2 矩形的性质与判定
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 矩形的判定
1.(2024·贵阳云岩区质检)如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列结论中,不正确的是( )
A.当AB⊥AD时,四边形ABCD是矩形
B.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形
C.当OA=OB时,四边形ABCD是矩形
D.当AB=AC时,四边形ABCD是菱形
2.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F,G在边BC上,且DF∥EG.只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形,这个条件可以是 .(写出一个即可)
3.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,若四边形AEBO是菱形,求证:四边形ABCD是矩形.
4. (2022·六盘水中考)如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAC,CF平分
∠ACD.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是矩形 请写出证明过程.
知识点2 矩形的性质与判定的综合应用
5.要检验一个四边形的桌面是否为矩形,可行的测量方案是 ( )
A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是否是90°
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
6.如图,把一张矩形纸片沿对角线折叠,若BC=9,CD=3,那么阴影部分的面积为
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.顺次连接下列图形的各边中点,所得图形为矩形的是 ( )
①矩形;②菱形;③对角线相等的四边形;
④对角线互相垂直的四边形.
A.①③ B.②③ C.②④ D.③④
8.如图,四边形ABCD是菱形,BD=4,AD=2,点E是CD边上的一动点,过点E作EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G,连接FG,则FG的最小值为( )
A. B. C. D.
9.如图所示,工人师傅做一个矩形铝合金窗框分下面三个步骤进行.
先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①所示),使AB=CD,EF=GH.
(1)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是平行四边形,它的依据是 .
(2)将直角尺紧靠窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④,说明窗框合格,这时窗框是矩形,它的依据是 .
10.如图,在矩形ABCD中,AD=4,将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A1,折痕为DE.若将∠B沿EA1向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B1,则AB= .
11. 如图,在 ABCD中,过点A,C作AF⊥CD,CE⊥AB,分别交AB,CD的延长线于点F和E.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)连接AC,BD交于点O,点G是线段AE的中点,若AC=4,OG=2,求矩形AECF的周长.
模型 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点,所得四边形是矩形.
如图:四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH是矩形.基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 矩形的性质
1.(2024·毕节织金县期中)矩形具有而菱形不具有的性质是 ( )
A.两组对边分别平行且相等
B.对角线相等
C.相邻两角互补
D.两组对角分别相等
2.(2024·贵阳花溪区期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,已知∠ACB=25°,则∠AOB的大小是 ( )
A.130° B.65° C.50° D.25°
3.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠BOC=120°,AB=5,则矩形的对角线BD的长是 ( )
A.5 B.5
C.10 D.5
4.(2024·贵阳南明区期中)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,CD上的点,连接BE,EF,BE⊥EF,且BE=EF,若AB=5,CF=2,则矩形ABCD的面积为 ( )
A.35 B.40 C.42 D.50
5.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若∠DOA=60°,AC的长为8 cm,求菱形的对角线CD的长.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
6.如图,在Rt△ABC中,BD,BE分别为斜边AC上的高和中线.若∠DBE=25°,则∠C的度数为 .
7. 著名画家达·芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规如图所示,有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计),一根没有弹性的木棒的两端A,B能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点P处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20 cm,则画出的圆的半径为 cm.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图,每个小正方形的边长为1,在△ABC中,点D为AB的中点,则线段CD的长为 ( )
A. B. C.2 D.
9.(2024·贵阳期末)如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥BD交AD于点E,已知AB=5,△DOE的面积为,则DE的长为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.5
10.如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平,再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,已知BC=2,则线段EG的长度为
11. 如图,长方形ABCD中,AB=10 cm,BC=8 cm,点E是CD的中点,动点P从A点出发,以每秒2 cm的速度沿A→B→C→E运动,最终到达点E,若点P运动的时间为t秒,那么当t= 时,△APE的面积等于24 cm2.
12.如图,矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
(1)求证:BE=CF.
(2)若∠AOB=60°,AB=8,求矩形的面积.
13. 在矩形ABCD中,AB=8,AD=4,点A是y轴正半轴上任意一点,点B在x轴正半轴上.连接OD,则OD的最大值是2 矩形的性质与判定
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 矩形的性质
1.(2024·毕节织金县期中)矩形具有而菱形不具有的性质是 (B)
A.两组对边分别平行且相等
B.对角线相等
C.相邻两角互补
D.两组对角分别相等
2.(2024·贵阳花溪区期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,已知∠ACB=25°,则∠AOB的大小是 (C)
A.130° B.65° C.50° D.25°
3.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠BOC=120°,AB=5,则矩形的对角线BD的长是 (C)
A.5 B.5
C.10 D.5
4.(2024·贵阳南明区期中)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,CD上的点,连接BE,EF,BE⊥EF,且BE=EF,若AB=5,CF=2,则矩形ABCD的面积为 (B)
A.35 B.40 C.42 D.50
5.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若∠DOA=60°,AC的长为8 cm,求菱形的对角线CD的长.
【解析】(1)∵CE∥BD,DE∥AC,
∴四边形CODE是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,∴OC=OD=OA,∴平行四边形CODE是菱形;
(2)∵∠DOA=60°,OA=DO,∴△AOD是等边三角形,∴AD=AO=AC=4 cm,
∴DC===4(cm).
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
6.如图,在Rt△ABC中,BD,BE分别为斜边AC上的高和中线.若∠DBE=25°,则∠C的度数为 32.5° .
7.(传统数学文化)著名画家达·芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规如图所示,有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计),一根没有弹性的木棒的两端A,B能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点P处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20 cm,则画出的圆的半径为 10 cm.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图,每个小正方形的边长为1,在△ABC中,点D为AB的中点,则线段CD的长为 (B)
A. B. C.2 D.
9.(2024·贵阳期末)如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥BD交AD于点E,已知AB=5,△DOE的面积为,则DE的长为 (B)
A.5 B.6 C.7 D.5
10.如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平,再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,已知BC=2,则线段EG的长度为.
11.(易错警示题)如图,长方形ABCD中,AB=10 cm,BC=8 cm,点E是CD的中点,动点P从A点出发,以每秒2 cm的速度沿A→B→C→E运动,最终到达点E,若点P运动的时间为t秒,那么当t= 3或8.2 时,△APE的面积等于24 cm2.
12.如图,矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
(1)求证:BE=CF.
(2)若∠AOB=60°,AB=8,求矩形的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OA=OC=AC,
OB=OD=BD,∴OB=OC,
∵BE⊥AC,CF⊥BD,
∴∠BEO=∠CFO=90°,
在△BEO和△CFO中,,
∴△BEO≌△CFO(AAS),∴BE=CF;
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,∴OB=OA,
∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=AO=OB=8,∴AC=16,
由勾股定理得BC==8,
∴S矩形ABCD=AB×BC=8×8=64.
13.(素养提升题)在矩形ABCD中,AB=8,AD=4,点A是y轴正半轴上任意一点,点B在x轴正半轴上.连接OD,则OD的最大值是.
周末小练 适时巩固 请完成 “周周测(一)”2 矩形的性质与判定
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 矩形的判定
1.(2024·贵阳云岩区质检)如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列结论中,不正确的是(D)
A.当AB⊥AD时,四边形ABCD是矩形
B.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形
C.当OA=OB时,四边形ABCD是矩形
D.当AB=AC时,四边形ABCD是菱形
2.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F,G在边BC上,且DF∥EG.只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形,这个条件可以是 ∠DFG=90°(答案不唯一) .(写出一个即可)
3.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,若四边形AEBO是菱形,求证:四边形ABCD是矩形.
【证明】∵AB=CD,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=AC,OB=BD,
∵四边形AEBO是菱形,
∴OA=OB,
∴AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形.
4. (2022·六盘水中考)如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAC,CF平分
∠ACD.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是矩形 请写出证明过程.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠D,AB∥CD,
∴∠BAC=∠ACD,
∵AE平分∠BAC,CF平分∠ACD,
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC,∠DCF=∠ACF=∠ACD,
∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(ASA);
(2)见全解全析
知识点2 矩形的性质与判定的综合应用
5.要检验一个四边形的桌面是否为矩形,可行的测量方案是 (C)
A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是否是90°
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
6.如图,把一张矩形纸片沿对角线折叠,若BC=9,CD=3,那么阴影部分的面积为.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.顺次连接下列图形的各边中点,所得图形为矩形的是 (C)
①矩形;②菱形;③对角线相等的四边形;
④对角线互相垂直的四边形.
A.①③ B.②③ C.②④ D.③④
8.如图,四边形ABCD是菱形,BD=4,AD=2,点E是CD边上的一动点,过点E作EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G,连接FG,则FG的最小值为(C)
A. B. C. D.
9.如图所示,工人师傅做一个矩形铝合金窗框分下面三个步骤进行.
先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①所示),使AB=CD,EF=GH.
(1)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是平行四边形,它的依据是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .
(2)将直角尺紧靠窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④,说明窗框合格,这时窗框是矩形,它的依据是 有一个角是直角的平行四边形是矩形 .
10.如图,在矩形ABCD中,AD=4,将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A1,折痕为DE.若将∠B沿EA1向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B1,则AB=.
11.(素养提升题)如图,在 ABCD中,过点A,C作AF⊥CD,CE⊥AB,分别交AB,CD的延长线于点F和E.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)连接AC,BD交于点O,点G是线段AE的中点,若AC=4,OG=2,求矩形AECF的周长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∵AF⊥CD,∴AF⊥AB,
∵CE⊥AB,∴AF∥CE,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AF⊥CD,∴∠F=90°,
∴平行四边形AECF是矩形;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,
∵点G是线段AE的中点,
∴AG=EG,∴OG是△ACE的中位线,
∴CE=2OG=4,
∵AC=4,∴AE=12,
∴矩形AECF的周长为12+12+4+4=32.
模型 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点,所得四边形是矩形.
如图:四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH是矩形.
