当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形,当a2+b2≠c2,利用代数式a2+b2和c2的关系,探究△ABC的形状(按角分类).
(1)当△ABC三边分别为6,8,9时,△ABC为________三角形;当△ABC三边分别为6,8,11时,△ABC为________三角形.
(2)猜想,当a2+b2________c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2________c2时,△ABC为钝角三角形.
(3)若a=3,b=4,当c为何值时,△ABC是锐角三角形,直角三角形,钝角三角形.
知识点3 勾股定理及逆定理的应用
4如图,学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD,测得AB=9 m,BC=
12 m,CD=8 m,AD=17 m,且∠ABC=90°,这块菜地的面积是 ( )
A.48 m2 B.114 m2
C.122 m2 D.158 m2
5如图,△ABC中AC=6,BC=8,AB=10,AD为△ABC的角平分线,CD= .
练易错 忽视分类讨论而致错
6新中考·过程性学习阅读下列解题过程:
已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
因为a2c2-b2c2=a4-b4,①
所以c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2),②
所以c2=a2+b2,③
所以△ABC是直角三角形.④
请你判断上述解题过程是否正确 如果有误,请你将正确的解答过程写下来.
7如图,已知正方形网格中小方格的边长为1,△ABC的三个顶点均在格点上,则△ABC的形状为 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.以上答案都不对
8一个三角形的三边长之比为5∶12∶13,且周长为60 cm,则它的面积是
cm2.
9若a,b,c分别是△ABC的三条边长,且a2-6a+b2-10c+c2=8b-50,则这个三角形的形状是 .
10(2024·九江质检)如图,在△ABC中,AB=AC,点D为AB上一点,连接CD,BD=5,DC=12,BC=13,则AB= .
11(2024·梅州梅江区质检)【问题提出】满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
(1)请把下列三组勾股数补充完整:
①_____,8,10;②5,_____,13;③8,15,_____.
【初步探究】(2)小敏发现,很多已经约去公因数的勾股数组中,都有一个数是偶数,如果将它写成2mn,那么另外两个数可以写成m2+n2,m2-n2,如4=2×2×1,5=22+12,3=22-12.请你帮小敏证明这三个数2mn,m2+n2,m2-n2是勾股数组.
【综合运用】(3)如果21,72,75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组,则m+n=________.
12新趋势·推理能力、模型观念
如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.
(1)证明:AP=CQ;
(2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,连接PQ,证明:△PQC是直角三角形.
