1 菱形的性质与判定
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点 菱形的判定方法
1. (2024·六盘水水城区期中)如图所示,已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC翻转,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是 (B)
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2.(2024·贵阳质检)下列平行四边形中,根据图中所标出的数据,不一定是菱形的是 (C)
3.在长方形ABCD中,AB=1,BG,DH分别平分∠ABC,∠ADC,交AD,BC于点G,H.要使四边形BHDG为菱形,则AD的长为.
4.小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形”,并将自己的证明过程与同学小洁交流.若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.
小惠: 证明: ∵AC⊥BD,OB=OD, ∴AC垂直平分BD, ∴AB=AD,CB=CD, ∴四边形ABCD是菱形. 小洁:这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.
【解析】赞成小洁的说法,补充一个条件为OA=OC,证明如下:
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.(补充条件不唯一)
5.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.
(1)求证:∠BAC=∠DAC.
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形.
【证明】(1)∵在△ABC和△ADC中,
,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC;
(2)见全解全析
综合能力练巩固提升 迁移运用
6.如图所示,D,E,F分别是△ABC三边的中点,添加下列条件后,不能得到四边形DBFE是菱形的是 (D)
A.AB=BC B.BE平分∠ABC
C.BE⊥AC D.AB=AC
7.如图,剪两张对边平行的纸条,纸条宽度相等,随意交叉叠放在一起,重合的部分构成了一个四边形,这个四边形是 菱形 .
8.(易错警示题)在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-1,m),B(-4,0),C(1,0),D(a,m),且m>0,若以点A,B,C,D为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为 (4,4)或(-6,) .
9.如图,在 ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,∠AND=90°,连接CM交DN于点O.
(1)求证:△ABN≌△CDM;
(2)连接MN,求证:四边形MNCD是菱形.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠CDM,
∵M,N分别是AD,BC的中点,∴BN=DM,
∵在△ABN和△CDM中,
,
∴△ABN≌△CDM(SAS);
(2)见全解全析
10.(素养提升题)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t s(0(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗 如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由.
【解析】(1)由题意得:AE=2t,CD=4t,
∵DF⊥BC,∴∠CFD=90°,
∵∠C=30°,∴DF=CD=×4t=2t,
∴AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形,理由是:
由(1)得AE=DF,
∵∠DFC=∠B=90°,∴AE∥DF,
∴四边形AEFD为平行四边形,
若 AEFD为菱形,则AE=AD,
∵AC=60,CD=4t,∴AD=60-4t,
∴2t=60-4t,∴t=10,
∴当t=10时,四边形AEFD能够成为菱形.
模型 顺次连接对角线相等的任意四边形各边中点得到的图形是菱形.
如图,四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.若AC=BD,则四边形EFGH为菱形.第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 菱形的定义
1. 如图,若要使平行四边形ABCD成为菱形,则需要添加的条件是 ( )
A.AB=CD B.AD=BC
C.AB=BC D.AC=BD
2.如图,在 ABCD中,若∠1=∠2,则 ABCD是 .
知识点2 菱形的性质
3. 如图,在菱形ABCD中,∠DAC=15°,则∠B= ( )
A.120° B.125° C.130° D.150°
4.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,若EF=2,则菱形ABCD的周长是 ( )
A.12 B.16 C.20 D.24
5.(2024·贵阳乌当区质检)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点A,B的坐标分别为(0,2),(-1,0),则点D的坐标为 ( )
A.(,2) B.(2,) C.(,2) D.(2,)
6. (2024·六盘水质检)如图,在菱形ABCD中,点E,F是对角线BD上的两点,DF=BE,连接AE,AF,CE.
(1)求证:△ADF≌△CBE;
(2)若BD=6,∠BAD=120°,且△AEF是等边三角形,求CE的长.
知识点3 菱形的对称性
7.菱形不具备的性质是 ( )
A.四条边都相等 B.对角线一定相等
C.是轴对称图形 D.是中心对称图形
8. (2021·贵阳中考)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD对角线的交点坐标是O(0,0),点B的坐标是(0,1),且BC=,则点A的坐标是 .
综合能力练巩固提升 迁移运用
9. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成,根据实际需要可以调节AE间的距离.若AE间的距离调节到60 cm,菱形的边长AB=20 cm,则∠DAB的度数是 ( )
A.90° B.100° C.120° D.150°
10.(2024·六盘水期中)如图所示,O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,E,F分别是OA,OC的中点,在下列结论中错误的是 ( )
A.S△ADE=S△EOD
B.四边形BFDE是中心对称图形
C.△DEF是轴对称图形
D.∠ADE=∠EDO
11.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=40°,点E为对角线BD上一点,F为AD边上一点,连接AE,CE,FE,若AE=FE,∠BEC=58°,则∠AFE的度数为 .
12.(2024·贵阳观山湖区期中)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E为AB的中点,点F在OD上,DF=OF,连接EF交OA于点G,若OG=1,连接CE,S△BEC=12,则线段CE的长为 .
13. 如图1,在菱形ABCD中,△EFP的顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,且EP=FP.
(1)证明:∠EPF+∠BAD=180°.
(2)若∠BAD=120°(如图2),证明:AE+AF=AP.
模型 有一个内角为60°(或120°)的菱形短对角线分菱形为两个等边三角形.
如图,在菱形ABCD中,BD是对角线,∠A=60°,则△ABD和△CBD均为等边三角形.1 菱形的性质与判定
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点 菱形的判定方法
1. (2024·六盘水水城区期中)如图所示,已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC翻转,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是 ( )
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2.(2024·贵阳质检)下列平行四边形中,根据图中所标出的数据,不一定是菱形的是 ( )
3.在长方形ABCD中,AB=1,BG,DH分别平分∠ABC,∠ADC,交AD,BC于点G,H.要使四边形BHDG为菱形,则AD的长为.
4.小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形”,并将自己的证明过程与同学小洁交流.若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.
小惠: 证明: ∵AC⊥BD,OB=OD, ∴AC垂直平分BD, ∴AB=AD,CB=CD, ∴四边形ABCD是菱形. 小洁:这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.
5.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.
(1)求证:∠BAC=∠DAC.
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形.
综合能力练巩固提升 迁移运用
6.如图所示,D,E,F分别是△ABC三边的中点,添加下列条件后,不能得到四边形DBFE是菱形的是 ( )
A.AB=BC B.BE平分∠ABC
C.BE⊥AC D.AB=AC
7.如图,剪两张对边平行的纸条,纸条宽度相等,随意交叉叠放在一起,重合的部分构成了一个四边形,这个四边形是 .
8. 在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-1,m),B(-4,0),C(1,0),D(a,m),且m>0,若以点A,B,C,D为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为 .
9.如图,在 ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,∠AND=90°,连接CM交DN于点O.
(1)求证:△ABN≌△CDM;
(2)连接MN,求证:四边形MNCD是菱形.
10. 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t s(0(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗 如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由.
模型 顺次连接对角线相等的任意四边形各边中点得到的图形是菱形.
如图,四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.若AC=BD,则四边形EFGH为菱形.第3课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 菱形的面积
1.(2024·贵阳乌当区质检)如图,菱形ABCD中,AC=8,AD=5,则菱形的面积为 ( )
A.20 B.40 C.28 D.24
2.已知菱形的边长为13 cm,它的一条对角线长为10 cm,则该菱形的面积为 ( )
A.60 cm2 B.120 cm2 C.240 cm2 D.480 cm2
3.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH= ( )
A. B. C.12 D.24
4.已知菱形的周长为4,两条对角线长的和为6,则菱形的面积为 .
知识点2 菱形的性质与判定的综合运用
5.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,若AF=8,则四边形AEDF的周长是 ( )
A.24 B.28 C.32 D.36
6.如图,在平行四边形ABCD中,∠A=110°,AD=DC.E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠PEF= ( )
A.35° B.45° C.50° D.55°
7.如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C;连接AC,BC,AB,OC.若AB=2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为 cm.
8. 如图,AE∥BF,点D,C分别是AE和BF上的点,连接AC,BD交于点O,此时OA=OC.若AC=6,BD=8,AB=5,AM⊥BC于M,解决下列问题:
(1)求证:OB=OD;
(2)求证:四边形ABCD是菱形;
(3)求AM的长.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.如图,△ABC是边长为2的等边三角形,将△ABC沿射线BC向右平移到△DCE,连接AD,BD,下列结论错误的是( )
A.AD=BC
B.BD⊥DE
C.四边形ACED是菱形
D.四边形ABCD的面积为4
10. 如图,O是菱形ABCD的对角线的交点,E,F分别是OA,OC的中点,下列结论:①四边形BFDE是菱形;②S四边形ABCD=EF×BD;③∠ADE=∠EDO;④△DEF是轴对称图形.其中正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图,在菱形ABCD中,∠A=30°,取大于AB的长为半径,分别以点A,B为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则∠EBD的度数为 .
12.如图,四边形ABCD是边长为4的菱形,O为其对称中心,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.若∠ABC=60°,则阴影部分的面积为 .
13.(2024·遵义红花岗区期中)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,点D是△ABC外一点,连接AD,BD,将△ABD沿DB折叠使点A落在边BC上的点A1处,连接A1D,若A1D⊥AC.
(1)求证:四边形ABA1D是菱形;
(2)连接AA1,DC,若AB=2,求四边形ADCA1的面积.
模型 菱形面积的对角线公式:菱形的面积等于对角线乘积的一半.
如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于O,则S菱形ABCD=AC·BD.第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 菱形的定义
1.(概念应用题)如图,若要使平行四边形ABCD成为菱形,则需要添加的条件是 (C)
A.AB=CD B.AD=BC
C.AB=BC D.AC=BD
2.如图,在 ABCD中,若∠1=∠2,则 ABCD是 菱形 .
知识点2 菱形的性质
3.(教材再开发·P4T3改编)如图,在菱形ABCD中,∠DAC=15°,则∠B= (D)
A.120° B.125° C.130° D.150°
4.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,若EF=2,则菱形ABCD的周长是 (B)
A.12 B.16 C.20 D.24
5.(2024·贵阳乌当区质检)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点A,B的坐标分别为(0,2),(-1,0),则点D的坐标为 (A)
A.(,2) B.(2,) C.(,2) D.(2,)
6. (2024·六盘水质检)如图,在菱形ABCD中,点E,F是对角线BD上的两点,DF=BE,连接AE,AF,CE.
(1)求证:△ADF≌△CBE;
(2)若BD=6,∠BAD=120°,且△AEF是等边三角形,求CE的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADF=∠CBE,
在△ADF和△CBE中,
∴△ADF≌△CBE(SAS);
(2)∵AD∥BC,∠BAD=120°,
∴∠ABC=60°,∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABE=∠CBE=30°,AB=BC,
∵BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS),∴AE=CE,∵△AEF为等边三角形,
∴∠AEF=60°,AE=EF=AF,∴∠BAE=60°-∠ABE=30°,
∴∠BAE=∠ABE,∴BE=AE,
同理AF=DF,∴BE=EF=DF,
∵BD=6,∴BE=AE=2.∴CE=2.
知识点3 菱形的对称性
7.菱形不具备的性质是 (B)
A.四条边都相等 B.对角线一定相等
C.是轴对称图形 D.是中心对称图形
8. (2021·贵阳中考)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD对角线的交点坐标是O(0,0),点B的坐标是(0,1),且BC=,则点A的坐标是 (2,0) .
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(生活情境题)如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成,根据实际需要可以调节AE间的距离.若AE间的距离调节到60 cm,菱形的边长AB=20 cm,则∠DAB的度数是 (C)
A.90° B.100° C.120° D.150°
10.(2024·六盘水期中)如图所示,O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,E,F分别是OA,OC的中点,在下列结论中错误的是 (D)
A.S△ADE=S△EOD
B.四边形BFDE是中心对称图形
C.△DEF是轴对称图形
D.∠ADE=∠EDO
11.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=40°,点E为对角线BD上一点,F为AD边上一点,连接AE,CE,FE,若AE=FE,∠BEC=58°,则∠AFE的度数为 38° .
12.(2024·贵阳观山湖区期中)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E为AB的中点,点F在OD上,DF=OF,连接EF交OA于点G,若OG=1,连接CE,S△BEC=12,则线段CE的长为.
13.(素养提升题)如图1,在菱形ABCD中,△EFP的顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,且EP=FP.
(1)证明:∠EPF+∠BAD=180°.
(2)若∠BAD=120°(如图2),证明:AE+AF=AP.
【证明】(1)如图1,作PM⊥AD于点M,PN⊥AB于点N.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠PAM=∠PAN,∴PM=PN,
∵PE=PF,
∴Rt△PMF≌Rt△PNE,
∴∠MPF=∠NPE,
∴∠EPF=∠MPN,
∵∠BAD+∠MPN=360°-∠AMP-∠ANP=180°,
∴∠EPF+∠BAD=180°.
(2)见全解全析
模型 有一个内角为60°(或120°)的菱形短对角线分菱形为两个等边三角形.
如图,在菱形ABCD中,BD是对角线,∠A=60°,则△ABD和△CBD均为等边三角形.第3课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 菱形的面积
1.(2024·贵阳乌当区质检)如图,菱形ABCD中,AC=8,AD=5,则菱形的面积为 (D)
A.20 B.40 C.28 D.24
2.已知菱形的边长为13 cm,它的一条对角线长为10 cm,则该菱形的面积为 (B)
A.60 cm2 B.120 cm2 C.240 cm2 D.480 cm2
3.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH= (B)
A. B. C.12 D.24
4.已知菱形的周长为4,两条对角线长的和为6,则菱形的面积为 4 .
知识点2 菱形的性质与判定的综合运用
5.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,若AF=8,则四边形AEDF的周长是 (C)
A.24 B.28 C.32 D.36
6.如图,在平行四边形ABCD中,∠A=110°,AD=DC.E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠PEF= (A)
A.35° B.45° C.50° D.55°
7.如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C;连接AC,BC,AB,OC.若AB=2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为 4 cm.
8.(教材再开发·P9T3改编)如图,AE∥BF,点D,C分别是AE和BF上的点,连接AC,BD交于点O,此时OA=OC.若AC=6,BD=8,AB=5,AM⊥BC于M,解决下列问题:
(1)求证:OB=OD;
(2)求证:四边形ABCD是菱形;
(3)求AM的长.
【解析】(1)∵AE∥BF,
∴∠ADO=∠CBO,
在△AOD和△COB中,,
∴△AOD≌△COB(AAS),
∴OD=OB;
(2)∵OB=OD,OA=OC,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∵OB=OD=BD=4,OA=OC=AC=3,AB=5,
∴OB2+OA2=AB2,
∴△AOB为直角三角形,∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是菱形;
(3)见全解全析
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.如图,△ABC是边长为2的等边三角形,将△ABC沿射线BC向右平移到△DCE,连接AD,BD,下列结论错误的是(D)
A.AD=BC
B.BD⊥DE
C.四边形ACED是菱形
D.四边形ABCD的面积为4
10.(易错警示题)如图,O是菱形ABCD的对角线的交点,E,F分别是OA,OC的中点,下列结论:①四边形BFDE是菱形;②S四边形ABCD=EF×BD;③∠ADE=∠EDO;④△DEF是轴对称图形.其中正确的结论有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图,在菱形ABCD中,∠A=30°,取大于AB的长为半径,分别以点A,B为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则∠EBD的度数为 45° .
12.如图,四边形ABCD是边长为4的菱形,O为其对称中心,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.若∠ABC=60°,则阴影部分的面积为.
13.(2024·遵义红花岗区期中)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,点D是△ABC外一点,连接AD,BD,将△ABD沿DB折叠使点A落在边BC上的点A1处,连接A1D,若A1D⊥AC.
(1)求证:四边形ABA1D是菱形;
(2)连接AA1,DC,若AB=2,求四边形ADCA1的面积.
【解析】(1)如图,设A1D交AC于点E,
由折叠的性质得:AB=A1B,AD=A1D,
∵∠BAC=90°,∠C=30°,
∴∠ABC=90°-30°=60°,
∴△ABA1是等边三角形,
∴AB=AA1,∠BAA1=60°,
∴∠CAA1=∠BAC-∠BAA1=90°-60°=30°,
∵A1D⊥AC,∴∠AEA1=90°,
∴∠AA1D=90°-30°=60°,
∴△AA1D是等边三角形,
∴AD=AA1,
∴AB=A1B=AD=A1D,
∴四边形ABA1D是菱形;
(2)见全解全析
模型 菱形面积的对角线公式:菱形的面积等于对角线乘积的一半.
如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于O,则S菱形ABCD=AC·BD.
