4 探索三角形相似的条件
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
1.已知△ABC的三边长分别为1,,,△DEF的三边长分别为,,,则△ABC与△DEF (A)
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.无法判定是否相似
2. (教材再开发·P95T1强化)如图,已知△ABC与△DEF相似,它们的相似比为1∶2,则下列图形中,满足上述条件的△DEF是 (D)
3.如图,在四边形ABCD中,点E是对角线AC上一点,且==.
(1)若∠DAE=22°,求∠BAD的度数;
(2)判断△ADE与△ACB是否相似,并说明理由.
【解析】(1)∵==,
∴△ABE∽△ACD,
∴∠DAE=∠BAE=22°,
∴∠BAD=44°;
(2)△ADE∽△ACB,理由如下:
∵=,∴=,
又∵∠DAC=∠BAE,∴△ADE∽△ACB.
知识点2 黄金分割
4. (教材再开发·P98T1变式)某校音乐社团购买了一种乐器,如图.乐器上的一根弦AB=60 cm,两个端点A,B固定在乐器板面上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则C,D之间的距离为 (D)
A.(30-30)cm B.(60-30)cm
C.(100-30)cm D.(60-120)cm
5.点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,下列说法正确的有 (C)
①AC=AB,②AC=AB,③AB∶AC=AC∶BC,④AC≈0.618AB.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
综合能力练巩固提升 迁移运用
6.如图,△ABC在正方形网格中,下列正方形网格中的阴影图形与△ABC相似的是 (C)
7.如图,在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF,则∠ABC+∠ACB的度数为 (D)
A.135° B.90° C.60° D.45°
8.如图1,在△ABC和△A'B'C'中,D,D'分别是AB,A'B'上的一点,=.
(1)当==时,求证△ABC∽△A'B'C'.
证明途径可用框图2表示,请填写其中的空格.
(2)当==时,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.
【解析】(1)∵=,∴=,
∵==,
∴==,
∴△ADC∽△A'D'C',∴∠A=∠A',
∵=,∴△ABC∽△A'B'C'.
答案:== ∠A=∠A'
(2)△ABC与△A'B'C'相似,理由如下:
∵=,
∴=,
即=,∴=,
又==,
∴==,
∴△BDC∽△B'D'C',
∴∠DBC=∠D'B'C',
又=,
∴△ABC∽△A'B'C'.
9.(素养提升题)我们知道:如图①,点B把线段AC分成两部分,如果=,那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为.
(1)在图①中,若AC=20 cm,则AB的长为________cm;
(2)如图②,用边长为20 cm的正方形纸片进行如下操作:对折正方形ABCD得折痕EF,连接CE,将CB折叠到CE上,点B对应点H,得折痕CG.试说明:G是AB的黄金分割点.
【解析】(1)∵点B为线段AC的黄金分割点,AC=20 cm,
∴AB=×20=(10-10)cm.
答案:(10-10)
(2)见全解全析
易错点 对黄金分割的概念理解不清致错
【案例】线段AB为80 cm,点C为线段AB的黄金分割点,线段AC的长度为
40(-1)cm或40(3-)cm . 4 探索三角形相似的条件
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 相似三角形的定义
1.下列两个三角形不一定相似的是 (C)
A.两个等边三角形
B.两个全等三角形
C.两个直角三角形
D.有一个角为100°的两个等腰三角形
知识点2 两角分别相等的两个三角形相似
2.(概念运用题)如图,在△ABC中,∠B=70°,AB=4,BC=6,将△ABC沿图示中的虚线DE剪开,剪下的三角形与原三角形不相似的是 (C)
3.如图,在平行四边形ABCD中,点N在BC上,连接DN,点M在DN上,连接AM,且∠AMN=∠B.
求证:△ADM∽△DNC.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠B+∠C=180°,∠ADM=∠DNC,
∵∠AMN+∠AMD=180°,∠AMN=∠B,
∴∠B+∠AMD=180°,
∴∠AMD=∠C,
∴△ADM∽△DNC.
知识点3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
4.如图,AD,BC相交于点O,由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是 (D)
A.AB∥CD B.∠A=∠D
C.= D.=
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AB的中点,点E是线段AC上的动点,BC=4,AB=8,当△ABC和△AED相似时,AE的长为.
6.如图,D是△ABC的边AB上的一点,BD=,AB=3,BC=2.
求证:△BCD∽△BAC.
【证明】∵BD=,AB=3,BC=2,
∴==,=,∴=,
又∵∠DBC=∠CBA,
∴△BCD∽△BAC.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.(概念应用题)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE与BC不平行,那么下列条件中,不能判断△ADE∽△ACB的是 (C)
A.∠ADE=∠C B.∠AED=∠B
C.= D.=
8.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点P在边AC上,过P画直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,这样的直线最多可画 (C)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
9.在平面直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为 (-1,0)或者(1,0) 时,使得△BOC与△AOB相似而不全等.
10.如图,已知∠A=∠BCD=∠E=60°.
求证:△ABC∽△ECD.
【证明】∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°,∠BCD=60°,
∴∠ACB+∠DCE=120°,
∵∠A+∠ACB+∠B=180°,∠A=60°,
∴∠ACB+∠B=120°,
∴∠DCE=∠B,
又∵∠A=∠E,∴△ABC∽△ECD.
11.(素养提升题)问题背景 如图(1),已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE;
尝试应用 如图(2),在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,=,求的值;
拓展创新 如图(3),D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB=4,AC=2,直接写出AD的长.
【解析】问题背景
证明:∵△ABC∽△ADE,
∴=,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,=,
∴△ABD∽△ACE;
尝试应用 如图1,连接EC,
∵∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,∴△ABC∽△ADE,
由(1)知△ABD∽△ACE,
∴==,∠ACE=∠ABD=∠ADE,
在Rt△ADE中,∠ADE=30°,∴=,
∴=×=×=3.
∵∠ADF=∠ECF,∠AFD=∠EFC,
∴△ADF∽△ECF,∴==3.
拓展创新
见全解全析4 探索三角形相似的条件
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 相似三角形的定义
1.下列两个三角形不一定相似的是 ( )
A.两个等边三角形
B.两个全等三角形
C.两个直角三角形
D.有一个角为100°的两个等腰三角形
知识点2 两角分别相等的两个三角形相似
2.(概念运用题)如图,在△ABC中,∠B=70°,AB=4,BC=6,将△ABC沿图示中的虚线DE剪开,剪下的三角形与原三角形不相似的是 ( )
3.如图,在平行四边形ABCD中,点N在BC上,连接DN,点M在DN上,连接AM,且∠AMN=∠B.
求证:△ADM∽△DNC.
知识点3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
4.如图,AD,BC相交于点O,由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是 ( )
A.AB∥CD B.∠A=∠D
C.= D.=
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AB的中点,点E是线段AC上的动点,BC=4,AB=8,当△ABC和△AED相似时,AE的长为.
6.如图,D是△ABC的边AB上的一点,BD=,AB=3,BC=2.
求证:△BCD∽△BAC.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.(概念应用题)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE与BC不平行,那么下列条件中,不能判断△ADE∽△ACB的是 ( )
A.∠ADE=∠C B.∠AED=∠B
C.= D.=
8.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点P在边AC上,过P画直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,这样的直线最多可画 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
9.在平面直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为 时,使得△BOC与△AOB相似而不全等.
10.如图,已知∠A=∠BCD=∠E=60°.
求证:△ABC∽△ECD.
11.(素养提升题)问题背景 如图(1),已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE;
尝试应用 如图(2),在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,=,求的值;
拓展创新 如图(3),D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB=4,AC=2,直接写出AD的长.4 探索三角形相似的条件
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
1.已知△ABC的三边长分别为1,,,△DEF的三边长分别为,,,则△ABC与△DEF ( )
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.无法判定是否相似
2. (教材再开发·P95T1强化)如图,已知△ABC与△DEF相似,它们的相似比为1∶2,则下列图形中,满足上述条件的△DEF是 ( )
3.如图,在四边形ABCD中,点E是对角线AC上一点,且==.
(1)若∠DAE=22°,求∠BAD的度数;
(2)判断△ADE与△ACB是否相似,并说明理由.
知识点2 黄金分割
4. (教材再开发·P98T1变式)某校音乐社团购买了一种乐器,如图.乐器上的一根弦AB=60 cm,两个端点A,B固定在乐器板面上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则C,D之间的距离为 ( )
A.(30-30)cm B.(60-30)cm
C.(100-30)cm D.(60-120)cm
5.点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,下列说法正确的有 ( )
①AC=AB,②AC=AB,③AB∶AC=AC∶BC,④AC≈0.618AB.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
综合能力练巩固提升 迁移运用
6.如图,△ABC在正方形网格中,下列正方形网格中的阴影图形与△ABC相似的是 ( )
7.如图,在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF,则∠ABC+∠ACB的度数为 ( )
A.135° B.90° C.60° D.45°
8.如图1,在△ABC和△A'B'C'中,D,D'分别是AB,A'B'上的一点,=.
(1)当==时,求证△ABC∽△A'B'C'.
证明途径可用框图2表示,请填写其中的空格.
(2)当==时,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.
9.(素养提升题)我们知道:如图①,点B把线段AC分成两部分,如果=,那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为.
(1)在图①中,若AC=20 cm,则AB的长为________cm;
(2)如图②,用边长为20 cm的正方形纸片进行如下操作:对折正方形ABCD得折痕EF,连接CE,将CB折叠到CE上,点B对应点H,得折痕CG.试说明:G是AB的黄金分割点.
易错点 对黄金分割的概念理解不清致错
【案例】线段AB为80 cm,点C为线段AB的黄金分割点,线段AC的长度为
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