4 用因式分解法求解一元二次方程
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 因式分解法解一元二次方程
1.(2024·六盘水盘州市期中)方程x2-2x=0的根是 (C)
A.x1=x2=0 B.x1=x2=2
C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2
2.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是 (B)
A.(x-2)(x+5)=2 B.(x-2)2=x-2
C.x2+5x-2=0 D.12(2-x)2=3
3.方程(x-3)(2x-4)=0的根是 x1=3,x2=2 .
4.用因式分解法解下列方程:
(1)4x2-121=0;
(2)2(x-3)2=x(x-3);
(3)x2+16=8x.
【解析】(1)4x2-121=0,
∴(2x)2-112=0,
∴2x-11=0或2x+11=0,
∴x1=5.5,x2=-5.5.
(2)移项,得2(x-3)2-x(x-3)=0,
整理,得(x-3)(2x-6-x)=0,
即(x-3)(x-6)=0,
∴x-3=0或x-6=0,解得x1=3,x2=6.
(3)移项,得x2-8x+16=0,将方程的左边分解因式,得(x-4)2=0,∴x1=x2=4.
5.(2024·六盘水期中)嘉嘉与淇淇两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下.
嘉嘉:两边同时除以(x-3),得3=x-3, 解得x=6.
淇淇:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0, 提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0, 则x-3=0或3-x-3=0, 解得x1=3,x2=0.
(1)嘉嘉的解法________ ,淇淇的解法________ .(填“正确”或“不正确”)
(2)请你给出正确的解法,并结合你的经验提出一条解题注意事项.
【解析】(1)嘉嘉的解法不正确,淇淇的解法不正确;
答案:不正确 不正确
(2)正确的解法是:3(x-3)=(x-3)2,
移项,得3(x-3)-(x-3)2=0,
提取公因式,得(x-3)(3-x+3)=0,
则x-3=0或3-x+3=0,
解得x1=3,x2=6,
在利用因式分解法解一元二次方程时,注意把方程一边的多项式正确因式分解.
知识点2 因式分解法解一元二次方程的应用
6.菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的周长为(C)
A.12 B.14 C.16 D.24
7.关于x的方程x2-4x-5=0与=有一个解相同,则m= -3 .
8.已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2-11x+30=0的一个根,求三角形的面积.
【解析】解方程x2-11x+30=0得x1=5,x2=6,
当腰长为5时,三角形三边长度为5,5,8,此时底边上的高为3,
所以等腰三角形的面积为×8×3=12;
当腰长为6时,三角形三边长度为6,6,8,此时底边上的高为2,
所以等腰三角形的面积为×8×2=8.
综上,三角形的面积为12或8.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.小李解方程x2-3x+2=0的步骤如图所示,则下列说法正确的是 (B)
解方程:x2-3x+2=0.
解:x2-2x-x+2=0,①
x2-2x=x-2,②
x(x-2)=x-2,③
x=1.④
A.小李解方程的过程正确
B.x=2也是该方程的一个解
C.小李解方程的方法是配方法
D.解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误
10.已知代数式3-x与-x2+3x的值互为相反数,则x的值是 (A)
A.-1或3 B.1或-3
C.1或3 D.-1和-3
11.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2-b2,根据这个规则,方程(x+2)*5=0的解为 x=3或x=-7 .
12.一元二次方程x2-4x-12=0的两根分别是一次函数y=kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标,则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是
6 .
13.(素养提升题)阅读下面的例题与解答过程:
例.解方程x2-|x|-2=0.
解:原方程可化为|x|2-|x|-2=0.
设|x|=y,则y2-y-2=0.
解得y1=2,y2=-1.
当y=2时,|x|=2,∴x=±2;
当y=-1时,|x|=-1,∴无实数解.
∴原方程的解是x1=2,x2=-2.
在上面的解答过程中,我们把|x|看成一个整体,用字母y代替(即换元),使得问题简单化、明朗化,解答过程更清晰.这是解决数学问题中的一种重要方法——换元法.请你仿照上述例题的解答过程,利用换元法解下列方程:
(1)x2-2|x|=0;
(2)x2-2x-4|x-1|+5=0.
【解析】(1)原方程可化为|x|2-2|x|=0,
设|x|=y,则y2-2y=0.
解得y1=0,y2=2.
当y=0时,|x|=0,∴x=0;
当y=2时,∴x=±2;
∴原方程的解是x1=0,x2=-2,x3=2.
(2)原方程可化为|x-1|2-4|x-1|+4=0.
设|x-1|=y,则y2-4y+4=0,
解得y1=y2=2.
即|x-1|=2,∴x=-1或x=3.
∴原方程的解是x1=-1,x2=3.
易错点1 用因式分解法解一元二次方程时忽略等号右边应为0
【案例1】解方程(x-1)(x-3)=8.
【解析】∵(x-1)(x-3)=8,
∴x2-4x-5=0,
∴(x-5)(x+1)=0,
即x-5=0或x+1=0,
解得x1=5,x2=-1.
易错点2 应用因式分解法解一元二次方程出现丢根现象
【案例2】方程3x(x-1)=2(x-1)的根是 x1=1,x2= .
周末小练 适时巩固 请完成 “周周测(四)”4 用因式分解法求解一元二次方程
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 因式分解法解一元二次方程
1.(2024·六盘水盘州市期中)方程x2-2x=0的根是 ( )
A.x1=x2=0 B.x1=x2=2
C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2
2.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是 ( )
A.(x-2)(x+5)=2 B.(x-2)2=x-2
C.x2+5x-2=0 D.12(2-x)2=3
3.方程(x-3)(2x-4)=0的根是 .
4.用因式分解法解下列方程:
(1)4x2-121=0;
(2)2(x-3)2=x(x-3);
(3)x2+16=8x.
5.(2024·六盘水期中)嘉嘉与淇淇两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下.
嘉嘉:两边同时除以(x-3),得3=x-3, 解得x=6.
淇淇:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0, 提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0, 则x-3=0或3-x-3=0, 解得x1=3,x2=0.
(1)嘉嘉的解法________ ,淇淇的解法________ .(填“正确”或“不正确”)
(2)请你给出正确的解法,并结合你的经验提出一条解题注意事项.
知识点2 因式分解法解一元二次方程的应用
6.菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的周长为( )
A.12 B.14 C.16 D.24
7.关于x的方程x2-4x-5=0与=有一个解相同,则m= .
8.已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2-11x+30=0的一个根,求三角形的面积.
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9.小李解方程x2-3x+2=0的步骤如图所示,则下列说法正确的是 ( )
解方程:x2-3x+2=0.
解:x2-2x-x+2=0,①
x2-2x=x-2,②
x(x-2)=x-2,③
x=1.④
A.小李解方程的过程正确
B.x=2也是该方程的一个解
C.小李解方程的方法是配方法
D.解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误
10.已知代数式3-x与-x2+3x的值互为相反数,则x的值是 ( )
A.-1或3 B.1或-3
C.1或3 D.-1和-3
11.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2-b2,根据这个规则,方程(x+2)*5=0的解为 .
12.一元二次方程x2-4x-12=0的两根分别是一次函数y=kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标,则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是
.
13.(素养提升题)阅读下面的例题与解答过程:
例.解方程x2-|x|-2=0.
解:原方程可化为|x|2-|x|-2=0.
设|x|=y,则y2-y-2=0.
解得y1=2,y2=-1.
当y=2时,|x|=2,∴x=±2;
当y=-1时,|x|=-1,∴无实数解.
∴原方程的解是x1=2,x2=-2.
在上面的解答过程中,我们把|x|看成一个整体,用字母y代替(即换元),使得问题简单化、明朗化,解答过程更清晰.这是解决数学问题中的一种重要方法——换元法.请你仿照上述例题的解答过程,利用换元法解下列方程:
(1)x2-2|x|=0;
(2)x2-2x-4|x-1|+5=0.
易错点1 用因式分解法解一元二次方程时忽略等号右边应为0
【案例1】解方程(x-1)(x-3)=8.
易错点2 应用因式分解法解一元二次方程出现丢根现象
【案例2】方程3x(x-1)=2(x-1)的根是 .
