*5 一元二次方程的根与系数的关系
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
1.若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根,则x1+x2的值是 ( )
A.-10 B.10 C.-16 D.16
2.设m,n是方程x2+x-2 022=0的两个实数根,则m2+2m+n的值为 ( )
A.2 020 B.2 021 C.2 022 D.2 023
3.已知m,n是方程x2+2x-3=0的两个实数根,则m+n-mn的值为 .
4.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(x1-x2)2.
(2).
知识点2 已知方程一根求另一根
5.已知关于x的方程x2-bx+3=0的一个根是1,另外一个根是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6.如果x=4是关于x的方程(x-3)(x-2)-p2=0的一个根,则另一个根是 ( )
A.x=2 B.x=3
C.x=1 D.与p有关,不能确定
7.关于x的一元二次方程2x2-kx+12=0的一个根x1=2,则方程的另一个根x2和k的值为 ( )
A.x2=3,k=10 B.x2=-3,k=-10
C.x2=3,k=-10 D.x2=-3,k=10
8.已知 ABCD的边AB,AD的长是关于x的一元二次方程x2-mx+4=0的两个实数根,若AB=,则另一边AD的长为 .
9.(2024·遵义绥阳县期末)已知关于x的方程:x2-4x-k=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)已知方程的一个根为x=5,求方程的另一个根.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.若关于x的一元二次方程x2-(a2-3a-10)x+a=0的两根互为相反数,则两根之积是 ( )
A.-2 B.5
C.-2或5 D.2或-5
11.(2024·黔东南州期中)已知m,n是一元二次方程x2-2x-1=0的两根,则+的值为
.
12.(2024·黔东南州期末)设a,b是一元二次方程3x2-2x-7=0的两根,则3a2-a+b= .
13.若关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的两根为x1,x2(x1≠x2).
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是一个矩形两条邻边长且矩形的对角线的长为,求k的值.
14.(素养提升题)关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-2k+3=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,存不存在这样的实数k,使得|x1|-|x2|= 若存在,求出这样的k值;若不存在,说明理由.
易错点1 求两根之和时漏掉负号
【案例1】已知m,n是方程x2-2x-5=0的两个不同的实数根,则m+n的值为 ( )
A.-2 B.2 C.-5 D.5
易错点2 运用根与系数的关系求系数时,忽略方程有实数根的前提条件
【案例2】已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两根x1,x2满足+=14,则m= . *5 一元二次方程的根与系数的关系
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
1.若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根,则x1+x2的值是 (A)
A.-10 B.10 C.-16 D.16
2.设m,n是方程x2+x-2 022=0的两个实数根,则m2+2m+n的值为 (B)
A.2 020 B.2 021 C.2 022 D.2 023
3.已知m,n是方程x2+2x-3=0的两个实数根,则m+n-mn的值为 1 .
4.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(x1-x2)2.
(2).
【解析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1·x2=-.
(1)(x1-x2)2=+-2x1x2=++2x1x2-4x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2-4×=10.
(2)=x1x2+1+1+
=+2+ =-.
知识点2 已知方程一根求另一根
5.已知关于x的方程x2-bx+3=0的一个根是1,另外一个根是 (B)
A.4 B.3 C.2 D.1
6.如果x=4是关于x的方程(x-3)(x-2)-p2=0的一个根,则另一个根是 (C)
A.x=2 B.x=3
C.x=1 D.与p有关,不能确定
7.关于x的一元二次方程2x2-kx+12=0的一个根x1=2,则方程的另一个根x2和k的值为 (A)
A.x2=3,k=10 B.x2=-3,k=-10
C.x2=3,k=-10 D.x2=-3,k=10
8.已知 ABCD的边AB,AD的长是关于x的一元二次方程x2-mx+4=0的两个实数根,若AB=,则另一边AD的长为.
9.(2024·遵义绥阳县期末)已知关于x的方程:x2-4x-k=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)已知方程的一个根为x=5,求方程的另一个根.
【解析】(1)∵关于x的方程x2-4x-k=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-k)>0,
解得k>-4,
∴k的取值范围是k>-4;
(2)设另一个根的值为a,根据根与系数的关系得:a+5=-=4,
解得a=-1,
即方程的另一个根为x=-1.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.若关于x的一元二次方程x2-(a2-3a-10)x+a=0的两根互为相反数,则两根之积是 (A)
A.-2 B.5
C.-2或5 D.2或-5
11.(2024·黔东南州期中)已知m,n是一元二次方程x2-2x-1=0的两根,则+的值为
-2 .
12.(2024·黔东南州期末)设a,b是一元二次方程3x2-2x-7=0的两根,则3a2-a+b=.
13.若关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的两根为x1,x2(x1≠x2).
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是一个矩形两条邻边长且矩形的对角线的长为,求k的值.
【解析】(1)根据题意得Δ=(-3)2-4k>0,
解得k<,
即k的取值范围为k<;
(2)根据根与系数的关系得x1+x2=3,
x1x2=k,
∵+=()2,
∴(x1+x2)2-2x1x2=7,
即32-2k=7,
解得k=1,而k<,
∴k的值为1.
14.(素养提升题)关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-2k+3=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,存不存在这样的实数k,使得|x1|-|x2|= 若存在,求出这样的k值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=[-(2k-1)]2-4(k2-2k+3)=4k-11>0,解得k>.
(2)存在.∵x1+x2=2k-1,x1x2=k2-2k+3=(k-1)2+2>0,
∴将|x1|-|x2|=两边平方可得-2x1x2+=5,即(x1+x2)2-4x1x2=5,
代入得(2k-1)2-4(k2-2k+3)=5,
4k-11=5,解得k=4.
易错点1 求两根之和时漏掉负号
【案例1】已知m,n是方程x2-2x-5=0的两个不同的实数根,则m+n的值为 (B)
A.-2 B.2 C.-5 D.5
易错点2 运用根与系数的关系求系数时,忽略方程有实数根的前提条件
【案例2】已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两根x1,x2满足+=14,则m= -2 .
