2 二次函数的图象与性质
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质
1.(概念应用题)下列各点在抛物线y=x2上的是 (B)
A.(2,2) B.(2,4)
C.(2,8) D.(2,16)
2.抛物线y=-x2不具备的性质是 (C)
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.与y轴不相交
D.最高点是原点
3.(2024·安顺市普定县质检)关于二次函数y=x2的图象,下列说法错误的是 (B)
A.关于y轴对称
B.它的顶点是抛物线的最高点
C.它与y=-x2的图象关于x轴对称
D.它与y轴只有一个交点
4.抛物线y=x2的图象经过点A(-3,y1),B(1,y2),C(4,y3),则y1,y2,y3的大小关系是(C)
A.y1B.y1C.y2D.y35.(2021·贵阳中考)二次函数y=x2的图象开口方向是 向上 (填“向上”或“向下”).
6.如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=x2与y=-x2的图象,则阴影部分的面积是 8 .
7.(生活情境题)如图所示,拱桥是抛物线形,其函数表达式为y=-x2,当水位线在AB位置时,水面的宽AB是6 m,求这时水面离拱形顶部的高度OC.
【解析】由y=-x2,及题意知,
当x=±3时,y=-9,
即水面离桥顶的高度OC是9 m.
8.已知点A(2,a)在抛物线y=x2上.
(1)求A点的坐标;
(2)在x轴上是否存在点P,使△OAP是等腰三角形 若存在,写出P点的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)∵点A(2,a)在抛物线y=x2上,
∴a=22=4,∴A点的坐标为(2,4);
(2)OA==2,
当AP=AO=2,此时P点坐标为(4,0);
当OP=OA=2,此时P点坐标为(2,0)或(-2,0);
当PA=PO时,设P(x,0),42+(x-2)2=x2,解得x=5,此时P点的坐标为(5,0).
综上所述,使△OAP是等腰三角形,则P点坐标为(2,0)或(-2,0)或(4,0)或(5,0).
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.关于函数y=x2的性质表达正确的一项是 (C)
A.无论x为任何实数,y值总为正
B.当x值增大时,y的值也增大
C.它的顶点为(0,0)
D.它的图象在第一、三象限内
10.(2024·铜仁德江县期末)二次函数y=x2与反比例函数y=的交点个数为 (A)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,A,B分别为y=x2上的两点,且AB⊥y轴,若AB=4,则△OAB的面积为 (C)
A.4 B.6 C.8 D.10
12.(易错警示题)如图,当ab>0时,函数y=ax2与函数y=bx+a的图象大致是 (C)
13.(2023·毕节期中)已知y=(k+2)是二次函数,且当x<0时,y随x的增大而增大.
(1)求k的值;
(2)求顶点坐标和对称轴.
【解析】(1)根据题意得k+2≠0且k2+k-4=2,解得k1=-3,k2=2,
∵二次函数在x<0时,y随x的增大而增大,∴二次函数图象的开口向下,即k+2<0,∴k=-3;
(2)由(1)得y=-x2,
∴顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.
14.(素养提升题)如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P.
(1)求a的值;
(2)求点P的坐标;
(3)点Q为y轴上一点,当AQ+BQ的和最小时,求点Q的坐标.
【解析】(1)∵Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,
∴4=a×(-2)2,解得:a=1.
(2)由旋转的性质得OB=OD=2,∠CDO=∠ABO=90°,∴CD∥x轴,
∴点D和点P的纵坐标均为2,
由(1)得,y=x2,当y=2,得2=x2,
解得:x=±,∵点P在第一象限,
∴点P的坐标为(,2).
(3)如图,由A(-2,4)
得B(-2,0),
则B关于y轴的对称点B'的坐标为(2,0),设直线AB'的解析式为y=kx+b,
∴解得
∴直线AB'的解析式为y=-x+2,
令x=0,则y=2,∴Q(0,2).
易错点 求函数的最值问题时忽视自变量的取值范围
【案例】函数y=-x2(-2≤x≤1)的最大值为 0 ,最小值为 -4 . 基础达标练课时训练 夯实基础
知识点 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质
1. 下列各点在抛物线y=x2上的是 ( )
A.(2,2) B.(2,4)
C.(2,8) D.(2,16)
2.抛物线y=-x2不具备的性质是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.与y轴不相交
D.最高点是原点
3.(2024·安顺市普定县质检)关于二次函数y=x2的图象,下列说法错误的是 ( )
A.关于y轴对称
B.它的顶点是抛物线的最高点
C.它与y=-x2的图象关于x轴对称
D.它与y轴只有一个交点
4.抛物线y=x2的图象经过点A(-3,y1),B(1,y2),C(4,y3),则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1B.y1C.y2D.y35.(2021·贵阳中考)二次函数y=x2的图象开口方向是 (填“向上”或“向下”).
6.如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=x2与y=-x2的图象,则阴影部分的面积是 .
7. 如图所示,拱桥是抛物线形,其函数表达式为y=-x2,当水位线在AB位置时,水面的宽AB是6 m,求这时水面离拱形顶部的高度OC.
8.已知点A(2,a)在抛物线y=x2上.
(1)求A点的坐标;
(2)在x轴上是否存在点P,使△OAP是等腰三角形 若存在,写出P点的坐标;若不存在,说明理由.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.关于函数y=x2的性质表达正确的一项是 ( )
A.无论x为任何实数,y值总为正
B.当x值增大时,y的值也增大
C.它的顶点为(0,0)
D.它的图象在第一、三象限内
10.(2024·铜仁德江县期末)二次函数y=x2与反比例函数y=的交点个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,A,B分别为y=x2上的两点,且AB⊥y轴,若AB=4,则△OAB的面积为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
12. 如图,当ab>0时,函数y=ax2与函数y=bx+a的图象大致是 ( )
13.(2023·毕节期中)已知y=(k+2)是二次函数,且当x<0时,y随x的增大而增大.
(1)求k的值;
(2)求顶点坐标和对称轴.
14. 如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P.
(1)求a的值;
(2)求点P的坐标;
(3)点Q为y轴上一点,当AQ+BQ的和最小时,求点Q的坐标.
易错点 求函数的最值问题时忽视自变量的取值范围
【案例】函数y=-x2(-2≤x≤1)的最大值为 ,最小值为 .
