6 应用一元二次方程
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 一元二次方程在解几何动点问题中的应用
1.如图,将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C',若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2,则它移动的距离AA'等于(B)
A.0.5 cm B.1 cm C.1.5 cm D.2 cm
2.如图,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,点P从点A出发沿AB以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿
CD以2 cm/s的速度向点D移动.设运动时间为t s,当PQ=10 cm时,t= (C)
A. B.或4
C.或 D.4
知识点2 列一元二次方程解决传播类问题
3.春季,某种流行性感冒病毒传播速度非常快,如果一个人被感染,经过两轮传染后就会有81人被感染,若设每轮传染中平均每人可以传染x人,则根据题意,可列方程为 (D)
A.x2=81 B.x+x2=81
C.x(1+x)=81 D.(1+x)2=81
4.一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手.有人统计一共握了66次手,这次会议到会的人数为 (C)
A.8 B.10 C.12 D.14
5.中秋节当天,小明将收到的一条短信发送给若干人,每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信,此时包括小明在内收到这条短信的人共有111人,则小明给 10 人发了短信.
6.在一次聚会上,规定每两个人见面必须握1次手.
(1)若参加聚会的人数为6,则共握手____ 次,若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手____ 次;
(2)若参加聚会的人共握手36次,请求出参加聚会的人数;
(3)小明由握手问题想到了一个数学问题:若线段AB上共有m个点(不含端点A,B),线段总数为多少呢 请直接写出结论.
【解析】(1)若参加聚会的人数为6,则共握手×6×5=15(次),若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手n(n-1)(次).
(2)设参加聚会的人数为n,依题意得:n(n-1)=36,整理得:n2-n-72=0,
解得:n1=9,n2=-8(不合题意,舍去).
答:参加聚会的人数为9人;
(3)线段总数为(m+2)(m+1)(条).
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.如图所示,AC是一根垂直于地面的木杆,B是木杆上的一点,且AB=2 m,D是地面上一点,AD=3 m.在B处有甲、乙两只猴子,D处有一堆食物.甲猴由B往下爬到A处再从地面直奔D处,乙猴则向上爬到木杆顶C处腾空直扑到D处,如果两猴所经过的距离相等,则木杆的长为 (B)
A. m B.2 m
C.3 m D.5 m
8.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是57个,则这种植物每个支干长出的小分支的个数是 (B)
A.8 B.7 C.6 D.5
9.两个相邻偶数的积是48,这两个偶数的和为 -14或14 .
10.在2023江西省县域社会足球比赛中,高安市代表队晋级12月16日至21日在瑞金举行的第三阶段总决赛.总决赛分成四个小组,每个小组球队数一样,小组内进行单循环赛(即小组内每两队之间都比赛一场).若小组赛一共进行了12场比赛,则共有 12 支球队参加了总决赛.
11.如图所示,在Rt△ABC中.∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积为4 cm2.
(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于5 cm.
(3)在(1)中△PBQ的面积能否等于7 cm2 说明理由.
【解析】(1)设x秒后,△PBQ的面积为4 cm2,此时AP=x cm,BP=(5-x)cm,BQ=
2x cm,
由BP×BQ=4,得(5-x)×2x=4,
整理得:x2-5x+4=0,
解得x=1或x=4.
当x=4时,2x=8>7,说明此时点Q越过点C,不合要求,舍去.
即1秒后△PBQ的面积为4 cm2.
(2)(3)见全解全析
易错点1 忽视实际意义而致错
【案例1】有一只鸡患了禽流感,经过两轮传染后共有625只鸡患了禽流感,每轮传染中平均一只鸡传染____只鸡. (B)
A.22 B.24 C.25 D.26
易错点2 对题目分析不彻底,出现丢解现象
【案例2】如图所示,在矩形ABCD中,AB=5 cm,AD=3 cm,G为边AB上一点,GB=
1 cm,动点E,F同时从点D出发,点F沿射线DG-GB-BC运动到点C时停止,点E沿DC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1 cm/s,若E,F同时运动t s时,△DEF的面积为5 cm2,则t的值为 或7 . 6 应用一元二次方程
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 列一元二次方程解决利润问题
1.(生活情境题)超市经销一种水果,每千克盈利10元,每天销售500千克,经市场调查,若每千克涨价1元,日销售量减少20千克,现超市要保证每天盈利6 000元,每千克应涨价 (D)
A.15元或20元
B.10元或15元
C.10元
D.5元或10元
2.某商品进价每件30元,有一段时间若以每件x元卖出,则可卖(100-x)件,商场计划要赚1 200元,同时又让顾客得到实惠,则该商品的售价x= 60 元.
3.(2024·铜仁石阡县质检)某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出,平均每天可售30件,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现:每件降价1元,则每天可多售5件,如果每天要盈利800元,每件应降价 10 元.
4.2023年杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”,吉祥物一开售,就深受大家的喜爱.某商家销售吉祥物进价为15元,促销前销售单价为25元,平均每天能售出80件根据市场调查,销售单价每降低1元,平均每天可多售出40件.
(1)若每件商品降价x元,则商店每天的平均销量是________ 件(用含x的代数式表示);
(2)不考虑其他因素的影响,若商店平均每天至少要销售该商品200件,平均每天的利润达到1 280元,每件商品的定价应为多少元
【解析】(1)80+x×40=80+40x(件).
答案:(80+40x)
(2)设每件商品的定价为x元,
则每件商品的销售利润为(x-15)元,平均每天能售出[80+40(25-x)]=(1 080-40x)件,
依题意得:(x-15)(1 080-40x)=1 280,
整理得:x2-42x+437=0,
解得x1=19,x2=23.
当x1=23时,
1 080-40×23=160<200,舍去.
答:每件商品的定价应为19元.
知识点2 列一元二次方程解决增长率、下降率问题
5.(2024·贵阳质检)为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元,则平均每次降价的百分率为 (B)
A.5% B.10%
C.19% D.81%
6.某农户1月份购买了100只兔子进行养殖,经过两个月后,农户养殖的兔子数量增长至169只,若兔子的月平均增长率都相同,则开始养殖一个月后,农户养殖的兔子数量为 130 只.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.政府报告中,明确了要稳地价、稳房价、稳预期.为响应中央“房住不炒”的基本政策,某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减少了19%,则平均每次降价的百分率为(B)
A.9.5% B.10% C.10.5% D.11%
8.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价.据市场调查,该商品的售价与销售量的关系是:若每件售价a元,则可卖出(320-10a)件,但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%,如果商店计划要获利400元.则每件商品的售价应定为 (A)
A.22元 B.24元 C.26元 D.28元
9.青年旅行社为吸引游客组团去“黄果树—龙宫—织金洞”一线旅游,推出了如下收费标准(如图所示):
某单位组织员工去“黄果树—龙宫—织金洞”一线旅游,共支付给旅行社旅游费用27 000元,请问:该单位这次共有多少名员工去旅游
【解析】∵1 000×25=25 000<27 000,
∴旅游的人数超过25人.
设该单位去旅游人数为x人,
则人均费用为1 000-20(x-25)元,
依题意,得:x[1 000-20(x-25)]=27 000,
整理,得:x2-75x+1 350=0,
解得x1=45,x2=30.
当x=45时,人均旅游费用为1 000-20(x-25)=600<700,不符合题意,应舍去;
当x=30时,人均旅游费用为1 000-20(x-25)=900>700,符合题意.
答:该单位这次共有30名员工去旅游.
10.某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果,原计划以每千克100元的价格销售,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)商贸公司要想获利5 250元,则这种干果每千克应降价多少元
【解析】(1)设一次函数表达式为:y=kx+b,
当x=2时,y=120;当x=4时,y=140,
∴,
解得,
∴y与x之间的函数表达式为y=10x+100;
(2)根据题意得,(100-60-x)(10x+100)=5 250,整理得x2-30x+125=0,
解得x1=5,x2=25,
答:商贸公司要想获利5 250元,则这种干果每千克应降价5元或25元.
周末小练 适时巩固 请完成 “周周测(五)”6 应用一元二次方程
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 一元二次方程在解几何动点问题中的应用
1.如图,将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C',若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2,则它移动的距离AA'等于( )
A.0.5 cm B.1 cm C.1.5 cm D.2 cm
2.如图,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,点P从点A出发沿AB以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿
CD以2 cm/s的速度向点D移动.设运动时间为t s,当PQ=10 cm时,t= ( )
A. B.或4
C.或 D.4
知识点2 列一元二次方程解决传播类问题
3.春季,某种流行性感冒病毒传播速度非常快,如果一个人被感染,经过两轮传染后就会有81人被感染,若设每轮传染中平均每人可以传染x人,则根据题意,可列方程为 ( )
A.x2=81 B.x+x2=81
C.x(1+x)=81 D.(1+x)2=81
4.一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手.有人统计一共握了66次手,这次会议到会的人数为 ( )
A.8 B.10 C.12 D.14
5.中秋节当天,小明将收到的一条短信发送给若干人,每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信,此时包括小明在内收到这条短信的人共有111人,则小明给 人发了短信.
6.在一次聚会上,规定每两个人见面必须握1次手.
(1)若参加聚会的人数为6,则共握手____ 次,若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手____ 次;
(2)若参加聚会的人共握手36次,请求出参加聚会的人数;
(3)小明由握手问题想到了一个数学问题:若线段AB上共有m个点(不含端点A,B),线段总数为多少呢 请直接写出结论.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.如图所示,AC是一根垂直于地面的木杆,B是木杆上的一点,且AB=2 m,D是地面上一点,AD=3 m.在B处有甲、乙两只猴子,D处有一堆食物.甲猴由B往下爬到A处再从地面直奔D处,乙猴则向上爬到木杆顶C处腾空直扑到D处,如果两猴所经过的距离相等,则木杆的长为 ( )
A. m B.2 m
C.3 m D.5 m
8.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是57个,则这种植物每个支干长出的小分支的个数是 ( )
A.8 B.7 C.6 D.5
9.两个相邻偶数的积是48,这两个偶数的和为 .
10.在2023江西省县域社会足球比赛中,高安市代表队晋级12月16日至21日在瑞金举行的第三阶段总决赛.总决赛分成四个小组,每个小组球队数一样,小组内进行单循环赛(即小组内每两队之间都比赛一场).若小组赛一共进行了12场比赛,则共有 支球队参加了总决赛.
11.如图所示,在Rt△ABC中.∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积为4 cm2.
(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于5 cm.
(3)在(1)中△PBQ的面积能否等于7 cm2 说明理由.
易错点1 忽视实际意义而致错
【案例1】有一只鸡患了禽流感,经过两轮传染后共有625只鸡患了禽流感,每轮传染中平均一只鸡传染____只鸡. ( )
A.22 B.24 C.25 D.26
易错点2 对题目分析不彻底,出现丢解现象
【案例2】如图所示,在矩形ABCD中,AB=5 cm,AD=3 cm,G为边AB上一点,GB=
1 cm,动点E,F同时从点D出发,点F沿射线DG-GB-BC运动到点C时停止,点E沿DC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1 cm/s,若E,F同时运动t s时,△DEF的面积为5 cm2,则t的值为 . 6 应用一元二次方程
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 列一元二次方程解决利润问题
1.(生活情境题)超市经销一种水果,每千克盈利10元,每天销售500千克,经市场调查,若每千克涨价1元,日销售量减少20千克,现超市要保证每天盈利6 000元,每千克应涨价 ( )
A.15元或20元
B.10元或15元
C.10元
D.5元或10元
2.某商品进价每件30元,有一段时间若以每件x元卖出,则可卖(100-x)件,商场计划要赚1 200元,同时又让顾客得到实惠,则该商品的售价x= 元.
3.(2024·铜仁石阡县质检)某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出,平均每天可售30件,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现:每件降价1元,则每天可多售5件,如果每天要盈利800元,每件应降价 元.
4.2023年杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”,吉祥物一开售,就深受大家的喜爱.某商家销售吉祥物进价为15元,促销前销售单价为25元,平均每天能售出80件根据市场调查,销售单价每降低1元,平均每天可多售出40件.
(1)若每件商品降价x元,则商店每天的平均销量是________ 件(用含x的代数式表示);
(2)不考虑其他因素的影响,若商店平均每天至少要销售该商品200件,平均每天的利润达到1 280元,每件商品的定价应为多少元
知识点2 列一元二次方程解决增长率、下降率问题
5.(2024·贵阳质检)为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元,则平均每次降价的百分率为 ( )
A.5% B.10%
C.19% D.81%
6.某农户1月份购买了100只兔子进行养殖,经过两个月后,农户养殖的兔子数量增长至169只,若兔子的月平均增长率都相同,则开始养殖一个月后,农户养殖的兔子数量为 只.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.政府报告中,明确了要稳地价、稳房价、稳预期.为响应中央“房住不炒”的基本政策,某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减少了19%,则平均每次降价的百分率为( )
A.9.5% B.10% C.10.5% D.11%
8.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价.据市场调查,该商品的售价与销售量的关系是:若每件售价a元,则可卖出(320-10a)件,但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%,如果商店计划要获利400元.则每件商品的售价应定为 ( )
A.22元 B.24元 C.26元 D.28元
9.青年旅行社为吸引游客组团去“黄果树—龙宫—织金洞”一线旅游,推出了如下收费标准(如图所示):
某单位组织员工去“黄果树—龙宫—织金洞”一线旅游,共支付给旅行社旅游费用27 000元,请问:该单位这次共有多少名员工去旅游
10.某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果,原计划以每千克100元的价格销售,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)商贸公司要想获利5 250元,则这种干果每千克应降价多少元
