第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 一元二次方程的定义
1.(2024·贵阳期末)下列关于x的方程中,是一元二次方程的是 (B)
A.3x+2=0 B.x2-3x=0
C.x+3xy-1=0 D.-4=0
2.若方程□-3=x是关于x的一元二次方程,则“□”可以是 (C)
A.-2x B.22
C.2x2 D.y2
3.已知(m-2)x|m|+x=1是关于x的一元二次方程,则m的值是 -2 .
4.已知关于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x-2=0.
(1)当m为何值时,该方程为一元二次方程
(2)当m为何值时,该方程为一元一次方程
【解析】(1)∵关于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x-2=0为一元二次方程,
∴m2-1≠0,解得m≠±1,即当m≠±1时,方程为一元二次方程.
(2)∵关于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x-2=0为一元一次方程,
∴m2-1=0,且m-1≠0,解得m=-1,
即当m为-1时,方程为一元一次方程.
知识点2 一元二次方程的一般形式
5.一元二次方程x2-2x+1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 (B)
A.1,2,1 B.1,-2,1
C.0,-2,-1 D.0,-2,1
6.把一元二次方程2x2=3x-5化成一般形式是 2x2-3x+5=0 .
7.若关于x的一元二次方程x2-(4a2-1)x+1=0的一次项系数为0,则a的值为.
8.判断下列方程是不是一元二次方程,如果是,指出它们的各项系数和常数项:
(1)3y=4y(2-y);
(2)2a(a+5)=10;
(3)x2(3+x)+1=5x;
(4)3+2m2=2(2m-3).
【解析】(1)原方程整理,得:4y2-5y=0,是一元二次方程,二次项系数为4,一次项系数为-5,常数项为0;
(2)原方程整理,得:a2+5a-5=0,是一元二次方程;二次项系数为1,一次项系数为5,常数项为-5;
(3)原方程整理,得:x3+3x2-5x+1=0,不是一元二次方程;
(4)原方程整理,得:2m2-4m+9=0,是一元二次方程,二次项系数为2,一次项系数为-4,常数项为9.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.把方程(x-)(x+)+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是 (A)
A.5x2-4x-4=0 B.x2-5=0
C.5x2-2x+1=0 D.5x2-4x+6=0
10.若关于x的一元二次方程(a-2)x2+4x+a2-4=0的常数项为0,则a的值为 (B)
A.2 B.-2 C.±2 D.0
11.(教材再开发·P32第1题(1)强化)餐桌桌面是长100 cm、宽80 cm的长方形,妈妈设计了一块桌布,面积是桌面的2倍,且使四周垂下的边等宽,求桌布的长和宽各是多少.若设四周垂下的边宽为x cm,则所列方程为
(100+2x)(80+2x)=2×100×80 .
12.《九章算术》中有一题:“今有二人同立,甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会,问甲乙各行几何 ”大意是说:“甲、乙二人同从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.甲、乙各走了多少步 ”若设甲、乙两人相遇的时间为t,则可列方程是 102+(3t)2=(7t-10)2 .
13.设a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项,且满足(a-3)4++|a+b+c|=0,求满足条件的一元二次方程.
【解析】∵(a-3)4≥0,≥0,|a+b+c|≥0,(a-3)4++|a+b+c|=0,
∴a-3=0,b+2=0,a+b+c=0,
∴a=3,b=-2,c=-1,∴满足条件的一元二次方程是3x2-2x-1=0.
14.(素养提升题)阅读理解:
定义:如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与a2x2+b2x+c2=0(a2≠0,a2,b2,c2是常数),其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个方程互为“对称方程”.比如:求方程2x2-3x+1=0的“对称方程”,这样思考:由方程2x2-3x+1=0可知,a1=2,b1=-3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个方程的“对称方程”.
请用以上方法解决下面问题:
(1)填空:写出方程x2-4x+3=0的“对称方程”是____________ .
(2)若关于x的方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x=1互为“对称方程”,求(m+n)2的值.
【解析】(1)由题意得:方程x2-4x+3=0的“对称方程”是-x2-4x-3=0;
答案:-x2-4x-3=0
(2)由-5x2-x=1,
移项可得,-5x2-x-1=0,
∵方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x-1=0为对称方程,
∴m-1=-1,-n+(-1)=0,
解得m=0,n=-1,
∴(m+n)2=(0-1)2=1.
答:(m+n)2的值是1.
易错点 忽略一元二次方程的二次项系数不为零的条件
【案例】若方程(a-1)x|a|+1+2x-8=0是关于x的一元二次方程,则a的值是 -1 . 第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 一元二次方程的定义
1.(2024·贵阳期末)下列关于x的方程中,是一元二次方程的是 ( )
A.3x+2=0 B.x2-3x=0
C.x+3xy-1=0 D.-4=0
2.若方程□-3=x是关于x的一元二次方程,则“□”可以是 ( )
A.-2x B.22
C.2x2 D.y2
3.已知(m-2)x|m|+x=1是关于x的一元二次方程,则m的值是 .
4.已知关于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x-2=0.
(1)当m为何值时,该方程为一元二次方程
(2)当m为何值时,该方程为一元一次方程
知识点2 一元二次方程的一般形式
5.一元二次方程x2-2x+1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 ( )
A.1,2,1 B.1,-2,1
C.0,-2,-1 D.0,-2,1
6.把一元二次方程2x2=3x-5化成一般形式是 .
7.若关于x的一元二次方程x2-(4a2-1)x+1=0的一次项系数为0,则a的值为 .
8.判断下列方程是不是一元二次方程,如果是,指出它们的各项系数和常数项:
(1)3y=4y(2-y);
(2)2a(a+5)=10;
(3)x2(3+x)+1=5x;
(4)3+2m2=2(2m-3).
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.把方程(x-)(x+)+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是 ( )
A.5x2-4x-4=0 B.x2-5=0
C.5x2-2x+1=0 D.5x2-4x+6=0
10.若关于x的一元二次方程(a-2)x2+4x+a2-4=0的常数项为0,则a的值为 ( )
A.2 B.-2 C.±2 D.0
11.(教材再开发·P32第1题(1)强化)餐桌桌面是长100 cm、宽80 cm的长方形,妈妈设计了一块桌布,面积是桌面的2倍,且使四周垂下的边等宽,求桌布的长和宽各是多少.若设四周垂下的边宽为x cm,则所列方程为
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12.《九章算术》中有一题:“今有二人同立,甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会,问甲乙各行几何 ”大意是说:“甲、乙二人同从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.甲、乙各走了多少步 ”若设甲、乙两人相遇的时间为t,则可列方程是 .
13.设a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项,且满足(a-3)4++|a+b+c|=0,求满足条件的一元二次方程.
14.(素养提升题)阅读理解:
定义:如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与a2x2+b2x+c2=0(a2≠0,a2,b2,c2是常数),其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个方程互为“对称方程”.比如:求方程2x2-3x+1=0的“对称方程”,这样思考:由方程2x2-3x+1=0可知,a1=2,b1=-3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个方程的“对称方程”.
请用以上方法解决下面问题:
(1)填空:写出方程x2-4x+3=0的“对称方程”是____________ .
(2)若关于x的方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x=1互为“对称方程”,求(m+n)2的值.
易错点 忽略一元二次方程的二次项系数不为零的条件
【案例】若方程(a-1)x|a|+1+2x-8=0是关于x的一元二次方程,则a的值是 .
