2024-2025学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校九年级（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校九年级（上）期初数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，若点坐标为，且，则点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.人体内一种细胞的直径约为，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.如图，，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知一次函数的图象如图所示，则、的取值范围是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
5.已知点，是反比例函数图象上的两点，若，则有( )
A. B. C. D.
6.根据图象，可得关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7.如图，在 中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴，与反比例函数的图象交于点，点为轴上一点，连结、，若的面积为，则的值为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若分式有意义，则实数的取值范围是______．
10.关于的一元二次方程没有实数根是常数，则的取值范围是______．
11.若点与点关于轴对称，则______．
12.如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，将线段放大得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为______．
13.如图，已知，和相交于点，：：，则 ______．
14.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点在点的左侧，直线经过点和点，且，将直线沿轴向下平移得到，若点落在矩形的内部不含边界，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解方程：
；
．
16.本小题分
先化简，再求值：，其中．
17.本小题分
某商店经销一批小家电，每件成本元．经市场预测，销售定价为元时，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个．商店若准备获利元，应涨价多少元？
18.本小题分
某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，对成绩百分制进行整理、描述和分析，成绩划分为，，，四个等级，并制作出不完整的统计图如下：
填空： ______， ______；
补全条形统计图；
成绩为等级人数所占扇形圆心角的大小为______
这所学校共有名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩在分以上含分的学生人数．
19.本小题分
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
在图中的线段上找一点，连接，使．
在图中的线段上找一点，连接，使．
在图中的线段上找一点，连接，使．
20.本小题分
如图，在锐角中，点、分别在边、上，于，于，．
求证：∽；
若，，，则 ______．
21.本小题分
，两城市之间有一条公路相连，公路途中经过市，甲车从市到市，乙车从市到市，甲车的速度比乙车的速度慢，两车距离市的路程与行驶的时间的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
甲车的速度是______， ______；
求图象中线段所在直线的函数解析式不需要写出自变量的取值范围；
直接写出甲车出发后几小时，两车距市的路程之和是千米．
22.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，与轴交于点，与轴交于点．
求反比例函数和一次函数解析式；
直接写出不等式的解集为______；
点在轴上，若，则点的坐标为______．
23.本小题分
【教材呈现】
下面是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容．
例如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点．
求证：．
证明：连结．
请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程；
【结论应用】
如图，在中，点、分别是边、的中点，、相交于点，交于点，则 ______；
如图，在中，、分别是边、的中点，过点的直线分别交、于点、，若，，四边形的面积为，则 ______．
24.本小题分
如图，在中，，，点在边上运动，点关于点的对称点为点，以为边在上方作正方形设．
的长为______；
求线段的长用含的代数式表示；
当正方形与重叠部分的图形为四边形时，求的取值范围；
连结，当所在直线将正方形的面积分成：两部分时，直接写出的值．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.：
14.
15.解：，，，
，
，
，；
．
，
．
16.解：原式
，
当时，原式．
17.解：设每个商品的定价是元，，
由题意，得 ，
整理，得 ，
解得，符合题意．
则元，
答：应涨价元，商店可获利元．
18.，；
等级的人数：人，
补全条形统计图如图：
；
人，
答：估计成绩在分以上含分的学生人数为人．
19.解：如图，点即为所求；
如图，点即为所求；
如图，点即为所求；

20.证明：，，
，
，
，
，
∽．
解：由可知：∽，
，，
，
由可知：，
，
∽，
，
，
．
21.；；
设线段所在直线的解析式为 ．
把点，代入，
得：，
解得：．
线段所在直线的函数解析式为；
，
小时，
或，
解得，
答：甲车出发小时或小时时，两车距市的路程之和是千米．
22.将代入反比例函数，
得，解得，
反比例函数的解析式为，
把代入反比例函数，可得：，
解得，
，
将，代入一次函数，
可得，解得，
一次函数的解析式为；
或；
，，
，
，
点在轴上，
设点，
则，
，
，
，
或，
点的坐标为或，
23.【教材呈现】证明：连接，如图，
、分别为、的中点，
为的中位线，
，，
∽，
，
，
即；
【结论应用】、分别是边、的中点，
，，
，
∽，
，
，
同理可得，，
．
如图，作交的延长线于点，交于点，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
24.；
点关于点的对称点为点，且，
分两种情况：
当时，；
当时，；
当点落在上时，如图，
，
四边形是正方形，且，
，
，
即，
解得：，
当时，正方形与重叠部分的图形为四边形；
当点落在上时，如图，
，
即，
解得：，
当时，正方形与重叠部分的图形为四边形；
综上所述，当和当时，正方形与重叠部分的图形为四边形；
的值是或．
理由：
分两种情况：
当点在边上时，，如图，
，
∽，
，即，
，
，
所在直线将正方形的面积分成：两部分，
或，
或，
解得：，大于，舍去；
．
当在的延长线上时，此时，如图，
由图可知：，，
所在直线将正方形的面积分成：两部分，
：：或：，
或，
解得：，小于，舍去，
．
综上所述，的值是或．
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