8 圆内接正多边形
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点 正多边形的有关概念及性质
1.下列说法中,不正确的是 ( )
A.正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
B.各边相等且各角相等的多边形是正多边形
C.正多边形的内切圆和外接圆是同心圆
D.正多边形既是轴对称图形,又是中心对称图形
2.(2023·安徽中考)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接OC,OD,则∠BAE-
∠COD=( )
A.60° B.54° C.48° D.36°
3.(2023·自贡中考)第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案,小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°,算出这个正多边形的边数是( )
A.9 B.10 C.11 D.12
4.如图,已知☉O的周长等于6π,则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为 ( )
A.3 B. C. D.3
5.在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中,一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题,让世界观众感受了中国人的浪漫.如图,将“雪花”图案(边长为4的正六边形ABCDEF)放在平面直角坐标系中,若AB与x轴垂直,顶点A的坐标为(2,-3),则顶点C的坐标为 ( )
A.(2-2,3) B.(0,1+2)
C.(2-,3) D.(2-2,2+)
6.(2023·黄冈中考)若正n边形的一个外角为72°,则n= .
7.正六边形的边长、半径、边心距之比为 .
8.(2023·重庆中考A卷)如图,正五边形ABCDE中,连接AC,那么∠BAC的度数为
.
9.如图,点G,H分别是正六边形ABCDEF的边BC,CD上的点,且BG=CH,AG交BH于点P.
(1)求证:△ABG≌△BCH;
(2)求∠APH的度数.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.(2023·枣庄中考)如图,一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上,若∠1=44°,则∠2的度数为 ( )
A.14° B.16° C.24° D.26°
11.如图,☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点,则∠AOC的度数是( )
A.144° B.130° C.129° D.108°
12. (2023·衡阳中考)如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是 .
13.(2023·陕西中考)如图,正八边形的边长为2,对角线AB,CD相交于点E.则线段BE的长为 .
14.如图,正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于☉O,且有公共顶点A,则
∠BOH的度数为 度.
15. 某同学在学习了正多边形和圆之后,对正五边形的边及相关线段进行研究,发现多处出现著名的黄金分割比≈0.618.如图,圆内接正五边形ABCDE,圆心为O,OA与BE交于点H,AC,AD与BE分别交于点M,N.根据圆与正五边形的对称性,只对部分图形进行研究.(其他可同理得出)
(1)求证:△ABM是等腰三角形且底角等于36°,并直接说出△BAN的形状;
(2)求证:=,且其比值k=;
(3)由对称性知AO⊥BE,由(1)(2)可知也是一个黄金分割数,据此求sin18°的值.
【易错必究 规避陷阱】
易错点 误认为正多边形的边心距是正多边形的半径
【案例】一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍,则这个正多边形的半径是 ( )
A.2 B. C.1 D.8 圆内接正多边形
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点 正多边形的有关概念及性质
1.下列说法中,不正确的是 (D)
A.正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
B.各边相等且各角相等的多边形是正多边形
C.正多边形的内切圆和外接圆是同心圆
D.正多边形既是轴对称图形,又是中心对称图形
2.(2023·安徽中考)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接OC,OD,则∠BAE-
∠COD=(D)
A.60° B.54° C.48° D.36°
3.(2023·自贡中考)第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案,小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°,算出这个正多边形的边数是(D)
A.9 B.10 C.11 D.12
4.如图,已知☉O的周长等于6π,则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为 (C)
A.3 B. C. D.3
5.在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中,一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题,让世界观众感受了中国人的浪漫.如图,将“雪花”图案(边长为4的正六边形ABCDEF)放在平面直角坐标系中,若AB与x轴垂直,顶点A的坐标为(2,-3),则顶点C的坐标为 (A)
A.(2-2,3) B.(0,1+2)
C.(2-,3) D.(2-2,2+)
6.(2023·黄冈中考)若正n边形的一个外角为72°,则n= 5 .
7.正六边形的边长、半径、边心距之比为 2∶2∶ .
8.(2023·重庆中考A卷)如图,正五边形ABCDE中,连接AC,那么∠BAC的度数为
36° .
9.如图,点G,H分别是正六边形ABCDEF的边BC,CD上的点,且BG=CH,AG交BH于点P.
(1)求证:△ABG≌△BCH;
(2)求∠APH的度数.
【解析】(1)∵在正六边形ABCDEF中,
AB=BC,∠ABC=∠C=120°,
在△ABG和△BCH中,,
∴△ABG≌△BCH;
(2)由(1)知△ABG≌△BCH,
∴∠BAG=∠HBC,
∴∠BPG=∠ABG=120°,
∴∠APH=∠BPG=120°.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.(2023·枣庄中考)如图,一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上,若∠1=44°,则∠2的度数为 (B)
A.14° B.16° C.24° D.26°
11.如图,☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点,则∠AOC的度数是(A)
A.144° B.130° C.129° D.108°
12. (2023·衡阳中考)如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是 10 .
13.(2023·陕西中考)如图,正八边形的边长为2,对角线AB,CD相交于点E.则线段BE的长为 2+ .
14.如图,正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于☉O,且有公共顶点A,则
∠BOH的度数为 12 度.
15.(素养提升题) 某同学在学习了正多边形和圆之后,对正五边形的边及相关线段进行研究,发现多处出现著名的黄金分割比≈0.618.如图,圆内接正五边形ABCDE,圆心为O,OA与BE交于点H,AC,AD与BE分别交于点M,N.根据圆与正五边形的对称性,只对部分图形进行研究.(其他可同理得出)
(1)求证:△ABM是等腰三角形且底角等于36°,并直接说出△BAN的形状;
(2)求证:=,且其比值k=;
(3)由对称性知AO⊥BE,由(1)(2)可知也是一个黄金分割数,据此求sin18°的值.
【解析】(1)连接圆心O与正五边形各顶点,
在正五边形中,
∠AOE=360°÷5=72°,
∴∠ABE=∠AOE=36°,
同理,∠BAC=×72°=36°,
∴AM=BM,∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°,
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=72°+72°=144°,∴∠BAD=∠BOD=72°,
∴∠BNA=180°-∠BAD-∠ABE=72°,
∴AB=NB,即△BAN为等腰三角形;
(2)(3)见全解全析
【易错必究 规避陷阱】
易错点 误认为正多边形的边心距是正多边形的半径
【案例】一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍,则这个正多边形的半径是 (A)
A.2 B. C.1 D.
