3 确定二次函数的表达式
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 利用一般式确定二次函数表达式
1.(2023·宁波中考)如图,已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,-2)和B(0,-5).
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.
(2)当y≤-2时,请根据图象直接写出x的取值范围.
知识点2 利用顶点式确定二次函数表达式
2.(2024·黔南州福泉市期末)抛物线的图象如图所示,其中点A为顶点.
(1)写出点A,B的坐标;
(2)求出抛物线的解析式.
知识点3 利用交点式确定二次函数表达式
3.(2024·黔东南施秉县质检)二次函数过(2,0),(5,0),且与y=2x2的形状一致,那么该二次函数的表达式为 ( )
A.y=x2+14x+10 B.y=2x2-14x+20
C.y=2x2+14x+20 D.y=x2-14x+10
4.已知二次函数图象经过A(-5,0),B(3,0),C(-1,16)三点,求该抛物线解析式.
知识点4 由平移或翻折变换确定二次函数表达式
5. 如图,将抛物线y=-x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,则新图象与直线y=-8的交点个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.将抛物线C1:y=x2-2x+3向左平移一个单位长度,得到抛物线C2,抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称,则抛物线C3的表达式为 .
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.(2024·铜仁思南县质检)已知抛物线y=x2+(3m-1)x-3m(m>0)的最低点的纵坐标为-4,则抛物线的表达式是 ( )
A.y=x2-6x+5 B.y=x2+2x-3
C.y=x2+5x-6 D.y=x2+4x-5
8. (2024·遵义仁怀市质检)如图,抛物线y=ax2+bx-3与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,OB=OC=3OA,则该抛物线的解析式是 .
9. 在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对称,则符合条件的m= ,n= .
10.(2023·杭州中考)设二次函数y=ax2+bx+1(a≠0,b是实数).已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示:
x … -1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
(1)若m=4,
①求二次函数的表达式;
②写出一个符合条件的x的取值范围,使得y随x的增大而减小.
(2)若在m,n,p这三个实数中,只有一个是正数,求a的取值范围.
11.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-1,0)和B(0,3),其顶点的横坐标为1.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若直线x=m与x轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点M,当m取何值时,使得AN+MN有最大值,并求出最大值.3 确定二次函数的表达式
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 利用一般式确定二次函数表达式
1.(2023·宁波中考)如图,已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,-2)和B(0,-5).
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.
(2)当y≤-2时,请根据图象直接写出x的取值范围.
【解析】(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代入y=x2+bx+c得,
,解得,
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-5.
∵y=x2+2x-5=(x+1)2-6,
∴顶点坐标为(-1,-6).
(2) 如图:
∵点A(1,-2)关于对称轴直线x=-1的对称点C(-3,-2),
∴当y≤-2时,x的取值范围是-3≤x≤1.
知识点2 利用顶点式确定二次函数表达式
2.(2024·黔南州福泉市期末)抛物线的图象如图所示,其中点A为顶点.
(1)写出点A,B的坐标;
(2)求出抛物线的解析式.
【解析】(1)观察题图可知,A(2,-4),B(0,4);
(2)∵A为顶点,A(2,-4),
∴设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-4,
把B(0,4)代入得,4a-4=4,解得a=2,
∴抛物线的解析式为y=2(x-2)2-4.
知识点3 利用交点式确定二次函数表达式
3.(2024·黔东南施秉县质检)二次函数过(2,0),(5,0),且与y=2x2的形状一致,那么该二次函数的表达式为 (B)
A.y=x2+14x+10 B.y=2x2-14x+20
C.y=2x2+14x+20 D.y=x2-14x+10
4.已知二次函数图象经过A(-5,0),B(3,0),C(-1,16)三点,求该抛物线解析式.
【解析】∵A(-5,0),B(3,0),
∴设抛物线解析式为y=a(x-3)(x+5),
把C(-1,16)代入得a·(-1-3)·(-1+5)=16,解得a=-1,
所以抛物线解析式为y=-(x-3)(x+5),
即y=-x2-2x+15.
知识点4 由平移或翻折变换确定二次函数表达式
5. 如图,将抛物线y=-x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,则新图象与直线y=-8的交点个数是 (D)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.将抛物线C1:y=x2-2x+3向左平移一个单位长度,得到抛物线C2,抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称,则抛物线C3的表达式为 y=x2+2 .
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.(2024·铜仁思南县质检)已知抛物线y=x2+(3m-1)x-3m(m>0)的最低点的纵坐标为-4,则抛物线的表达式是 (B)
A.y=x2-6x+5 B.y=x2+2x-3
C.y=x2+5x-6 D.y=x2+4x-5
8. (2024·遵义仁怀市质检)如图,抛物线y=ax2+bx-3与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,OB=OC=3OA,则该抛物线的解析式是 y=x2-2x-3 .
9.(易错警示题)在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对称,则符合条件的m= 1 ,n= -2 .
10.(2023·杭州中考)设二次函数y=ax2+bx+1(a≠0,b是实数).已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示:
x … -1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
(1)若m=4,
①求二次函数的表达式;
②写出一个符合条件的x的取值范围,使得y随x的增大而减小.
(2)若在m,n,p这三个实数中,只有一个是正数,求a的取值范围.
【解析】(1)①由题意得,
解得,
∴二次函数的表达式是y=x2-2x+1;
②∵y=x2-2x+1=(x-1)2,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x的增大而减小;
(2)∵x=0和x=2时的函数值都是1,
∴抛物线的对称轴为直线x=-=1,
∴(1,n)是顶点,(-1,m)和(3,p)关于对称轴对称.
若在m,n,p这三个实数中,只有一个是正数,则抛物线必须开口向下,且m<0,
∵-=1,∴b=-2a,
∴二次函数为y=ax2-2ax+1,
∴m=a+2a+1<0,
∴a<-.
11.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-1,0)和B(0,3),其顶点的横坐标为1.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若直线x=m与x轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点M,当m取何值时,使得AN+MN有最大值,并求出最大值.
【解析】(1)∵抛物线的顶点横坐标为1,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵点A的坐标为(-1,0),
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0).
将(-1,0),(3,0),(0,3)代入y=ax2+bx+c得,解得,
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3;
(2)见全解全析
周末小练 适时巩固 请完成
“周周测(十六)”
