4 圆周角和圆心角的关系
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 圆周角定理及推论2
(推论2:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径)
1.(2023·山西中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC,BD为对角线,BD经过圆心O.若∠BAC=40°,则∠DBC的度数为 (B)
A.40° B.50° C.60° D.70°
2.如图,BD是☉O的直径,A,C在圆上,∠A=50°,∠DBC的度数是(C)
A.50° B.45° C.40° D.35°
3.(2023·岳阳中考)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有圆材,径二尺五寸.欲为方版,令厚七寸,问广几何 ”结合如图,其大意是:今有圆形材质,直径BD为25寸,要做成方形板材,使其厚度CD达到7寸.则BC的长是 (C)
A.寸 B.25寸
C.24寸 D.7寸
4.(2023·广东中考)如图,AB是☉O的直径,∠BAC=50°,则∠D= (B)
A.20° B.40° C.50° D.80°
5.如图,已知AB是☉O的直径,AB=2,C,D是圆周上的点,且sin∠CDB=,则BC的长为 .
知识点2 圆周角定理及推论3,推论4
(推论3:圆内接四边形的对角互补;
推论4:圆内接四边形的一个外角等于它的内对角)
6.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是 (B)
A.80° B.100°
C.140° D.160°
7.(2023·绍兴中考)如图,四边形ABCD内接于圆O,若∠D=100°,则∠B的度数是 80° .
8.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,点E在DC的延长线上.若∠A=50°,则∠BCE= 50° .
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.如图,点A,B,C,D在☉O上,AC⊥BC,AC=4,∠ADC=30°,则BC的长为 (A)
A.4 B.8 C.4 D.4
10.如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点,以点O为圆心,线段OB长为半径作弧,交BC于点E,连接DE,则BE的长是 (A)
A.5 B.5 C.5 D.5
11.(2023·赤峰中考)如图,圆内接四边形ABCD中,∠BCD=105°,连接OB,OC,OD,BD,∠BOC=2∠COD.则∠CBD的度数是 (A)
A.25° B.30° C.35° D.40°
12.如图,AB是☉O的直径,∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则☉O的半径为 (D)
A.2 B.3 C.2 D.
13.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=90°,∠BCD=120°,AB=2,CD=1,则AD的长为 (C)
A.2-2 B.3-
C.4- D.2
14.(2023·南充中考)如图,AB是☉O的直径,点D,M分别是弦AC,弧AC的中点,AC=12,BC=5,则MD的长是 4 .
15.(2022·雅安中考)如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角,若
∠DCE=72°,那么∠BOD的度数为 144° .
16.如图,AC是☉O的弦,AC=5,点B是☉O上的一个动点,且∠ABC=45°,若点M,N分别是AC,BC的中点,则MN的最大值是 .
17.(2023·成都中考)如图,以△ABC的边AC为直径作☉O,交BC边于点D,过点C作CE∥AB交☉O于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE.
(1)求证:AC=BC;
(2)若tan B=2,CD=3,求AB和DE的长.
【解析】(1)∵∠ADE=∠ACE,
∠ADE=∠B,
∴∠B=∠ACE.
∵CE∥AB,
∴∠BAC=∠ACE,
∴∠B=∠BAC,
∴AC=BC.
(2)见全解全析4 圆周角和圆心角的关系
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 圆周角的定义
1. 下列图形中的角是圆周角的是 ( )
2.如图,E,F,G为圆上的三点,∠FEG=50°,P点可能是圆心的是 ( )
知识点2 圆周角定理及推论1
3.(2023·云南中考)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点.若∠BOC=66°,则∠A= ( )
A.66° B.33° C.24° D.30°
4.如图,OA,OB是☉O的两条半径,点C在☉O上,若∠AOB=80°,则∠C的度数为 ( )
A.30° B.40°
C.50° D.60°
5.(2023·巴中中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,若∠C=25°,则∠BAO= ( )
A.25° B.50° C.60° D.65°
6.(2023·杭州中考)如图,在☉O中,半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧AB上.若
∠ABC=19°,则∠BAC= ( )
A.23° B.24°
C.25° D.26°
7.(2023·枣庄中考)如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P.若∠A=48°,∠APD=80°,则∠B的度数为 ( )
A.32° B.42°
C.48° D.52°
8.(2023·株洲中考)如图所示,点A,B,C是☉O上不同的三点,点O在△ABC的内部,连接BO,CO,并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A=60°,∠OCD=40°,则∠ODC= 度.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.在同圆中,同弦所对的圆周角 ( )
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.互余
10.(2023·凉山州中考)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC= ( )
A.1 B.2 C.2 D.4
11.如图,圆O的半径为6,点A,B,C在圆O上,且∠ACB=45°,则弦AB的长是 ( )
A.5 B.6
C.6 D.6
12.(2023·吉林中考)如图,AB,AC是☉O的弦,OB,OC是☉O的半径,点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是( )
A.70° B.105° C.125° D.155°
13.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠ADC=30°,则∠BOC= 度.
14.已知☉O的直径长为2,弦AC长为,那么弦AC所对的圆周角的度数等于 .
15.如图,在☉O中,弦AC=2,点B是圆上一点,且∠ABC=45°,则☉O的半径R= .
16.如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的☉O的圆心O在格点上,则∠BED的余弦值等于 .
17. (2023·武汉中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,∠ACB=
2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若AB=4,BC=,求☉O的半径.
【易错必究 规避陷阱】
易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错
【案例】在☉O中,直径为4,弦AB=2,点C是圆上不同于A,B的点,那么∠ACB的度数为 . 4 圆周角和圆心角的关系
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 圆周角的定义
1.(概念应用题)下列图形中的角是圆周角的是 (C)
2.如图,E,F,G为圆上的三点,∠FEG=50°,P点可能是圆心的是 (C)
知识点2 圆周角定理及推论1
3.(2023·云南中考)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点.若∠BOC=66°,则∠A= (B)
A.66° B.33° C.24° D.30°
4.如图,OA,OB是☉O的两条半径,点C在☉O上,若∠AOB=80°,则∠C的度数为 (B)
A.30° B.40°
C.50° D.60°
5.(2023·巴中中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,若∠C=25°,则∠BAO= (D)
A.25° B.50° C.60° D.65°
6.(2023·杭州中考)如图,在☉O中,半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧AB上.若
∠ABC=19°,则∠BAC= (D)
A.23° B.24°
C.25° D.26°
7.(2023·枣庄中考)如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P.若∠A=48°,∠APD=80°,则∠B的度数为 (A)
A.32° B.42°
C.48° D.52°
8.(2023·株洲中考)如图所示,点A,B,C是☉O上不同的三点,点O在△ABC的内部,连接BO,CO,并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A=60°,∠OCD=40°,则∠ODC= 80 度.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.在同圆中,同弦所对的圆周角 (C)
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.互余
10.(2023·凉山州中考)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC= (B)
A.1 B.2 C.2 D.4
11.如图,圆O的半径为6,点A,B,C在圆O上,且∠ACB=45°,则弦AB的长是 (C)
A.5 B.6
C.6 D.6
12.(2023·吉林中考)如图,AB,AC是☉O的弦,OB,OC是☉O的半径,点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是(D)
A.70° B.105° C.125° D.155°
13.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠ADC=30°,则∠BOC= 120 度.
14.已知☉O的直径长为2,弦AC长为,那么弦AC所对的圆周角的度数等于 45°或135° .
15.如图,在☉O中,弦AC=2,点B是圆上一点,且∠ABC=45°,则☉O的半径R= .
16.如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的☉O的圆心O在格点上,则∠BED的余弦值等于 .
17.(素养提升题)(2023·武汉中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,∠ACB=
2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若AB=4,BC=,求☉O的半径.
【解析】(1)∵∠ACB=∠AOB,
∠BAC=∠BOC,∠ACB=2∠BAC,
∴∠AOB=2∠BOC.
(2)见全解全析
【易错必究 规避陷阱】
易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错
【案例】在☉O中,直径为4,弦AB=2,点C是圆上不同于A,B的点,那么∠ACB的度数为 60°或120° . 4 圆周角和圆心角的关系
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 圆周角定理及推论2
(推论2:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径)
1.(2023·山西中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC,BD为对角线,BD经过圆心O.若∠BAC=40°,则∠DBC的度数为 ( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
2.如图,BD是☉O的直径,A,C在圆上,∠A=50°,∠DBC的度数是( )
A.50° B.45° C.40° D.35°
3.(2023·岳阳中考)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有圆材,径二尺五寸.欲为方版,令厚七寸,问广几何 ”结合如图,其大意是:今有圆形材质,直径BD为25寸,要做成方形板材,使其厚度CD达到7寸.则BC的长是 ( )
A.寸 B.25寸
C.24寸 D.7寸
4.(2023·广东中考)如图,AB是☉O的直径,∠BAC=50°,则∠D= ( )
A.20° B.40° C.50° D.80°
5.如图,已知AB是☉O的直径,AB=2,C,D是圆周上的点,且sin∠CDB=,则BC的长为 .
知识点2 圆周角定理及推论3,推论4
(推论3:圆内接四边形的对角互补;
推论4:圆内接四边形的一个外角等于它的内对角)
6.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是 ( )
A.80° B.100°
C.140° D.160°
7.(2023·绍兴中考)如图,四边形ABCD内接于圆O,若∠D=100°,则∠B的度数是 .
8.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,点E在DC的延长线上.若∠A=50°,则∠BCE= .
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.如图,点A,B,C,D在☉O上,AC⊥BC,AC=4,∠ADC=30°,则BC的长为 ( )
A.4 B.8 C.4 D.4
10.如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点,以点O为圆心,线段OB长为半径作弧,交BC于点E,连接DE,则BE的长是 ( )
A.5 B.5 C.5 D.5
11.(2023·赤峰中考)如图,圆内接四边形ABCD中,∠BCD=105°,连接OB,OC,OD,BD,∠BOC=2∠COD.则∠CBD的度数是 ( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
12.如图,AB是☉O的直径,∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则☉O的半径为 ( )
A.2 B.3 C.2 D.
13.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=90°,∠BCD=120°,AB=2,CD=1,则AD的长为 ( )
A.2-2 B.3-
C.4- D.2
14.(2023·南充中考)如图,AB是☉O的直径,点D,M分别是弦AC,弧AC的中点,AC=12,BC=5,则MD的长是 .
15.(2022·雅安中考)如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角,若
∠DCE=72°,那么∠BOD的度数为 .
16.如图,AC是☉O的弦,AC=5,点B是☉O上的一个动点,且∠ABC=45°,若点M,N分别是AC,BC的中点,则MN的最大值是 .
17.(2023·成都中考)如图,以△ABC的边AC为直径作☉O,交BC边于点D,过点C作CE∥AB交☉O于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE.
(1)求证:AC=BC;
(2)若tan B=2,CD=3,求AB和DE的长.
