期末高效复习
第一章 勾股定理
一、选择题
1已知一直角三角形,三边的平方和为800 cm2,则斜边长为(A)
A.20 cm B.40 cm
C.400 cm D.不能确定
2(2024·安庆期末)在△ABC中以下条件不能判定△ABC是直角三角形的个数有(A)
条件①:∠A=∠C-∠B;
条件②:三角形三边a,b,c的比为3∶4∶5;
条件③:∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;
条件④:a=5,b=12,c=13.
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
3(2024·咸宁期末)将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露出在杯子外面长为h cm,则h的取值范围是(C)
A.0≤h≤12 B.12≤h≤13
C.11≤h≤12 D.12≤h≤24
4(2024·北京期中)如图,在4×4的正方形网格中,每一格长度为1,小正方形的顶点称为格点,A,B,C,D,E,F都在格点上,以AB,CD,EF为边能构成一个直角三角形,则点F的位置有(D)
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
5如图,以Rt△ABC的三条边作三个正三角形,则S1,S2,S3,S4的关系为(C)
A.S1+S2+S3=S4 B.S1+S2=S3+S4
C.S1+S3=S2+S4 D.不能确定
6新中考·数学文化 《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何 题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),则AB的长是(C)
A.50.5寸 B.52寸
C.101寸 D.104寸
二、填空题
7如图,台阶阶梯每一层高20 cm,宽40 cm,长50 cm.一只蚂蚁从A点爬到B点,最短路程是 130 cm .
8已知△ABC中,AB=k,AC=k-1,BC=3,当k= 5 时,∠C=90°.
9(2024·阳泉期末)如图所示的网格是正方形网格,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,D都在格点上,则∠DAB+∠CAB的度数是 45 度.
10在直角三角形ABC中,若AB=8,AC-BC=2,则三角形ABC的面积为 15或60 .
三、解答题
11(2024·泸州期末)如图,已知△ABC中,AB=AC,BC=5,D为AB上一点,CD=4,BD=3.
(1)求证:∠BDC=90°;
(2)求AC的长.
【解析】(1)因为BC=5,CD=4,BD=3,
所以42+32=52,所以∠BDC=90°;
(2)在Rt△ADC中,∠ADC=180°-90°=90°,依题意有AC2=(AB-3)2+CD2,即AC2=(AC-3)2+42,解得AC=,
故AC的长为.
12为培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为5 m,12 m,13 m时,小明快速准确地给出了这块试验基地的面积为________m2;
(2)八(2)班的劳动试验基地的三边长分别为AB=15 m,BC=14 m,AC=13 m(如图),你能帮助他们求出面积吗
【解析】(1)因为52+122=132,
所以三边长分别为5 m,12 m,13 m的三角形构成直角三角形,其中的直角边是
5 m,12 m,
所以此三角形的面积为×5×12=30(m2).
答案:30
(2)过点A作AH⊥BC于H,设BH=x,则CH=14-x,
在Rt△BHA中,AH2=AB2-BH2=152-x2,
在Rt△AHC中,AH2=AC2-CH2=132-(14-x)2,
所以152-x2=132-(14-x)2,
解得x=9,
所以AH==12,
所以△ABC的面积为BC·AH=×14×12=84(m2).
答:△ABC的面积是84 m2.
13如图,学校操场边有一块四边形空地ABCD,其中AB⊥AC,AB=8 m,BC=17 m,
CD=9 m,AD=12 m.为了美化校园环境,创建绿色校园,学校计划将这块四边形空地进行绿化整理.
(1)求需要绿化的空地ABCD的面积;
(2)为方便师生出入,设计了过点A的小路AE,且AE⊥BC于点E,试求小路AE的长.
【解析】(1)因为AB⊥AC,所以∠BAC=90°,
所以AC===15(m),
因为CD=9 m,AD=12 m,
所以AD2+CD2=122+92=225=AC2,
所以△ACD是直角三角形,∠D=90°,
所以需要绿化的空地ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=AB·AC+AD·CD
=×8×15+×12×9=114(m2);
(2)因为∠BAC=90°,AE⊥BC,
所以S△ABC=BC·AE=AB·AC,
所以17×AE=8×15,解得AE= m,
即小路AE的长为 m.
14勾股定理神奇而美妙,它的证法多种多样,在学习了教材中介绍的拼图证法以后,小华突发灵感,给出了如图拼图:两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF,顶点F在BC边上,顶点C,D重合,连接AE,EB.设AB,DE交于点G.∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=a,AC=DF=b(a>b),AB=DE=c.请你回答以下问题:
(1)填空:∠AGE=_________,S四边形ADBE=_________c2.
(2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积,并以此为基础证明勾股定理.
【解析】(1)因为△ABC≌△DEF,
所以∠EDF=∠BAC.
因为∠EDF+∠ACE=90°,
所以∠ACE+∠CAB=90°,
所以∠AGC=90°,
所以∠AGE=180°-∠AGC=90°.
所以DE⊥AB,
所以S四边形ADBE=S△ACB+S△ABE=AB·DG+AB·EG=AB·(DG+EG)=AB·DE=c2.
答案:90°
(2)因为由(1)得S四边形ACBE=c2,
四边形ACBE的面积=S四边形ACFE+S△EFB
=×(AC+EF)·CF+BF·EF
=(b+a)b+(a-b)·a
=b2+ab+a2-ab
=a2+b2,
所以c2=a2+b2,即a2+b2=c2.期末高效复习
第一章 勾股定理
一、选择题
1已知一直角三角形,三边的平方和为800 cm2,则斜边长为(
A.20 cm B.40 cm
C.400 cm D.不能确定
2(2024·安庆期末)在△ABC中以下条件不能判定△ABC是直角三角形的个数有()
条件①:∠A=∠C-∠B;
条件②:三角形三边a,b,c的比为3∶4∶5;
条件③:∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;
条件④:a=5,b=12,c=13.
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
3(2024·咸宁期末)将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露出在杯子外面长为h cm,则h的取值范围是()
A.0≤h≤12 B.12≤h≤13
C.11≤h≤12 D.12≤h≤24
4(2024·北京期中)如图,在4×4的正方形网格中,每一格长度为1,小正方形的顶点称为格点,A,B,C,D,E,F都在格点上,以AB,CD,EF为边能构成一个直角三角形,则点F的位置有()
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
5如图,以Rt△ABC的三条边作三个正三角形,则S1,S2,S3,S4的关系为()
A.S1+S2+S3=S4 B.S1+S2=S3+S4
C.S1+S3=S2+S4 D.不能确定
6新中考·数学文化 《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何 题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),则AB的长是()
A.50.5寸 B.52寸
C.101寸 D.104寸
二、填空题
7如图,台阶阶梯每一层高20 cm,宽40 cm,长50 cm.一只蚂蚁从A点爬到B点,最短路程是 .
8已知△ABC中,AB=k,AC=k-1,BC=3,当k= 时,∠C=90°.
9(2024·阳泉期末)如图所示的网格是正方形网格,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,D都在格点上,则∠DAB+∠CAB的度数是 度.
10在直角三角形ABC中,若AB=8,AC-BC=2,则三角形ABC的面积为 .
三、解答题
11(2024·泸州期末)如图,已知△ABC中,AB=AC,BC=5,D为AB上一点,CD=4,BD=3.
(1)求证:∠BDC=90°;
(2)求AC的长.
12为培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为5 m,12 m,13 m时,小明快速准确地给出了这块试验基地的面积为________m2;
(2)八(2)班的劳动试验基地的三边长分别为AB=15 m,BC=14 m,AC=13 m(如图),你能帮助他们求出面积吗
13如图,学校操场边有一块四边形空地ABCD,其中AB⊥AC,AB=8 m,BC=17 m,
CD=9 m,AD=12 m.为了美化校园环境,创建绿色校园,学校计划将这块四边形空地进行绿化整理.
(1)求需要绿化的空地ABCD的面积;
(2)为方便师生出入,设计了过点A的小路AE,且AE⊥BC于点E,试求小路AE的长.
14勾股定理神奇而美妙,它的证法多种多样,在学习了教材中介绍的拼图证法以后,小华突发灵感,给出了如图拼图:两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF,顶点F在BC边上,顶点C,D重合,连接AE,EB.设AB,DE交于点G.∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=a,AC=DF=b(a>b),AB=DE=c.请你回答以下问题:
(1)填空:∠AGE=_________,S四边形ADBE=_________c2.
(2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积,并以此为基础证明勾股定理.
