6 直线和圆的位置关系
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 切线的判定定理
1. (2022·毕节织金县期末)如图,以点O为圆心作圆,所得的圆与直线a相切的是 (D)
A.以OA为半径的圆
B.以OB为半径的圆
C.以OC为半径的圆
D.以OD为半径的圆
2.如图,AB是☉O的直径,下列条件中不能判定直线AT是☉O的切线的是 (D)
A.AB=4,AT=3,BT=5
B.∠B=45°,AB=AT
C.∠B=55°,∠TAC=55°
D.∠ATC=∠B
3.如图,点A,B,D在☉O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点C,且∠OCB=40°,直线BC与☉O的位置关系为 相切 .
4. (2023·扬州中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,且∠BCD=
∠A,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C,D两点.
(1)试判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若sin B=,☉O的半径为3,求AC的长.
【解析】(1)直线AB与☉O相切,
理由:连接OD,
∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,
∴∠DOB=∠OCD+∠ODC=2∠BCD,
∴∠BCD=∠BOD,
∵∠BCD=∠A,∴∠BOD=∠A,
∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,
∴∠BOD+∠B=90°,∴∠BDO=90°,
∵OD是☉O的半径,
∴直线AB与☉O相切;
(2)见全解全析
知识点2 三角形的内切圆和内心
5.(2024·黔东南黄平县模拟)如图,点O是△ABC的内心,也是△DBC的外心.若
∠A=80°,则∠D的度数是 (B)
A.60° B.65° C.70° D.75°
6.如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是 70° .
7.(2023·毕节威宁期中)如图,☉O是△ABC的内切圆,若∠A=58°,则∠BOC= 119° .
综合能力练巩固提升 迁移运用
8. 如图,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,则 (C)
A.EF>AE+BF B.EF
C.EF=AE+BF D.EF≤AE+BF
9.(2023·仙桃中考)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= 35° .
10.如图,△ABC的内切圆半径是1,△ABC的周长为48,则△ABC的面积为 24 .
11.(2023·广西中考)如图,PO平分∠APD,PA与☉O相切于点A,延长AO交PD于点C,过点O作OB⊥PD,垂足为B.
(1)求证:PB是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为4,OC=5,求PA的长.
【解析】(1)∵PA与☉O相切于点A,且OA是☉O的半径,∴PA⊥OA,
∵PO平分∠APD,OB⊥PD于点B,OA⊥PA于点A,
∴OB=OA,
∴点B在☉O上,
∵OB是☉O的半径,且PB⊥OB,
∴PB是☉O的切线.
(2)∵OA=OB=4,OC=5,
∴AC=OA+OC=4+5=9,
∵∠OBC=90°,
∴BC===3,
∵∠A=90°,
∴tan ∠ACP===,
∴PA=AC=×9=12,
∴PA的长是12.
12.(素养提升题)如图,☉O是△ABC的内切圆,过点O作DE∥BC,与AB,AC分别交于点D,E.
(1)求证:BD+CE=DE;
(2)若∠BAC=70°,求∠BOC的度数.
【解析】(1)∵☉O是△ABC的内切圆,
∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∵DE∥BC,
∴∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠OCB,
∴∠DBO=∠DOB,∠ECO=∠EOC,
∴BD=DO,EO=EC,
∴BD+CE=DE;
(2)∵∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
在△OBC中,∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-(180°-70°)=125°.
周末小练 适时巩固 请完成
“周周测(十九)”6 直线和圆的位置关系
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 切线的判定定理
1. (2022·毕节织金县期末)如图,以点O为圆心作圆,所得的圆与直线a相切的是 ( )
A.以OA为半径的圆
B.以OB为半径的圆
C.以OC为半径的圆
D.以OD为半径的圆
2.如图,AB是☉O的直径,下列条件中不能判定直线AT是☉O的切线的是 ( )
A.AB=4,AT=3,BT=5
B.∠B=45°,AB=AT
C.∠B=55°,∠TAC=55°
D.∠ATC=∠B
3.如图,点A,B,D在☉O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点C,且∠OCB=40°,直线BC与☉O的位置关系为 .
4. (2023·扬州中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,且∠BCD=
∠A,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C,D两点.
(1)试判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若sin B=,☉O的半径为3,求AC的长.
知识点2 三角形的内切圆和内心
5.(2024·黔东南黄平县模拟)如图,点O是△ABC的内心,也是△DBC的外心.若
∠A=80°,则∠D的度数是 ( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
6.如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是 .
7.(2023·毕节威宁期中)如图,☉O是△ABC的内切圆,若∠A=58°,则∠BOC= .
综合能力练巩固提升 迁移运用
8. 如图,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,则 ( )
A.EF>AE+BF B.EFC.EF=AE+BF D.EF≤AE+BF
9.(2023·仙桃中考)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= .
10.如图,△ABC的内切圆半径是1,△ABC的周长为48,则△ABC的面积为 .
11.(2023·广西中考)如图,PO平分∠APD,PA与☉O相切于点A,延长AO交PD于点C,过点O作OB⊥PD,垂足为B.
(1)求证:PB是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为4,OC=5,求PA的长.
12. 如图,☉O是△ABC的内切圆,过点O作DE∥BC,与AB,AC分别交于点D,E.
(1)求证:BD+CE=DE;
(2)若∠BAC=70°,求∠BOC的度数.