4 二次函数的应用
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 最大利润问题
1.一件工艺品的进价为100元,标价135元出售,每天可售出100件,根据销售统计,一件工艺品每降价1元,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,则每件需降价 ( )
A.3.6元 B.5元 C.10元 D.12元
2.某超市购进一批单价为8元的生活用品,如果按每件9元出售,那么每天可销售20件.经调查发现,这种生活用品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少4件,那么将销售单价定为 元时,才能使每天所获销售利润最大.
3.(2023·本溪中考)商店出售某品牌护眼灯,每台进价为40元,在销售过程中发现,月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,规定销售单价不低于进价,且不高于进价的2倍,其部分对应数据如表所示:
销售单价x(元) … 50 60 70 …
月销量y(台) … 90 80 70 …
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时,商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大 最大月利润为多少元
知识点2 抛物线形建筑、生活情境问题
4.(2023·丽水中考)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒,经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2,那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是 ( )
A.5 B.10 C.1 D.2
5.(2022·黔西南州中考)如图,是一名男生推铅球时,铅球行进过程中形成的抛物线.按照图中所示的平面直角坐标系,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-x2+x+,则铅球推出的水平距离OA的长是 m.
6.(2023·铜仁德江期中)如图,一拱形桥呈抛物线状,桥的最大高度CM为16 m,跨度AB为40 m,则离中心点M 5 m处的地方,桥的高度是多少米
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.有关资料显示,中国贵州省省内的射电望远镜(FAST)的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点P到口径面AB的距离是100米,若按如图(2)所示建立平面直角坐标系,则抛物线的表达式是 .
8.(2023·南充中考)某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售,每日产销x件.已知A产品成本价m元/件(m为常数,且4≤m≤6),售价8元/件,每日最多产销500件,同时每日共支付专利费30元;B产品成本价12元/件,售价20元/件,每日最多产销300件,同时每日支付专利费y元,y(元)与每日产销x(件)满足关系式y=80+0.01x2.
(1)若产销A,B两种产品的日利润分别为w1元,w2元,请分别写出w1,w2与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润.(A产品的最大日利润用含m的代数式表示)
(3)为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品 并说明理由.
9. (2023·黄冈中考)加强劳动教育,落实五育并举.孝礼中学在当地政府的支持下,建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中1 000m2的土地全部种植甲、乙两种蔬菜.经调查发现:甲种蔬菜种植成本y(单位:元/m2)与其种植面积x(单位:m2)的函数关系如图所示,其中200≤x≤700;乙种蔬菜的种植成本为50元/m2.
(1)当x=____ 时,y=35元/m2;
(2)设2023年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元,如何分配两种蔬菜的种植面积,使W最小
(3)学校计划今后每年在这1 000m2土地上,均按(2)中方案种植蔬菜,因技术改进,预计种植成本逐年下降.若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%,乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%,当a为何值时,2025年的总种植成本为28 920元 4 二次函数的应用
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点 图形面积问题
1.用一根铁丝围成正方形、长方形、正三角形和圆,那么面积最大的是 (D)
A.长方形 B.正方形
C.正三角形 D.圆
2.如图,正方形ABCD的边长为10,以正方形的顶点A,B,C,D为圆心画四个全等的圆.若圆的半径为x,且03.(2024·贵阳云岩区质检)如图所示,是一个长20 m、宽16 m的矩形花园,根据需要将它的长缩短x m、宽增加x m,要想使修改后的花园面积达到最大,则x应为 (C)
A.1 B.1.5 C.2 D.4
4.用一根长为20 cm的铁丝围成一个矩形,该矩形面积的最大值是 25 cm2.
5.如图,用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长),则这个围栏的最大面积为 32 m2.
6.如图,用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD,铁丝恰好全部用完.
(1)若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米,则AB的长为多少厘米
(2)矩形框架ABCD面积的最大值为________平方厘米.
【解析】(1)设框架的长AD为x厘米,则宽AB为厘米,∴x·=144,
解得x=12或x=18,
∴AB=12厘米或AB=8厘米,
∴AB的长为12厘米或8厘米;
(2)由(1)知,框架的长AD为x厘米,则宽AB为厘米,∴S=x·,
即S=-x2+20x=-(x-15)2+150,
∵-<0,
∴要使框架的面积最大,则x=15,此时AB=10,最大为150平方厘米.
答案:150
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.(2024·六盘水水城县期末)用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框,设窗框的宽为x米,窗框的面积为y平方米,y关于x的函数图象如图2所示,则a的值是 (B)
A.16 B.12 C.8 D.4
8.(2023·天津中考)如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.其中,正确结论的个数是 (C)
A.0 B.1 C.2 D.3
9.(2024·安顺普定县质检)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室总占地面积最大为 75 m2.
10. (2024·遵义绥阳县期末)如图,学校课外兴趣活动小组准备利用长为8 m的墙AB和一段长为26 m的篱笆围建一个矩形苗圃园.如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成,另三边由篱笆ACDF围成,设平行于墙的一边CD长为x m.
(1)当苗圃园的面积为60 m2时,求x的值.
(2)当x为何值时,所围苗圃园的面积最大 最大面积是多少
【解析】(1)∵篱笆的总长为26 m,平行于墙的一边CD长为x m,
∴垂直于墙的一边CA长为=(17-x)m,根据题意得,(17-x)x=60,
整理得x2-17x+60=0,
解得x1=5(不符合题意,舍去),x2=12,
答:x的值为12;
(2)设苗圃园的面积为S m2,S=(17-x)x=-x2+17x=-(x-8.5)2+72.25,
当x=8.5时,S最大=72.25,
答:当x的值为8.5时,所围苗圃园的面积最大,最大面积是72.25 m2.
11.(素养提升题)(2023·广西中考)如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上运动,满足AD=BE=CF.
(1)求证:△ADF≌△BED;
(2)设AD的长为x,△DEF的面积为y,求y关于x的函数解析式;
(3)结合(2)所得的函数,描述△DEF的面积随AD的增大如何变化.
【解析】(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=60°,AB=AC.
∵AD=CF,∴AF=BD,
在△ADF和△BED中,,
∴△ADF≌△BED(SAS).
(2)(3)见全解全析4 二次函数的应用
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 最大利润问题
1.一件工艺品的进价为100元,标价135元出售,每天可售出100件,根据销售统计,一件工艺品每降价1元,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,则每件需降价 (B)
A.3.6元 B.5元 C.10元 D.12元
2.某超市购进一批单价为8元的生活用品,如果按每件9元出售,那么每天可销售20件.经调查发现,这种生活用品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少4件,那么将销售单价定为 11 元时,才能使每天所获销售利润最大.
3.(2023·本溪中考)商店出售某品牌护眼灯,每台进价为40元,在销售过程中发现,月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,规定销售单价不低于进价,且不高于进价的2倍,其部分对应数据如表所示:
销售单价x(元) … 50 60 70 …
月销量y(台) … 90 80 70 …
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时,商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大 最大月利润为多少元
【解析】(1)设月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足的一次函数关系式为y=kx+b,
把(50,90)和(60,80)代入得,
解得,
∴y=-x+140;
(2)设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元,
根据题意得,w=(x-40)y=(x-40)(-x+140)=-x2+180x-5 600=-(x-90)2+2 500,
∵40≤x≤80,
∴当护眼灯销售单价定为80元时,商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大,最大月利润为2 400元.
知识点2 抛物线形建筑、生活情境问题
4.(2023·丽水中考)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒,经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2,那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是 (D)
A.5 B.10 C.1 D.2
5.(2022·黔西南州中考)如图,是一名男生推铅球时,铅球行进过程中形成的抛物线.按照图中所示的平面直角坐标系,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-x2+x+,则铅球推出的水平距离OA的长是 10 m.
6.(2023·铜仁德江期中)如图,一拱形桥呈抛物线状,桥的最大高度CM为16 m,跨度AB为40 m,则离中心点M 5 m处的地方,桥的高度是多少米
【解析】见全解全析
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.有关资料显示,中国贵州省省内的射电望远镜(FAST)的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点P到口径面AB的距离是100米,若按如图(2)所示建立平面直角坐标系,则抛物线的表达式是 y=x2-100 .
8.(2023·南充中考)某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售,每日产销x件.已知A产品成本价m元/件(m为常数,且4≤m≤6),售价8元/件,每日最多产销500件,同时每日共支付专利费30元;B产品成本价12元/件,售价20元/件,每日最多产销300件,同时每日支付专利费y元,y(元)与每日产销x(件)满足关系式y=80+0.01x2.
(1)若产销A,B两种产品的日利润分别为w1元,w2元,请分别写出w1,w2与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润.(A产品的最大日利润用含m的代数式表示)
(3)为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品 并说明理由.
【利润=(售价-成本)×产销数量-专利费】
【解析】(1)根据题意,得w1=(8-m)x-30(0≤x≤500),
w2=(20-12)x-(80+0.01x2)
=-0.01x2+8x-80(0≤x≤300).
(2)(3)见全解全析
9.(素养提升题)(2023·黄冈中考)加强劳动教育,落实五育并举.孝礼中学在当地政府的支持下,建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中1 000m2的土地全部种植甲、乙两种蔬菜.经调查发现:甲种蔬菜种植成本y(单位:元/m2)与其种植面积x(单位:m2)的函数关系如图所示,其中200≤x≤700;乙种蔬菜的种植成本为50元/m2.
(1)当x=________m2时,y=35元/m2;
(2)设2023年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元,如何分配两种蔬菜的种植面积,使W最小
(3)学校计划今后每年在这1 000m2土地上,均按(2)中方案种植蔬菜,因技术改进,预计种植成本逐年下降.若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%,乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%,当a为何值时,2025年的总种植成本为28 920元
【解析】(1)当200≤x≤600时,设甲种蔬菜种植成本y(单位:元/m2)与其种植面积x(单位:m2)的函数关系式为y=kx+b,
把(200,20),(600,40)代入得,解得,∴y=x+10;
当600∴当y=35时,35=x+10,解得x=500.
答案:500
(2)(3)见全解全析4 二次函数的应用
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点 图形面积问题
1.用一根铁丝围成正方形、长方形、正三角形和圆,那么面积最大的是 ( )
A.长方形 B.正方形
C.正三角形 D.圆
2.如图,正方形ABCD的边长为10,以正方形的顶点A,B,C,D为圆心画四个全等的圆.若圆的半径为x,且03.(2024·贵阳云岩区质检)如图所示,是一个长20 m、宽16 m的矩形花园,根据需要将它的长缩短x m、宽增加x m,要想使修改后的花园面积达到最大,则x应为 ( )
A.1 B.1.5 C.2 D.4
4.用一根长为20 cm的铁丝围成一个矩形,该矩形面积的最大值是 cm2.
5.如图,用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长),则这个围栏的最大面积为 m2.
6.如图,用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD,铁丝恰好全部用完.
(1)若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米,则AB的长为多少厘米
(2)矩形框架ABCD面积的最大值为________平方厘米.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.(2024·六盘水水城县期末)用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框,设窗框的宽为x米,窗框的面积为y平方米,y关于x的函数图象如图2所示,则a的值是 ( )
A.16 B.12 C.8 D.4
8.(2023·天津中考)如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.其中,正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9.(2024·安顺普定县质检)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室总占地面积最大为 m2.
10. (2024·遵义绥阳县期末)如图,学校课外兴趣活动小组准备利用长为8 m的墙AB和一段长为26 m的篱笆围建一个矩形苗圃园.如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成,另三边由篱笆ACDF围成,设平行于墙的一边CD长为x m.
(1)当苗圃园的面积为60 m2时,求x的值.
(2)当x为何值时,所围苗圃园的面积最大 最大面积是多少
11. (2023·广西中考)如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上运动,满足AD=BE=CF.
(1)求证:△ADF≌△BED;
(2)设AD的长为x,△DEF的面积为y,求y关于x的函数解析式;
(3)结合(2)所得的函数,描述△DEF的面积随AD的增大如何变化.
