5 二次函数与一元二次方程
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数与一元二次方程根的关系
1.若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为(D)
A.x=-1 B.x1=3,x2=1
C.x1=-1,x2=-3 D.x1=3,x2=-1
2.抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点,则c的值为 (B)
A.- B. C.-4 D.4
3.(2023·郴州中考)已知抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点,则m= 9 .
4.(2024·遵义红花岗区质检)抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 x1=-2,x2=1 .
5.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出了下面的表格:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -11 -2 1 -2 -11 …
由表格中的数据判断b2-4ac > 0(填“>”“<”或“=”).
6.已知二次函数y=x2+mx+m2-3(m为常数,m>0)的图象经过点P(2,4).
(1)求m的值;
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2-3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.
【解析】(1)将(2,4)代入y=x2+mx+m2-3得4=4+2m+m2-3,解得m1=1,m2=-3,
又∵m>0,∴m=1.
(2)∵m=1,∴y=x2+x-2,
∵Δ=b2-4ac=12+8=9>0,
∴二次函数图象与x轴有2个交点.
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
7.如表是二次函数y=ax2+bx+c的几组对应值:
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断,方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是 (C)
A.6C.6.188.如图,点A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,则方程ax2+bx+c=0的一个近似值可能是 (D)
A.2.18 B.2.68
C.-0.51 D.2.45
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.抛物线y=2(x-3)(x+4)与x轴交点的横坐标分别为 (D)
A.-3,-4 B.3,4
C.-3,4 D.3,-4
10.(2023·南充中考)抛物线y=-x2+kx+k-与x轴的一个交点为A(m,0),若-2≤m≤1,则实数k的取值范围是 (B)
A.-≤k≤1 B.k≤-或k≥
C.-5≤k≤ D.k≤-5或k≥
11.关于x的一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根,则抛物线y=x2+x-n的顶点在第 三 象限.
12.对于任意实数a,抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有公共点,则b的取值范围是
b≤- .
13. 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(-3,-1),B(0,3)两点.则关于x的不等式ax2+bx+c≤kx+m的解集是 x≤-3或x≥0 .
14.已知二次函数y=ax2-4ax+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,若S△ABC=3,求a.
【解析】令y=0,
则ax2-4ax+3=0,
∴x1+x2=4,x1·x2=,∴AB=|x1-x2|==.
令x=0,得y=3,∴OC=3,
∴S△ABC=AB·OC=××3=3,∴a=1.
15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),自变量x与函数值y的部分对应值如表:
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 -3 -4 -3 0 m …
(1)求该二次函数的关系式;
(2)当-3(3)关于x的一元二次方程ax2+c-5=-bx的解是____________.
【解析】(1)由题表中的数据可得抛物线的顶点坐标是(1,-4)以及经过点(0,-3),
设该二次函数的关系式为y=a(x-1)2-4,
把(0,-3)代入y=a(x-1)2-4,
可得-3=a(0-1)2-4,
解得a=1,
∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3.
(2)把x=2代入y=x2-2x-3可得y=-3,
把x=-3代入y=x2-2x-3可得y=12,
再结合题表数据可得,当-3(3)∵ax2+c-5=-bx,即ax2+bx+c=5,
由题中表格可得,当x=-2或4时,ax2+bx+c=5,∴方程ax2+c-5=-bx的解为x=-2或x=4.
【易错必究 规避陷阱】
易错点 混淆“与x轴交点”与“与坐标轴交点”而致错
【案例】已知函数y=mx2+3mx+m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点,则实数m的值为 1或- .
周末小练 适时巩固 请完成
“周周测(十七)”5 二次函数与一元二次方程
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数与一元二次方程根的关系
1.若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为( )
A.x=-1 B.x1=3,x2=1
C.x1=-1,x2=-3 D.x1=3,x2=-1
2.抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点,则c的值为 ( )
A.- B. C.-4 D.4
3.(2023·郴州中考)已知抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点,则m= .
4.(2024·遵义红花岗区质检)抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 , .
5.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出了下面的表格:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -11 -2 1 -2 -11 …
由表格中的数据判断b2-4ac 0(填“>”“<”或“=”).
6.已知二次函数y=x2+mx+m2-3(m为常数,m>0)的图象经过点P(2,4).
(1)求m的值;
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2-3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
7.如表是二次函数y=ax2+bx+c的几组对应值:
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断,方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是 ( )
A.6C.6.188.如图,点A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,则方程ax2+bx+c=0的一个近似值可能是 ( )
A.2.18 B.2.68
C.-0.51 D.2.45
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.抛物线y=2(x-3)(x+4)与x轴交点的横坐标分别为 ( )
A.-3,-4 B.3,4
C.-3,4 D.3,-4
10.(2023·南充中考)抛物线y=-x2+kx+k-与x轴的一个交点为A(m,0),若-2≤m≤1,则实数k的取值范围是 ( )
A.-≤k≤1 B.k≤-或k≥
C.-5≤k≤ D.k≤-5或k≥
11.关于x的一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根,则抛物线y=x2+x-n的顶点在第 象限.
12.对于任意实数a,抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有公共点,则b的取值范围是
.
13. 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(-3,-1),B(0,3)两点.则关于x的不等式ax2+bx+c≤kx+m的解集是 .
14.已知二次函数y=ax2-4ax+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,若S△ABC=3,求a.
15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),自变量x与函数值y的部分对应值如表:
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 -3 -4 -3 0 m …
(1)求该二次函数的关系式;
(2)当-3(3)关于x的一元二次方程ax2+c-5=-bx的解是____ .
【易错必究 规避陷阱】
易错点 混淆“与x轴交点”与“与坐标轴交点”而致错
【案例】已知函数y=mx2+3mx+m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点,则实数m的值为 .
