*3 垂径定理
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 垂径定理及其推论
1.(2023·宜昌中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
2.如图,已知AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
3.(2024·毕节赫章县期末)如图,已知☉O的两弦AB,CD相交于E,且点A为的中点,若∠OBA=32°,则∠CEA的度数为 .
4.如图,在☉O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若☉O的半径为2,则弦AB的长为 .
知识点2 垂径定理的应用
5.(2023·永州中考)如图,☉O是一个盛有水的容器的横截面,☉O的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为 cm.
6.如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果C是☉O中弦AB的中点,CD经过圆心O交☉O于点D,并且AB=4 m,CD=6 m,则☉O的半径长为 m.
7.如图,隧道的截面由半圆和长方形构成,长方形的长BC为12 m,宽AB为3 m,若该隧道内设双行道,现有一辆货运卡车高8 m,宽2.3 m,则这辆货运卡车能否通过该隧道
综合能力练巩固提升 迁移运用
8. (2023·陕西中考)陕西饮食文化源远流长,“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.是☉O的一部分,D是的中点,连接OD,与弦AB交于点C,连接OA,OB.已知AB=24 cm,碗深CD=8 cm,则☉O的半径OA为 ( )
A.13 cm B.16 cm
C.17 cm D.26 cm
9.已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在弦AB上.若PA=4,PB=6,则OP= ( )
A. B.4 C. D.5
10.(2023·包头中考)如图,☉O是锐角三角形ABC的外接圆,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F,连接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21,则EF的长为 ( )
A.8 B.4 C.3.5 D.3
11.☉O的直径为10 cm,弦AB∥CD,AB=8 cm,CD=6 cm,则AB和CD的距离是 cm.
12.如图,A,B,C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为 .
13.如图所示,小区内有个圆形花坛O,点C在弦AB上,AC=11,BC=21,OC=13,则这个花坛的面积为 .(结果保留π)
14.(2023·上海中考)如图,在☉O中,弦AB的长为8,点C在BO延长线上,且
cos∠ABC=,OC=OB.
(1)求☉O的半径;
(2)求∠BAC的正切值.
【易错必究 规避陷阱】
易错点 忽视垂径定理的推论中的条件“不是直径”
【案例】下列说法中错误的有 ( )
①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧;
②弦的垂线平分它所对的两条弧;
③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧;
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个*3 垂径定理
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 垂径定理及其推论
1.(2023·宜昌中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 (B)
A.5 B.4 C.3 D.2
2.如图,已知AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为 (B)
A. B. C. D.
3.(2024·毕节赫章县期末)如图,已知☉O的两弦AB,CD相交于E,且点A为的中点,若∠OBA=32°,则∠CEA的度数为 58° .
4.如图,在☉O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若☉O的半径为2,则弦AB的长为 2 .
知识点2 垂径定理的应用
5.(2023·永州中考)如图,☉O是一个盛有水的容器的横截面,☉O的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为 16 cm.
6.如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果C是☉O中弦AB的中点,CD经过圆心O交☉O于点D,并且AB=4 m,CD=6 m,则☉O的半径长为 m.
7.如图,隧道的截面由半圆和长方形构成,长方形的长BC为12 m,宽AB为3 m,若该隧道内设双行道,现有一辆货运卡车高8 m,宽2.3 m,则这辆货运卡车能否通过该隧道
【解析】能通过,
在AD上取中点O与点G,使OG=2.3 m,
过G作EG⊥BC于F,反向延长交半圆于E,
则GF=AB=3 m,
圆的半径OE=AD=6 m,
由勾股定理,得EG=≈5.54,
E点与BC的距离为5.54+3=8.54>8,故能通过.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8. (2023·陕西中考)陕西饮食文化源远流长,“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.是☉O的一部分,D是的中点,连接OD,与弦AB交于点C,连接OA,OB.已知AB=24 cm,碗深CD=8 cm,则☉O的半径OA为 (A)
A.13 cm B.16 cm
C.17 cm D.26 cm
9.已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在弦AB上.若PA=4,PB=6,则OP= (D)
A. B.4 C. D.5
10.(2023·包头中考)如图,☉O是锐角三角形ABC的外接圆,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F,连接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21,则EF的长为 (B)
A.8 B.4 C.3.5 D.3
11.☉O的直径为10 cm,弦AB∥CD,AB=8 cm,CD=6 cm,则AB和CD的距离是 7或1 cm.
12.如图,A,B,C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为 7 .
13.如图所示,小区内有个圆形花坛O,点C在弦AB上,AC=11,BC=21,OC=13,则这个花坛的面积为 400π .(结果保留π)
14.(2023·上海中考)如图,在☉O中,弦AB的长为8,点C在BO延长线上,且
cos∠ABC=,OC=OB.
(1)求☉O的半径;
(2)求∠BAC的正切值.
【解析】(1)过点O作OD⊥AB,垂足为D,
∵AB=8,∴AD=BD=AB=4,
在Rt△OBD中,cos ∠ABC=,
∴OB===5,∴☉O的半径为5.
(2)见全解全析
【易错必究 规避陷阱】
易错点 忽视垂径定理的推论中的条件“不是直径”
【案例】下列说法中错误的有 (C)
①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧;
②弦的垂线平分它所对的两条弧;
③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧;
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
周末小练 适时巩固 请完成
“周周测(十八)”
