3.1 函数的概念及其表示——高一数学人教A版（2019）必修第一册课前导学（含答案）

3.1 函数的概念及其表示
——高一数学人教A版（2019）
必修第一册课前导学
一、新知自学
1.函数的概念：一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数，记作 ，.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合 叫做函数的值域.
2.一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且，则
集合 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
区间
区间
特殊区间的表示：
区间 数轴表示
3.相同函数：如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的 也相同，那么这两个函数是同一个函数.
4.函数的表示法
（1）解析法：用 表示两个变量之间的对应关系.
（2）列表法：列出 来表示两个变量之间的对应关系.
（3）图象法：用 表示两个变量之间的对应关系.
5.分段函数：已知函数，，如果 在不同的取值范围内，函数有着不同的 ，则称这样的函数为分段函数.
二、问题思考
1.如何判断两个函数和是不是同一函数？
2.求函数值域时有哪些常用方法呢？
3.如何理解分段函数？
三、练习检测
1.函数的定义域为( ).
A. B. C. D.
2.如图所示的函数的解析式为( ).
A.
B.
C.
D.
3.给出以下4个函数：
①；②；③；④.
其中值域为，且的函数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若函数的定义域与值域相同，则__________.
5.设若，则__________.
【答案及解析】
一、新知自学
1.非空的实数集 任意 唯一确定 定义域 函数值
2. 半开半闭 半开半闭
3.定义域 对应关系 函数值
4.数学表达式 表格 图象
5.自变量x 对应关系
二、问题思考
1.（1）先看定义域，若定义域不同，则两函数不同；
（2）再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数；
（3）若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数.
2.（1）观察法：对于一些比较简单的函数，可根据其解析式的结构特征通过直接观察得到值域.
（2）图象法：画出函数的图象，利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域.
（3）配方法：此方法是求“二次函数”值域的基本方法，即把函数式通过配方转化成能直接看出其值域的方法.
（4）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.
（5）换元法：对于一些无理函数，通过换元把它们转化为我们熟悉的函数，间接求出原函数的值域，注意换元后新元的取值范围.
3.（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数.
（2）处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值属于哪一个区间.
（3）分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.
（4）分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量在区间端点处的取值情况.
三、练习检测
1.答案：C
解析：由得.
2.答案：B
解析：将，代入检验即可.
3.答案：B
解析：①③满足要求.
4.答案：2
解析：由，得的定义域为.因为，所以，解得.
5.答案：4
解析：由得，于是.