3 正方形的性质与判定
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 正方形的判定
1.(2024·贵阳南明区质检)下列判断错误的是 ( )
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.一条对角线平分内角的平行四边形是菱形
C.四个内角都相等的四边形是矩形
D.两对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
2.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形,则四边形ABCD的两条对角线AC,BD一定是 ( )
A.互相平分 B.互相垂直
C.互相平分且相等 D.互相垂直且相等
3.如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E分别是边AB,AC的中点.延长DE到点F,使DE=EF,得四边形ADCF.当∠ACB= °时,四边形ADCF是正方形.
4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,DF∥AC,交AB于点F.
(1)求证:四边形AFDE是正方形;
(2)若AD=3,求四边形AFDE的面积.
知识点2 正方形的性质与判定的综合应用
5. 如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是边AD上一点,连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点N.若四边形MOND的面积是1,则AB的长为( )
A.1 B. C.2 D.2
6.如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(-3,1),则C点的坐标是 ( )
A.(1,3) B.(2,3) C.(3,2) D.(3,1)
7.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具,他先将活动的学具制成图1所示菱形,并测得∠B=60°,接着将活动的学具制成图2所示正方形,并测得正方形的对角线AC=40 cm,则图1中对角线AC的长为 cm.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC'D'.若∠D'AB=30°,则菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD的面积之比是 ( )
A.1 B. C. D.
9. 如图,在任意四边形ABCD中,M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点.以下结论:
①当∠ABC=90°时,四边形MNPQ为正方形;
②当AC=BD时,四边形MNPQ为菱形;
③当AC⊥BD时,四边形MNPQ为矩形;
④四边形MNPQ一定为平行四边形.
其中正确的序号是 .
10.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE的最小值是.
11.(2024·贵阳云岩区质检)已知:如图,在每个边长都为1的小正方形网格中,点A,B,C都在格点上,连接AB,AC,BC.
(1)AC的长为____ ;AB的长为____ ;(直接写出答案即可)
(2)△ABC的周长为____ ;(直接写出答案即可)
(3)请你利用图中的网格,在图中找到一个点D,并连接AD和CD,使得四边形ABCD是正方形.
12.(2024·贵州质检)如图,Rt△CEF中,∠C=90°,∠CEF,∠CFE外角平分线交于点A,过点A分别作直线CE,CF的垂线,B,D为垂足.
(1)∠EAF=____ °(直接写出结果不写解答过程);
(2)①求证:四边形ABCD是正方形.
②若BE=EC=3,求DF的长.
模型 共顶点的正方形中“手拉手”模型.
如图,两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H.则(1)AG=CE;
(2)AG⊥CE;
(3)HD平分∠AHE.3 正方形的性质与判定
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 正方形的判定
1.(2024·贵阳南明区质检)下列判断错误的是 (D)
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.一条对角线平分内角的平行四边形是菱形
C.四个内角都相等的四边形是矩形
D.两对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
2.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形,则四边形ABCD的两条对角线AC,BD一定是 (D)
A.互相平分 B.互相垂直
C.互相平分且相等 D.互相垂直且相等
3.如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E分别是边AB,AC的中点.延长DE到点F,使DE=EF,得四边形ADCF.当∠ACB= 90 °时,四边形ADCF是正方形.
4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,DF∥AC,交AB于点F.
(1)求证:四边形AFDE是正方形;
(2)若AD=3,求四边形AFDE的面积.
【解析】(1)∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形AFDE是平行四边形.
∵AD平分∠BAC,∴∠FAD=∠EAD.
∵DE∥AB,∴∠EDA=∠FAD.
∴∠EDA=∠EAD.∴AE=DE.
∴四边形AFDE是菱形.∵∠BAC=90°,
∴四边形AFDE是正方形.
(2)见全解全析
知识点2 正方形的性质与判定的综合应用
5.(教材再开发·P25T4改编)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是边AD上一点,连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点N.若四边形MOND的面积是1,则AB的长为(C)
A.1 B. C.2 D.2
6.如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(-3,1),则C点的坐标是 (A)
A.(1,3) B.(2,3) C.(3,2) D.(3,1)
7.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具,他先将活动的学具制成图1所示菱形,并测得∠B=60°,接着将活动的学具制成图2所示正方形,并测得正方形的对角线AC=40 cm,则图1中对角线AC的长为cm.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC'D'.若∠D'AB=30°,则菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD的面积之比是 (B)
A.1 B. C. D.
9.(教材再开发·P23“议一议”改编)如图,在任意四边形ABCD中,M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点.以下结论:
①当∠ABC=90°时,四边形MNPQ为正方形;
②当AC=BD时,四边形MNPQ为菱形;
③当AC⊥BD时,四边形MNPQ为矩形;
④四边形MNPQ一定为平行四边形.
其中正确的序号是 ②③④ .
10.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE的最小值是.
11.(2024·贵阳云岩区质检)已知:如图,在每个边长都为1的小正方形网格中,点A,B,C都在格点上,连接AB,AC,BC.
(1)AC的长为____________;AB的长为________ ;(直接写出答案即可)
(2)△ABC的周长为____________;(直接写出答案即可)
(3)请你利用图中的网格,在图中找到一个点D,并连接AD和CD,使得四边形ABCD是正方形.
【解析】(1)AC==2,AB==;
答案:2
(2)∵AC=2,BC=AB=,
∴△ABC的周长为2+2;
答案:2+2
(3)如图所示:
12.(2024·贵州质检)如图,Rt△CEF中,∠C=90°,∠CEF,∠CFE外角平分线交于点A,过点A分别作直线CE,CF的垂线,B,D为垂足.
(1)∠EAF=________ °(直接写出结果不写解答过程);
(2)①求证:四边形ABCD是正方形.
②若BE=EC=3,求DF的长.
【解析】见全解全析
模型 共顶点的正方形中“手拉手”模型.
如图,两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H.则(1)AG=CE;
(2)AG⊥CE;
(3)HD平分∠AHE.
周末小练 适时巩固 请完成 “周周测(二)”3 正方形的性质与判定
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 正方形的性质
1.正方形具有而矩形不一定有的性质是 (A)
A.对角线互相垂直
B.对角线相等
C.对角互补
D.四个角相等
2.(2024·六盘水期中)如图,四边形ABCD是正方形,AD平行于x轴,A,C两点坐标分别为(-2,2),(1,-1),则点B的坐标是 (C)
A.(-1,-2)
B.(-1,-3)
C.(-2,-1)
D.(-3,-1)
3.(教材再开发·P22T2改编)如图,点E,F分别是正方形ABCD内部、外部的点,四边形ADFE与四边形BCFE均为菱形,则∠CBE的度数等于 30° .
4.(2024·遵义红花岗区期中)如图,在正方形ABCD中,连接BD,以点B为圆心,BD的长为半径画弧,交BC的延长线于点E,连接DE,过点B作BF⊥DE,垂足为点F,交CD于点G.
(1)写出图中一对全等三角形________ .
(2)求∠BED的度数.
【解析】(1)由BE=BD,BF=BF可得
Rt△EBF≌Rt△DBF(HL).
答案:Rt△EBF≌Rt△DBF(答案不唯一)
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DBE=45°,
∵BD=BE,
∴∠BED=∠BDE=(180°-45°)÷2=67.5°.
知识点2 利用正方形的性质求面积
5.将三个大小不同的正方形如图放置,顶点处两两相接,若正方形A的边长为4,正方形C的边长为3,则正方形B的面积为 (A)
A.25 B.5 C.16 D.12
6.(2024·遵义绥阳县期中)正方形ABCD的边长为4,则图中阴影部分的面积为
8 .
7.如图,两个边长均为6的正方形重叠在一起,O是正方形ABCD的中心,则阴影部分的面积是 9 .
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.(2024·贵阳云岩区质检)如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,以AD的长为半径画弧,交对角线AC于点E,再分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径画弧,两弧交于图中的点F处,连接AF并延长,与BC的延长线交于点P,则∠P=(D)
A.90° B.45° C.30° D.22.5°
9.如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上,则∠AEB的度数等于 (C)
A.60° B.65° C.75° D.80°
10.如图,正方形ABCD的边长为4,将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处,该三角板的两条直角边与CD交于点F,与CB延长线交于点E,四边形AECF的面积是(A)
A.16 B.12 C.8 D.4
11.(2024·贵阳乌当区质检)边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放,则△ABC的面积为 4 .
12. (2024·贵阳南明区质检)如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,BC上,若F是BC的中点,且∠EDF=45°,则DE的长为.
13.(素养提升题)综合与实践
如图1,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,OA1交BC于点E,OC1交CD于点F.
知识初探
求证:OE=OF;
拓展探究
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC,若AC=4,则四边形ABCD的面积是____ (直接写出答案,不写过程).
【解析】见全解全析
模型 正方形内两条直线与对边相交所成线段若垂直则必相等(若相等则必垂直)模型.
如图1,在正方形ABCD中.点E,F分别在BC,CD上,AE,BF相交于点O,若AE⊥BF,则AE=BF.
如图2,点E,F,G,H分别在边BC,CD,DA,AB上,EG,FH相交于点O,若GE=HF,则GE⊥HF.3 正方形的性质与判定
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 正方形的性质
1.正方形具有而矩形不一定有的性质是 ()
A.对角线互相垂直
B.对角线相等
C.对角互补
D.四个角相等
2.(2024·六盘水期中)如图,四边形ABCD是正方形,AD平行于x轴,A,C两点坐标分别为(-2,2),(1,-1),则点B的坐标是 ()
A.(-1,-2)
B.(-1,-3)
C.(-2,-1)
D.(-3,-1)
3.(教材再开发·P22T2改编)如图,点E,F分别是正方形ABCD内部、外部的点,四边形ADFE与四边形BCFE均为菱形,则∠CBE的度数等于 .
4.(2024·遵义红花岗区期中)如图,在正方形ABCD中,连接BD,以点B为圆心,BD的长为半径画弧,交BC的延长线于点E,连接DE,过点B作BF⊥DE,垂足为点F,交CD于点G.
(1)写出图中一对全等三角形________ .
(2)求∠BED的度数.
知识点2 利用正方形的性质求面积
5.将三个大小不同的正方形如图放置,顶点处两两相接,若正方形A的边长为4,正方形C的边长为3,则正方形B的面积为 ()
A.25 B.5 C.16 D.12
6.(2024·遵义绥阳县期中)正方形ABCD的边长为4,则图中阴影部分的面积为
.
7.如图,两个边长均为6的正方形重叠在一起,O是正方形ABCD的中心,则阴影部分的面积是 .
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.(2024·贵阳云岩区质检)如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,以AD的长为半径画弧,交对角线AC于点E,再分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径画弧,两弧交于图中的点F处,连接AF并延长,与BC的延长线交于点P,则∠P=( )
A.90° B.45° C.30° D.22.5°
9.如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上,则∠AEB的度数等于 (C)
A.60° B.65° C.75° D.80°
10.如图,正方形ABCD的边长为4,将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处,该三角板的两条直角边与CD交于点F,与CB延长线交于点E,四边形AECF的面积是( )
A.16 B.12 C.8 D.4
11.(2024·贵阳乌当区质检)边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放,则△ABC的面积为 .
12. (2024·贵阳南明区质检)如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,BC上,若F是BC的中点,且∠EDF=45°,则DE的长为 .
13.(素养提升题)综合与实践
如图1,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,OA1交BC于点E,OC1交CD于点F.
知识初探
求证:OE=OF;
拓展探究
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC,若AC=4,则四边形ABCD的面积是____ (直接写出答案,不写过程).
模型 正方形内两条直线与对边相交所成线段若垂直则必相等(若相等则必垂直)模型.
如图1,在正方形ABCD中.点E,F分别在BC,CD上,AE,BF相交于点O,若AE⊥BF,则AE=BF.
如图2,点E,F,G,H分别在边BC,CD,DA,AB上,EG,FH相交于点O,若GE=HF,则GE⊥HF.
