第一章 质量评估检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列语句中，不能成为命题的是( )
A．指数函数是增函数吗？
B．2 012＞2 013
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．存在实数x0，使得x0＜0
解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题．
答案：A
2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”是假命题，则否命题为假命题．
答案：B
3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系．若l1∥l2，则2a－2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件．
答案：C
4．下列命题中的假命题是( )
A．存在x∈R，lgx＝0 B．存在x∈R，tanx＝1
C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞0
答案：C
5．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点
B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b
C．存在一个菱形不是平行四边形
D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋7＜0成立
解析：A、B为全称命题，但A为假命题；B是真命题．
答案：B
6．下列命题是真命题的是( )
A．“若x＝0，则xy＝0”的逆命题
B．“若x＝0，则xy＝0”的否命题
C．若x＞1，则x＞2
D．“若x＝2，则(x－2)(x－1)＝0”的逆否命题
解析：A中逆命题为：若xy＝0，则x＝0错误；选项B中，否命题为：若x≠0，则xy≠0，错误；选项C中，若x＞1，则x＞2显然不正确；D选项中，因为原命题正确，所以逆否命题正确．
答案：D
7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题是真命题的是( )
A．若l⊥m，m α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，知B正确．
答案：B
8．已知命题p：任意x∈R，使x2－x＋＜0，命题q：存在x∈R，使sinx＋cosx＝，则下列判断正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈q是假命题
解析：∵任意x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立，
∴命题p假，綈p真；
又sinx＋cosx＝sin，当sin＝1时，sinx＋cosx＝.
∴q真，綈q假．
答案：D
9．给定下列命题：
①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；
②“若sinα≠，则α≠”；
③“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题；
④命题“ x0∈R，使x－x0＋1≤0”的否定．
其中假命题的序号是( )
A．①②③ B．②④
C．①③ D．②③④
解析：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，①错误；②的逆否命题为：若α＝则sinα＝正确，故②正确；若xy＝0，则x＝0或y＝0，③错误；④正确．
答案：C
10．若存在x∈R，使|x＋2|＋|x－1|＜a，则a的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，3] D．(－∞，3)
解析：令f(x)＝|x＋2|＋|x－1|，若 x∈R，使f(x)＜a成立．即a＞f(x)min即可，∵f(x)＝|x＋2|＋|x－1|≥3，∴a＞3.
答案：A
11．下列说法错误的是( )
A．如果命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
B．命题p： x0∈R，x＋2x0＋2≤0，则綈p： x∈R，x2＋2x＋2＞0
C．命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是“若a，b都不是偶数，则a＋b不是偶数”
D．特称命题“ x∈R，使－2x2＋x－4＝0”是假命题
解析：A中綈p是真命题，则p是假命题，p或q是真命题，∴q是真命题，故A正确．B中，特称命题的否定是全称命题，B正确．C中，命题的否命题应为“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”，故C错误．D中，方程－2x2＋x－4＝0无实根，D正确．
答案：C
12．下列命题中为真命题的是( )
A．若x≠0，则x＋≥2
B．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
C．直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交
D．若命题p：“ x∈R，x2－x－1＞0”，则命题p的否定为：“ x∈R，x2－x－1≤0”
解析：命题A为假命题；当x＜0时不成立；直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直的充要条件是a＝±1，故B为假命题；显然命题C也是假命题．
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“若a A，则b∈B”的逆否命题是________．
答案：若b B，则a∈A
14．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．
解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
答案：对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等
15．a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．
解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．
答案：充要
16．下列说法中正确的是________．(填序号)
①命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；
②“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件；
③命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题；
④“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件．
解析：命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，当m＝0时，是假命题，故①不正确；
若a＞0，则|a|＞0，所以“a＞0”是“|a|＞0”的充分条件；若|a|＞0，则a＞0或a＜0，所以“a＞0”不是“|a|＞0”的必要条件．故②正确．
命题“p或q”为真命题，则命题“p”和“q”中至少有一个为真命题．故③不正确．
b＝0时f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数．
函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数时b＝0，故④正确．
答案：②④
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解析：逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0，真命题．
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题．
18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)p：存在一个实数x，使得3x＜0；
(3)p：若an＝－2n＋1，则 n∈N，使Sn＜0；
(4)p：有些偶数是质数．
解析：
(1)这一命题可表述为p：对任意的实数m，方程x2＋mx－1＝0必有实数根．其否定为綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4＞0恒成立，故綈p为假命题．
(2)綈p：对于所有的实数x，都满足3x≥0.
显然綈p为真命题．
(3)綈p：若an＝－2n＋1，则 n∈N，Sn≥0.(假)
(4)綈p：所有偶数都不是质数．(假)
19．(本小题满分12分)设命题p：c2＜c和命题q：对 x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．
解析：解不等式c2＜c，得0＜c＜1，
即命题p：0＜c＜1，∴命题綈p：c≤0或c≥1.
又由(4c)2－4＜0，得－＜c＜，
即命题q：－＜c＜，∴命题綈q：c≤－或c≥，
由p∨q为真，知p与q中至少有一个为真，
由p∧q为假，知p与q中至少有一个为假，
所以p与q中一个为真命题，一个为假命题．
当p真q假时，实数c的取值范围是≤c＜1；
当p假q真时，实数c的取值范围是－＜c≤0；
综上所述，实数c的取值范围是－＜c≤0或≤c＜1.
20．(本小题满分12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
解析：由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.
∴綈p：x＜1或x＞5.
q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：x＜m－1或x＞m＋1.
又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，
∴∴2≤m≤4.
21．(本小题满分12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明：
必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a.
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2
＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，
又ab≠0，即a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2＝2＋≠0，只有a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，
a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
22．(本小题满分12分)给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为 ，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解析：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞或a＜－1.
乙命题为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
∴a的取值范围是.
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a＜－，
∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为.课时作业(三) 充分条件与必要条件
A组 基础巩固
1．设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由2x2＋x－1＞0，可得x＜－1或x＞，∴“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的充分不必要条件．
答案：A
2．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：l1与l2平行的充要条件为a×2＝2×1且a×4≠－1×1，得a＝1，故选C.
答案：C
3．设命题甲：ax2＋2ax＋1＞0的解集是实数集R，命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的( )
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若ax2＋2ax＋1＞0的解集为R，
则a＝0或即a＝0或
∴0≤a＜1.
因此乙 甲，但甲D /乙，
命题甲是命题乙成立的必要不充分条件．
答案：C
4．已知α，β是不同的两个平面，直线a α，直线b β.命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：如图，正方体中的a，b无公共点，但α，β相交．反之，显然α∥β a与b无公共点．
答案：B
5．函数f(x)＝x2－2ax＋1在(－∞，2]上是单调减函数的必要不充分条件是( )
A．a≥2 B．a≥3
C．a≥0 D．a＝6
解析：f(x)＝x2－2ax＋1在(－∞，2]上递减的充要条件是a≥2，则判断a≥0满足条件．
答案：C
6．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当0＜ab＜1，a＜0，b＜0时，有b＞；反过来，b＜，当a＜0时，有ab＞1.
∴“0＜ab＜1”是“b＜”的既不充分也不必要条件，故选D.
答案：D
7．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的__________条件．
解析：当A∩B＝{4}时，m2＝4，
∴m＝±2.
∴“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
8．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
解析：∵方程有实数根，∴Δ＝16－4n≥0，∴n≤4.
原方程的根x＝＝2±为整数，则为整数．
又∵n∈N*，∴n＝3或4.
反过来，当n＝3时，方程x2－4x＋3＝0的两根分别为1,3，是整数；
当n＝4时，方程x2－4x＋4＝0的两根相等且为2，是整数．
答案：3或4
9．已知a，b为两个非零向量，有以下命题：
①a2＝b2；②a·b＝b2；③|a|＝|b|且a∥b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的命题是__________．(将所有正确命题的序号填在题中横线上)
解析：显然a＝b时，①②③均成立，即必要性成立．
当a2＝b2时，(a＋b)·(a－b)＝0，不一定有a＝b；
当a·b＝b2时，b·(a－b)＝0，不一定有a＝b；
当|a|＝|b|且a∥b时，a＝b或a＝－b，即①②③都不能推出a＝b.
答案：①②③
10．在下列各题中，p是q的什么条件(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)
(1)p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(3)p：在△ABC中，∠A≠60°，q：sinA≠；
(4)p：m>0，q：方程x2＋x－m＝0有实根．
解：
(1)四边形对角线互相平分D /四边形是矩形；四边形是矩形 四边形对角线互相平分，所以p是q的必要不充分条件．
(2)x＝1或x＝2 x－1＝；x－1＝ x＝1或x＝2.所以p是q的充要条件．
(3)在△ABC中，∠A≠60°D /sinA≠(如A＝120°时，sinA＝)；在△ABC中，sinA≠ A≠60°，所以p是q的必要不充分条件．
(4)m>0 方程x2＋x－m＝0的Δ＝1＋4m>0，即方程有实根；方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0Dm>0，所以p是q的充分不必要条件．
B组 能力提升
11．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由0＜x＜知0＜sinx＜1，若xsinx＜1，则xsin2x＜1；若xsin2x＜1，而xsinx不一定小于1.
答案：B
12．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
解：
(1)a＝0时适合．
(2)a≠0时显然方程没有零根．若方程有两异号的实根，则a<0；若方程有两个负的实根，则必须有解得0
综上知：若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
13．已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
证明：
(1)充分性：若a2－b2＝1成立，
则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2
＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，
所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．
(2)必要性：若a4－b4－2b2＝1成立
则a4－(b2＋1)2＝0，
即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0，
因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0，
所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.
综上可知：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
14．已知：p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解：由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，解得1－m≤x≤1＋m.
又由≤2，解得－2≤x≤10.
又p是q的充分不必要条件，
所以或解得m≥9.课时作业(二) 四种命题 四种命题间的相互关系
A组 基础巩固
1．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )
A．若A∪B≠A，则A∩B≠B
B．若A∩B＝B，则A∪B＝A
C．若A∩B≠B，则A∪B≠A
D．若A∪B≠A，则A∩B＝B
解析：命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，故A正确．
答案：A
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则它是负数
C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
解析：命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故B正确．
答案：B
3．命题：“a，b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是( )
A．若a，b都不是奇数，则a＋b是偶数
B．若a＋b是奇数，则a，b都是偶数
C．若a＋b不是偶数，则a，b都不是奇数
D．若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数
解析：∵a，b都是奇数的否定为：a，b不都是奇数，a＋b是偶数的否定为：a＋b不是偶数，
∴逆否命题为：若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数．
答案：D
4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：易知原命题为真命题，从而逆否命题为真命题．
∵逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”，∴逆命题为假命题，∴否命题为假命题．从而真命题的个数是2.
答案：B
5．已知命题p：垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α，q是p的否命题，下面结论正确的是( )
A．p真，q真 B．p假，q假
C．p真，q假 D．p假，q真
解析：当平面α内的直线相互平行时，l不一定垂直于平面α，故p为假命题．
易知p的否命题q：若直线l不垂直于α内无数条直线，则l不垂直于α，易知q为真命题．
答案：D
6．下列有关命题的说法正确的是( )
A．“若x＞1，则2x＞1”的否命题为真命题
B．“若cosβ＝1，则sinβ＝0”的逆命题是真命题
C．“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题
D．命题“若x＞1，则x＞a”的逆命题为真命题，则a＞0
解析：A中，2x≤1时，x≤0，从而否命题“若x≤1，则2x≤1”为假命题，故A不正确；B中，sinβ＝0时，cosβ＝±1，则逆命题为假命题，故B不正确；D中，由已知条件得a的取值范围为[1，＋∞)，故D不正确．
答案：C
7．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题是________________．
解析：“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”．
答案：若a≤b，则2a≤2b－1
8．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
解析：由已知，逆命题“若1＜x＜2，则m－1＜x＜m＋1”为真命题．
∴∴1≤m≤2.
答案：1≤m≤2
9．有下列四个命题，其中真命题有__________(只填序号)．
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“若a＞b，则ac2＞bc2”的逆否命题．
解析：①中逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题．
②的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题．
③的逆命题为“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，为真命题，由Δ＝4－4q≥0，得q≤1，
④中当c＝0时，原命题不正确，因此逆否命题是假命题．
综上可知①③是真命题．
答案：①③
10．设M是一个命题，它的结论是q：x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，M的逆否命题的结论是綈p：x1＋x2≠－2或x1x2≠－3.
(1)写出M；
(2)写出M的逆命题、否命题、逆否命题．
解：(1)设命题M表述为：若p，则q那么由题意知其中的结论q为：x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．而条件p的否定形式綈p为：x1＋x2≠－2或x1x2≠－3，故綈p的否定形式即p为：x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.所以命题M为：若x1＋x2＝－2且x1x2＝－3，则x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．
(2)M的逆命题为：若x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.
逆否命题为：若x1，x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2≠－2或x1x2≠－3.
否命题为：若x1＋x2≠－2或x1x2≠－3，则x1，x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根．
B组 能力提升
11．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：原命题与逆否命题等价，而原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．原命题的逆命题为：若y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数，显然此命题为假命题．又∵逆命题与否命题同真假，∴否命题为假．故选C.
答案：C
12．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是__________．
解析：设命题p为“若m，则n”，∴命题q为“若綈m，则綈n”，命题r为“若綈n，则綈m”．∴q与r是互逆命题．
答案：互逆命题
13．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．
(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac＜0，则该二次函数图象与x轴有公共点；
(3)在△ABC中，若a＞b，则∠A＞∠B.
解：(1)该命题为真命题．
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真命题．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真命题．
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真命题．
(2)该命题为假命题．∵当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无公共点．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac＜0，为假命题．
否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点，为假命题．
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假命题．
(3)该命题为真命题．
逆命题：在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b，为真命题．
否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，为真命题．
逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，为真命题．
14．将命题“正偶数不是素数”改写为“若p，则q”的形式，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解析：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题；
逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题；
否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题；
逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题．
15．设a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
解：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它的逆否命题来看．
由命题A可知，b不是最大时，则a是最小，∴c最大，即c＞b＞a；
而它的逆否命题也为真，“a不是最小，则b最大”为真，即b＞a＞c.
同理由命题B为真可得：a＞c＞b或b＞a＞c.
故由A与B均为真命题，可知b＞a＞c.
因此a，b，c三人的年龄的大小顺序是：b最大，a次之，c最小．课时作业(一) 命题
A组 基础巩固
1．下列语句中，命题的个数是( )
①空集是任何集合的真子集；
②请起立；
③单位向量的模为1；
④你是高二的学生吗？
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题．
答案：C
2．下列命题为假命题的是( )
A．log24＝2
B．直线x＝0的倾斜角是
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若直线a⊥平面α，直线a⊥平面β，则α∥β
解析：由|a|＝|b|只是得到a与b的模相等，但方向不确定，∴a与b不一定相等．
答案：C
3．下列命题是真命题的是( )
A．若3∈B,3∈A，则A∩B＝{3}
B．若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数
C．若a＞b，则＜
D．若a·b＝b·c，则a＝c
解析：由f(x)＝log2x，得f(|x|)＝log2|x|，易判断该函数是偶函数，则B为真命题．
答案：B
4．下列命题中假命题是( )
A．若log2x＜2，则0＜x＜4
B．若a·b＝0，则a与b的夹角为90°
C．已知非零数列{an}满足an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列
D．点(π，0)是函数y＝sinx图象上一点
解析：B中当a＝0，b≠0时，a与b的夹角是任意的，所以B是假命题．
答案：B
5．下列命题正确的是( )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
解析：若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，选项A错；
如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个点的平面与这个平面相交，选项B不正确；
如图，平面α∩β＝b，a∥α，a∥β，过直线a作平面ε∩α＝c，过直线a作平面γ∩β＝d，
∵a∥α，∴a∥c，∵a∥β，∴a∥d，∴d∥c，∵c α，d α，∴d∥α，
又∵d β，∴d∥b，∴a∥b，选项C正确；
若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，选项D不正确．
答案：C
6．给定下列命题：
①若a＞b，则2a＞2b；②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；③命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是“这个四边形的对角线垂直”；④直线x＝是函数y＝sinx的一条对称轴；⑤在△ABC中，若·＞0，则△ABC是钝角三角形．
其中为真命题的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：①是真命题；②当a＝，b＝－时，a＋b＝0为有理数，故②为假命题；③中结论应为“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”，故③为假命题；④是真命题；⑤·＝||||cos(π－B)＞0，∴cosB＜0，∴B为钝角，故⑤为真命题．
答案：B
7．把命题“函数f(x)＝sinx是奇函数”改写成“若p，则q”的形式是________________________________．
答案：若一个函数是f(x)＝sinx，则该函数是奇函数
8．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f(x)＝3＋log2x的图象与g(x)的图象关于__________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)
答案：x轴 －3－log2x；
或y轴 3＋log2(－x)；
或(0,0) －3－log2(－x)．(任选一种均可)
9．下列命题：
①若数列{an}是等比数列，则a2·a4＞0；
②当x＝时，有sinx＞cosx；
③若＜1，则x＞1；
④若a＝(0,1)，b＝(0，－1)，则a与b的夹角为0°；
⑤函数y＝log2x2在(1，＋∞)上单调递增．
其中为真命题的是__________．(填序号)
解析：易知①②⑤为真命题；③中＜1，解得x＜0或x＞1，故③为假命题；④a与b反向，从而a与b的夹角为180°，故④为假命题．
答案：①②⑤
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当ac＞bc时，a＞b；
(2)当m＞时，mx2－x＋1＝0无实根；
(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.
解：(1)若ac＞bc，则a＞b.
∵ac＞bc，c＜0时，a＜b，∴是假命题．
(2)若m＞，则mx2－x＋1＝0无实根．
∵Δ＝1－4m＜0，∴是真命题．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.真命题．
B组 能力提升
11．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2，是真命题的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
解析：①错，数量积不满足结合律；②对，由向量减法的三角形法则可知有|a|－|b|＜|a－b|；③[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0.∴③错；④对．
答案：D
12．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使得a∈A是假命题的a的取值范围是( )
A．a≥－3 B．a＞－3
C．a≤－3 D．a＜－3
解析：∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}．
又∵a∈A是假命题，即a A，∴a＜－3.
答案：D
13．已知A：5x－1＞a，B：x＞1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x＞，则x＞1”，由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；
若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x＞1，则x＞”，由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x＞1，则x＞”．
14．若命题p：sinx＋cosx>m，命题q：x2＋mx＋1>0，对任意的x∈R，p和q都是真命题，求实数m的取值范围．
解：由题意知sinx＋cosx>m，x∈R恒成立，
即sin>m，x∈R恒成立，∴m<－.
又由x2＋mx＋1>0，x∈R恒成立，
得Δ＝m2－4<0，即－215．(1)已知p：≤0，求p为真命题时x的取值范围；
(2)q：y＝ax2－2x＋1在[1，＋∞)上为减函数，求q为真命题时，a的取值范围．
解析：
(1)由≤0，得即－2＜x≤1.
∴p为真命题时，x的取值范围是(－2,1]．
(2)当a＝0时，y＝－2x＋1满足在[1，＋∞)上为减函数；
当a≠0时，由已知可得可得a＜0.
∴q为真命题时，a的取值范围是a≤0.课时作业(四) 简单的逻辑联结词
A组 基础巩固
1．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0 D．x，y不都是0
答案：A
2．下列命题：①矩形的对角线相等且互相平分；②10的倍数一定是5的倍数；③方程x2＝1的解为x＝±1；④3 {1,2}．其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①中有“且”；②中没有；③中有“或”；④中有“非”．故选C.
答案：C
3．若条件p：x∈A∩B，则綈p是( )
A．x∈A且x B B．x A或x B
C．x A且x B D．x∈A∪B
解析：由p：x∈A∩B，得p：x∈A且x∈B，∴綈p是x A或x B.
答案：B
4．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．綈q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
解析：因周期T＝＝π，故p为假命题．
因cosx的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，
故q也为假命题，所以p∧q为假．
答案：C
5．已知P：2＋2＝5，Q：3＞2，则下列判断正确的是( )
A．“P∨Q”为假，“綈Q”为假
B．“P∨Q”为真，“綈Q”为假
C．“P∧Q”为假，“綈P”为假
D．“P∧Q”为真，“P∨Q”为假
解析：由题意可知，P假、Q真，所以P或Q为真，P且Q为假，非Q为假，非P为真，故选B.
答案：B
6．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∨q B．p∧q C．(綈p)∨(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解析：命题p为真，q为假，故綈p为假，綈q为真，故选C.
答案：C
7．由命题p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0组成的“p∨q”形式的命题为__________．
答案：正数或负数的平方大于0
8．p：＜0，q：x2－4x－5＜0，若p且q为假命题，则x的取值范围是________．
解析：p：x＜3，q：－1＜x＜5.
∵p∧q为假命题，∴p，q中至少有一个为假，∴x≥3或x≤－1.
答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)
9．下列命题中：
①命题“2是素数也是偶数”是“p∧q”命题；
②命题“(綈p)∧q”为真命题，则命题p是假命题；
③命题p：1,3,5都是奇数，则綈p：1,3,5不都是奇数；
④命题p：方程x2＝1的根为x＝1，q：方程x2＝1的根为x＝－1，则命题p，q组成的“p∨q”形式的命题为“方程x2＝1的根为x＝1或x＝－1”．
其中真命题序号为__________．
解析：①②③为真命题，④中p，q都为假，而命题“方程x2＝1的根为x＝1或x＝－1”为真，∴④为假命题．
答案：①②③
10．写出下列命题的否定及否命题．
(1)若m2＋n2＋x2＋y2＝0，则实数m、n、x、y全为零．
(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
(3)若x2－x－2≠0，则x≠－1且x≠2.
(4)a，b∈N，若a·b可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除．
解：(1)命题的否定：若m2＋n2＋x2＋y2＝0，则实数m、n、x、y不全为零．
否命题：若m2＋n2＋x2＋y2≠0，则实数m、n、x、y不全为零．
(2)命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0.
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.
(3)命题的否定：若x2－x－2≠0，则x＝－1或x＝2.
否命题：若x2－x－2＝0，则x＝－1或x＝2.
(4)命题的否定：a，b∈N，若a·b可被5整除，则a，b都不能被5整除．
否命题：a，b∈N，若a·b不能被5整除，则a，b都不能被5整除．
B组 能力提升
11．已知命题p：函数f(x)＝sin满足f(x＋π)＝f(x)，命题q：函数y＝23x＋1在R上为增函数，则命题“p∧q”“(綈p)∨q”“p∧(綈q)”为真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由已知p为真，q为真，∴“p∧q”为真，“(綈p)∨q”为真，“p∧(綈q)”为假，故选C.
答案：C
12．已知命题p：m＜0，命题q：x2＋mx＋1＞0对一切实数恒成立，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( )
A．m＜－2 B．m＞2
C．m＜－2或m＞2 D．－2＜m＜0
解析：由已知，p和q都是真命题，
∴∴－2＜m＜0.
答案：D
13．已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．
解：y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，故0＜a＜1.曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
又a＞0，∴0＜a＜或a＞.
∵p或q为真，∴p，q中至少有一个为真．
又∵p且q为假，∴p，q中至少有一个为假，
∴p，q中必定是一个为真一个为假．
①若p真，q假．即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于两不同点，则∴≤a＜1.
②若p假，q真．即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点，因此，∴a＞.
综上可知，实数a的取值范围为∪.
14．已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
解：设g(x)＝x2＋2ax＋4.由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，∴函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0.
∴－2＜a＜2，∴命题p：－2＜a＜2.
∵函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，
则有5－2a＞1，即a＜2，∴命题q：a＜2.
又由于p∨q为真，p∧q为假，可知p和q一真一假．
(1)若p真q假，则此不等式组无解．
(2)若p假q真，则∴a≤－2.
综上可知，所求实数a的取值范围是{a|a≤－2}．
15．已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．
解：命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，所以
即解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R，所以a＝0或
由于即解得0＜a＜4，所以0≤a＜4.
因为“p∨q”与“綈q”同时为真命题，
即p真且q假，所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1]．课时作业(五) 全称量词与存在量词
A组 基础巩固
1．下列命题中，不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
解析：D选项是特称命题．
答案：D
2．下列命题中，真命题是( )
A． m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数
B． m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数
C． m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D． m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：当m0＝0时，函数f(x)＝x2＋m0x是偶函数．
答案：A
3．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
解析：该命题为存在性命题，其否定为“对任意实数x，都有x≤1”．
答案：C
4．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )
A．对任意实数a，b，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．梯形的对角线不相等
C． x∈R，＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
解析：A是全称命题，且a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；
B中隐含量词“所有的”，是全称命题，但等腰梯形的对角线相等，是假命题；
C是特称命题；易知D是全称命题且是真命题．
答案：D
5．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p： x0∈A,2x0∈B
B．綈p： x0 A,2x0∈B
C．綈p： x0∈A,2x0 B
D．綈p： x A,2x B
解析：原命题的否定是 x0∈A,2x0 B.
答案：C
6．已知命题p： x∈R,2x＜3x；命题q： x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解析：由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，
∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，
∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．
∴ x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．
由此可知只有綈p∧q为真命题，故选B.
答案：B
7．命题“ x∈R，cosx≤1”的否定是__________．
解析：全称命题的否定是特称命题．
答案： x0∈R，cosx0＞1
8．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“ ”或“ ”符号表示为________．
答案： x∈R，x2＋2x＋1≥0
9．若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：对于任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
答案：(－∞，3]
10．判断下列命题是特称命题还是全称命题，用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性．
(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)存在实数x，使得＝2.
解：
(1)特称命题，否定： α∈R，sin2α＋cos2α＝1，真命题．
(2)全称命题，否定： 直线l，l没有斜率，真命题．
(3)特称命题，否定： x∈R，≠2，真命题．
B组 能力提升
11．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)
C．对任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D．对任意x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：由题知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此对任意x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，故选C.
答案：C
12．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a≤1
C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1
解析：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0.
当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，
得－1＜a＜1，故0＜a＜1，
综上所述，实数a的取值范围是a＜1.
答案：A
13．若x∈[－2,2]，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则问题转化为当x∈[－2,2]时，[f(x)]min≥0.
①当－＜－2，即a＞4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，[f(x)]min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，又a＞4，所以a不存在．
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
[f(x)]min＝f＝≥0，解得－6≤a≤2.
又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.
③当－＞2，即a＜－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，[f(x)]min＝f(2)＝7＋a≥0，
解得a≥－7，又a＜－4，所以－7≤a＜－4.
综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．
14．若关于x的方程 4x－(a＋1)2x＋9＝0有实数解，求实数a的取值范围．
解：令t＝2x，则t＞0，即将4x－(a＋1)2x＋9＝0有实数解转化为t2－(a＋1)t＋9＝0在(0，＋∞)上有实数解．
设f(t)＝t2－(a＋1)t＋9，
∵f(0)＝9＞0，∴有解得a≥5.
故所求的a的取值范围为a≥5.
15．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对 x1∈[－1,3]， x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．
解：因为x∈[－1,3]，所以f(x)∈[0,9]，
又因为对 x1∈[－1,3]， x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，
即 x∈[0,2]，g(x)≤0，即x－m≤0，
所以m≥x，m≥2，即m≥.