广东省汕头市潮阳黄图盛中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段考试数学试题
1．（2024高二下·潮阳月考）设集合，，则的元素个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024高二下·潮阳月考）下表是离散型随机变量的分布列，且满足，则，的值分别是（ ）
3 4 5 9
A．， B．， C．， D．，
3．（2024高二下·潮阳月考）白酒又名烧酒 白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·潮阳月考） 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·潮阳月考）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·潮阳月考）为弘扬我国古代的“六艺文化”某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有20种选法
B．课程“乐”，“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”，“书”，“数”排在相邻的三周，共有120种排法
D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
7．（2024高二下·潮阳月考）设直线的方程则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·潮阳月考）若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·潮阳月考）设为离散型随机变量，下列说法正确的是（ ）
A．若等可能取，且，则
B．若的概率分布为，则
C．若服从两点分布，且，则成功概率
D．的方差可以用期望表示为.
10．（2024高二下·潮阳月考）下列说法正确的是（ ）
A．对个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
B．若随机变量，则
C．在的展开式中，奇数项的二项式系数和为32
D．已知随机变量服从正态分布，且，则
11．（2024高二下·潮阳月考）已知函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．
B．在区间单调递减
C．在区间恰有一个极大值点
D．在区间有两个零点
12．（2024高二下·潮阳月考）记为等比数列的前项和，若，，则 .
13．（2024高二下·潮阳月考）在多项式的展开式中，含项的系数为 .
14．（2024高二下·潮阳月考）已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为 .
15．（2024高二下·潮阳月考）为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人.
（1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系；
性别 运动达标情况 合计
运动达标 运动欠佳
男生
女生
合计
（2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.
参考公式，.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．（2024高二下·潮阳月考）已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立.
（1）若，，求；
（2）若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值.
17．（2024高二下·潮阳月考）如图，在四棱锥中，平面平面ABE，点E在以AB为直径的半圆O上运动（不包括端点），底面ABCD为矩形，.
（1）求证：平面ADE；
（2）当四棱锥体积最大时，求平面ADE与平面ACE所成夹角的余弦值.
18．（2024高二下·潮阳月考）设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若已知，且的图象与相切，求的值；
（3）在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求的取值范围．
19．（2024高二下·潮阳月考）已知椭圆：（）的离心率为，其左、右焦点为、，过作不与轴重合的直线交椭圆于、两点，的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）设线段的垂直平分线交轴于点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：联立，即，解得：或，
即，
故的元素个数为3.
故选：C
【分析】联立求出交点坐标，从而得到答案.
2．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，得，所以①．
因为，所以②．
由①②解得：，．
故答案为：A.
【分析】本题考查离散型随机变量的分布列、期望.利用概率的性质可列出方程，再根据期望的计算公式可列出方程，据此可得方程组，解方程组可求出，的值.
3．【答案】D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；柱体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题可知圆柱部分的底面半径，高为，
所以圆柱的体积为，
圆台部分上底面半径为，下底面半径为，高为，
所以圆台部分的体积为，
则该组合体的体积为.
故答案为：D.
【分析】联立求出交点坐标，从而得到答案.
4．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意有以下几种可能：①选择金花清感颗粒的概率为：，则感冒被治愈的概率为：②选择莲花清瘟胶囊的概率为：，则感冒被治愈的概率为：③选择清开灵颗粒的概率为：，
则感冒被治愈的概率为：综上所述感冒被治愈的概率为：
故答案为：C.
【分析】根据题意有三种情况感冒被治愈，利用互斥事件的概率公式，求得三种方式治愈感冒的概率，然后再运用古典概率公式进行求解即可，
5．【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，
因为函数在区间内单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，所以，即，即，
因为，所以，则，即的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性求值即可.
6．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A错误；
B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误；
C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C错误；
D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查排列组合的实际应用.根据题目条件可得不同选法有种，计算后可判断A选项；根据不相邻问题利用插空法可得不同排法共有种，计算后可判断B选项；相邻问题利用捆绑法可得同排法共有种，计算后可以判断C选项；利用特殊位置优先法可得体验课程共有种，计算后可以判断D选项.
7．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：当时，直线，则其倾斜角为；
当时，直线，
则其斜率，即，
又，；
综上所述：直线的倾斜角的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】当时，直线斜率不存在，可得倾斜角为；当，由斜率和倾斜角的关系可知，由此可得的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示：
若使得函数有3个零点，则.
故答案为：A
【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图象有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.
9．【答案】C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：A、根据古典概率公式可得，即，故A错误；
B、因为，所以，故B错误；
C、因为服从两点分布，所以，又因为，
所以，故C正确；
D、设的分布列为
则，，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用古典概率公式计算即可判断A；根据条件，利用期望的计算公式求解即可判断B；利用两点分布列的性质，即可判断C；根据期望及方差的定义，变形化简即可判断D.
10．【答案】A,B,C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：选项A：由相关系数可知，时，变量与正相关，时，变量与负相关，越大，相关性越强；故选项A正确；
选项B：时，故选项B正确；
选项C：的展开式中，奇数项的二项式系数和为
当随机变量服从正态分布，且，
即
故选项D错误.
故答案为：ABC.
【分析】选项A：利用相关性的定义进行判断；选项B：利用二项分布的方差计算公式可以计算；选项C：利用二项式定理计算即可；选项D：利用正态分布的性质可以计算.
11．【答案】A,C
【知识点】余弦函数的图象
【解析】【解答】解：A.∵函数 的图像关于直线 对称，
∴，解得，
∵，∴，
∴，故A正确；
B.∵，∴，
∴在该区间不单调，故B错误；
C.∵，∴，
∴ 函数在该区间内恰有一个极大值点 ，为时取得极大值，故C正确；
D.∵，∴，
∴在该区间只有一个零点，故D错误；
【分析】首先根据函数的图像关于直线 对称以及可求出，即可求出；根据x的取值范围可以确定，即可判断函数的单调性、极值的个数以及零点的个数.
12．【答案】31
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：31.
【分析】根据，可先求出q，再求出，即可求出答案.
13．【答案】-20
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：多项式，即为，
含项为，则项的系数为.
故答案为：.
【分析】根据题意，利用组合的运算方法，求得展开式中含项，即可求解.
14．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∵当时，，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴当时，，
∵方程在区间内有实数解，
即y=a与的图象在上有交点，
∴实数a的取值范围为：，
故答案为：.
【分析】首先根据可推得，时，，可求出x取其他值时的函数解析式，之后将方程在区间内有实数解有解的问题转化为y=a与的图象在上有交点的问题，即可得出答案.
15．【答案】（1）100名高中生，运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，则运动达标人数为，
运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，则运动达标的女生有40人，运动达标的男生有20人，
列联表为
性别 运动达标情况 合计
运动达标 运动欠佳
男生 20 5 25
女生 40 35 75
合计 60 40 100
零假设为：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05.
（2）因为“运动达标”的男生 女生分别有20人和40人，
按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生 女生分别抽到2人和4人，
则选中的2人中恰有一人是女生的概率为.
【知识点】独立性检验；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由已知数据完成列联表，计算，与临界值比较得结论；
（2）由分层抽样确定男女生人数，利用组合数公式和古典概型求解.
（1）100名高中生，运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，则运动达标人数为，
运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，则运动达标的女生有40人，运动达标的男生有20人，
列联表为
性别 运动达标情况 合计
运动达标 运动欠佳
男生 20 5 25
女生 40 35 75
合计 60 40 100
零假设为：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05.
（2）因为“运动达标”的男生 女生分别有20人和40人，
按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生 女生分别抽到2人和4人，
则选中的2人中恰有一人是女生的概率为.
16．【答案】（1）由题设，且，
而，
显然也满足上式，故，
由，又，
所以是首项、公差均为2的等差数列.
综上，.
（2）由，，则，
所以，而，故，即是公比为3的等比数列.
所以，则，
，而，
所以，
所以对都成立，
所以，故，则正整数的最小值为3.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）利用求通项公式，再求证是首项、公差均为2的等差数列，进而求；
（2）由题设易得，等比数列前n项和公式求，进而可得，裂项相消法化简已知不等式左侧，得恒成立，进而求最小值.
（1）由题设，且，而，
显然也满足上式，故，
由，又，
所以是首项、公差均为2的等差数列.
综上，.
（2）由，，则，
所以，而，故，即是公比为3的等比数列.
所以，则，
，而，
所以，
所以对都成立，
所以，故，则正整数的最小值为3.
17．【答案】（1）点E在上且为直径，，
又平面平面，平面平面，且平面，
平面，
平面，，
又平面，故平面.
（2）当四棱锥体积最大时，是的中点，
此时，，
取中点，连接，
则，即平面，
又，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴及轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，
设平面的一个法向量为，则
取，可得，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成夹角为，则，
即平面与平面所成夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由面面垂直得平面，再结合圆的性质得即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量即可求解。
（1）点E在上且为直径，，
又平面平面，平面平面，且平面，
平面，
平面，，
又平面，故平面.
（2）当四棱锥体积最大时，是的中点，
此时，，
取中点，连接，
则，即平面，
又，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴及轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，
设平面的一个法向量为，则
取，可得，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成夹角为，则，
即平面与平面所成夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）当时，，则，
当或时，；当时，，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）因，
则，
设函数与直线相切的切点是，
因为，所以，
所以有，
可得，
又，相减得，
所以，所以，
解得：；
（3）时，，
的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根，
设函数，则，
时，或时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
时取极大值时取极小值，
所以的取值范围为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，根据导数的正负即可求解单调性，
（2）设出切点，根据点斜式求解切线方程，即可列等量关系，联立方程求解，
（3）将问题转化为有三个实数根，即可对求导确定函数的单调性求解值域求解.
（1）当时，，则，
当或时，；当时，，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）因，
则，
设函数与直线相切的切点是，
因为，所以，
所以有，
可得，
又，相减得，
所以，所以，
解得：；
（3）时，，
的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根，
设函数，则，
时，或时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
时取极大值时取极小值，
所以的取值范围为．
19．【答案】（1）根据椭圆定义知周长为，
依题意有，
从而，
故椭圆的方程为；
（2）设：，，，
由，
因为
所以，，
所以
，
设线段中点坐标为，则，，
即设线段中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为：，
令，当时，与轴重合，不合题意；
当时，得，即点，
所以，
所以，即存在满足题设.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆定义，结合椭圆离心率公式进行求解即可；
（2）根据椭圆弦长公式，结合线段中点坐标公式、一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为，；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；
（5）代入韦达定理求解.
（1）根据椭圆定义知周长为，
依题意有，
从而，
故椭圆的方程为；
（2）设：，，，
由，
因为
所以，，
所以
，
设线段中点坐标为，则，，
即设线段中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为：，
令，当时，与轴重合，不合题意；
当时，得，即点，
所以，
所以，即存在满足题设.
1 / 1广东省汕头市潮阳黄图盛中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段考试数学试题
1．（2024高二下·潮阳月考）设集合，，则的元素个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：联立，即，解得：或，
即，
故的元素个数为3.
故选：C
【分析】联立求出交点坐标，从而得到答案.
2．（2024高二下·潮阳月考）下表是离散型随机变量的分布列，且满足，则，的值分别是（ ）
3 4 5 9
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，得，所以①．
因为，所以②．
由①②解得：，．
故答案为：A.
【分析】本题考查离散型随机变量的分布列、期望.利用概率的性质可列出方程，再根据期望的计算公式可列出方程，据此可得方程组，解方程组可求出，的值.
3．（2024高二下·潮阳月考）白酒又名烧酒 白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；柱体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题可知圆柱部分的底面半径，高为，
所以圆柱的体积为，
圆台部分上底面半径为，下底面半径为，高为，
所以圆台部分的体积为，
则该组合体的体积为.
故答案为：D.
【分析】联立求出交点坐标，从而得到答案.
4．（2024高二下·潮阳月考） 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意有以下几种可能：①选择金花清感颗粒的概率为：，则感冒被治愈的概率为：②选择莲花清瘟胶囊的概率为：，则感冒被治愈的概率为：③选择清开灵颗粒的概率为：，
则感冒被治愈的概率为：综上所述感冒被治愈的概率为：
故答案为：C.
【分析】根据题意有三种情况感冒被治愈，利用互斥事件的概率公式，求得三种方式治愈感冒的概率，然后再运用古典概率公式进行求解即可，
5．（2024高二下·潮阳月考）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，
因为函数在区间内单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，所以，即，即，
因为，所以，则，即的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性求值即可.
6．（2024高二下·潮阳月考）为弘扬我国古代的“六艺文化”某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有20种选法
B．课程“乐”，“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”，“书”，“数”排在相邻的三周，共有120种排法
D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A错误；
B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误；
C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C错误；
D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查排列组合的实际应用.根据题目条件可得不同选法有种，计算后可判断A选项；根据不相邻问题利用插空法可得不同排法共有种，计算后可判断B选项；相邻问题利用捆绑法可得同排法共有种，计算后可以判断C选项；利用特殊位置优先法可得体验课程共有种，计算后可以判断D选项.
7．（2024高二下·潮阳月考）设直线的方程则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：当时，直线，则其倾斜角为；
当时，直线，
则其斜率，即，
又，；
综上所述：直线的倾斜角的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】当时，直线斜率不存在，可得倾斜角为；当，由斜率和倾斜角的关系可知，由此可得的取值范围.
8．（2024高二下·潮阳月考）若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示：
若使得函数有3个零点，则.
故答案为：A
【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图象有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.
9．（2024高二下·潮阳月考）设为离散型随机变量，下列说法正确的是（ ）
A．若等可能取，且，则
B．若的概率分布为，则
C．若服从两点分布，且，则成功概率
D．的方差可以用期望表示为.
【答案】C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：A、根据古典概率公式可得，即，故A错误；
B、因为，所以，故B错误；
C、因为服从两点分布，所以，又因为，
所以，故C正确；
D、设的分布列为
则，，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用古典概率公式计算即可判断A；根据条件，利用期望的计算公式求解即可判断B；利用两点分布列的性质，即可判断C；根据期望及方差的定义，变形化简即可判断D.
10．（2024高二下·潮阳月考）下列说法正确的是（ ）
A．对个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
B．若随机变量，则
C．在的展开式中，奇数项的二项式系数和为32
D．已知随机变量服从正态分布，且，则
【答案】A,B,C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：选项A：由相关系数可知，时，变量与正相关，时，变量与负相关，越大，相关性越强；故选项A正确；
选项B：时，故选项B正确；
选项C：的展开式中，奇数项的二项式系数和为
当随机变量服从正态分布，且，
即
故选项D错误.
故答案为：ABC.
【分析】选项A：利用相关性的定义进行判断；选项B：利用二项分布的方差计算公式可以计算；选项C：利用二项式定理计算即可；选项D：利用正态分布的性质可以计算.
11．（2024高二下·潮阳月考）已知函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．
B．在区间单调递减
C．在区间恰有一个极大值点
D．在区间有两个零点
【答案】A,C
【知识点】余弦函数的图象
【解析】【解答】解：A.∵函数 的图像关于直线 对称，
∴，解得，
∵，∴，
∴，故A正确；
B.∵，∴，
∴在该区间不单调，故B错误；
C.∵，∴，
∴ 函数在该区间内恰有一个极大值点 ，为时取得极大值，故C正确；
D.∵，∴，
∴在该区间只有一个零点，故D错误；
【分析】首先根据函数的图像关于直线 对称以及可求出，即可求出；根据x的取值范围可以确定，即可判断函数的单调性、极值的个数以及零点的个数.
12．（2024高二下·潮阳月考）记为等比数列的前项和，若，，则 .
【答案】31
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：31.
【分析】根据，可先求出q，再求出，即可求出答案.
13．（2024高二下·潮阳月考）在多项式的展开式中，含项的系数为 .
【答案】-20
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：多项式，即为，
含项为，则项的系数为.
故答案为：.
【分析】根据题意，利用组合的运算方法，求得展开式中含项，即可求解.
14．（2024高二下·潮阳月考）已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∵当时，，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴当时，，
∵方程在区间内有实数解，
即y=a与的图象在上有交点，
∴实数a的取值范围为：，
故答案为：.
【分析】首先根据可推得，时，，可求出x取其他值时的函数解析式，之后将方程在区间内有实数解有解的问题转化为y=a与的图象在上有交点的问题，即可得出答案.
15．（2024高二下·潮阳月考）为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人.
（1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系；
性别 运动达标情况 合计
运动达标 运动欠佳
男生
女生
合计
（2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.
参考公式，.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）100名高中生，运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，则运动达标人数为，
运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，则运动达标的女生有40人，运动达标的男生有20人，
列联表为
性别 运动达标情况 合计
运动达标 运动欠佳
男生 20 5 25
女生 40 35 75
合计 60 40 100
零假设为：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05.
（2）因为“运动达标”的男生 女生分别有20人和40人，
按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生 女生分别抽到2人和4人，
则选中的2人中恰有一人是女生的概率为.
【知识点】独立性检验；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由已知数据完成列联表，计算，与临界值比较得结论；
（2）由分层抽样确定男女生人数，利用组合数公式和古典概型求解.
（1）100名高中生，运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，则运动达标人数为，
运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，则运动达标的女生有40人，运动达标的男生有20人，
列联表为
性别 运动达标情况 合计
运动达标 运动欠佳
男生 20 5 25
女生 40 35 75
合计 60 40 100
零假设为：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05.
（2）因为“运动达标”的男生 女生分别有20人和40人，
按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生 女生分别抽到2人和4人，
则选中的2人中恰有一人是女生的概率为.
16．（2024高二下·潮阳月考）已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立.
（1）若，，求；
（2）若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值.
【答案】（1）由题设，且，
而，
显然也满足上式，故，
由，又，
所以是首项、公差均为2的等差数列.
综上，.
（2）由，，则，
所以，而，故，即是公比为3的等比数列.
所以，则，
，而，
所以，
所以对都成立，
所以，故，则正整数的最小值为3.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）利用求通项公式，再求证是首项、公差均为2的等差数列，进而求；
（2）由题设易得，等比数列前n项和公式求，进而可得，裂项相消法化简已知不等式左侧，得恒成立，进而求最小值.
（1）由题设，且，而，
显然也满足上式，故，
由，又，
所以是首项、公差均为2的等差数列.
综上，.
（2）由，，则，
所以，而，故，即是公比为3的等比数列.
所以，则，
，而，
所以，
所以对都成立，
所以，故，则正整数的最小值为3.
17．（2024高二下·潮阳月考）如图，在四棱锥中，平面平面ABE，点E在以AB为直径的半圆O上运动（不包括端点），底面ABCD为矩形，.
（1）求证：平面ADE；
（2）当四棱锥体积最大时，求平面ADE与平面ACE所成夹角的余弦值.
【答案】（1）点E在上且为直径，，
又平面平面，平面平面，且平面，
平面，
平面，，
又平面，故平面.
（2）当四棱锥体积最大时，是的中点，
此时，，
取中点，连接，
则，即平面，
又，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴及轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，
设平面的一个法向量为，则
取，可得，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成夹角为，则，
即平面与平面所成夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由面面垂直得平面，再结合圆的性质得即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量即可求解。
（1）点E在上且为直径，，
又平面平面，平面平面，且平面，
平面，
平面，，
又平面，故平面.
（2）当四棱锥体积最大时，是的中点，
此时，，
取中点，连接，
则，即平面，
又，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴及轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，
设平面的一个法向量为，则
取，可得，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成夹角为，则，
即平面与平面所成夹角的余弦值为.
18．（2024高二下·潮阳月考）设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若已知，且的图象与相切，求的值；
（3）在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求的取值范围．
【答案】（1）当时，，则，
当或时，；当时，，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）因，
则，
设函数与直线相切的切点是，
因为，所以，
所以有，
可得，
又，相减得，
所以，所以，
解得：；
（3）时，，
的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根，
设函数，则，
时，或时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
时取极大值时取极小值，
所以的取值范围为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，根据导数的正负即可求解单调性，
（2）设出切点，根据点斜式求解切线方程，即可列等量关系，联立方程求解，
（3）将问题转化为有三个实数根，即可对求导确定函数的单调性求解值域求解.
（1）当时，，则，
当或时，；当时，，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）因，
则，
设函数与直线相切的切点是，
因为，所以，
所以有，
可得，
又，相减得，
所以，所以，
解得：；
（3）时，，
的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根，
设函数，则，
时，或时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
时取极大值时取极小值，
所以的取值范围为．
19．（2024高二下·潮阳月考）已知椭圆：（）的离心率为，其左、右焦点为、，过作不与轴重合的直线交椭圆于、两点，的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）设线段的垂直平分线交轴于点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）根据椭圆定义知周长为，
依题意有，
从而，
故椭圆的方程为；
（2）设：，，，
由，
因为
所以，，
所以
，
设线段中点坐标为，则，，
即设线段中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为：，
令，当时，与轴重合，不合题意；
当时，得，即点，
所以，
所以，即存在满足题设.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆定义，结合椭圆离心率公式进行求解即可；
（2）根据椭圆弦长公式，结合线段中点坐标公式、一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为，；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；
（5）代入韦达定理求解.
（1）根据椭圆定义知周长为，
依题意有，
从而，
故椭圆的方程为；
（2）设：，，，
由，
因为
所以，，
所以
，
设线段中点坐标为，则，，
即设线段中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为：，
令，当时，与轴重合，不合题意；
当时，得，即点，
所以，
所以，即存在满足题设.
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