第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 正切
1.(2024·贵阳云岩区期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若各边都扩大为原来的3倍,则tan A的值 ( )
A.缩小为原来的
B.扩大为原来的3倍
C.不变
D.不能确定
2. 如图,在Rt△EFG中,∠F=90°,则tanE= ( )
A. B.
C. D.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,且tanA=,则AC= .
4.在正方形网格中,∠AOB如图放置,则tan ∠AOB的值为 .
5.在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,则tanB=.
6.已知Rt△ABC中,∠B=32°,tan B=,则∠C的度数为 .
知识点2 坡度(坡比)
7.(2023·安顺市普定县质检)斜面坡度常用来反映斜坡的倾斜程度.如图,斜坡AB的斜面坡度为 ( )
A.1∶4 B.4∶1
C.∶1 D.1∶
8.如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡AB的坡度i=1∶2.5,则此斜坡的水平距离AC为( )
A.75 m B.50 m
C.30 m D.12 m
9.(2022·毕节中考)如图,某地修建的一座建筑物的截面图的高BC=5 m,坡面AB的坡度为1∶,则AB的长度为 ( )
A.10 m B.10 m
C.5 m D.5 m
综合能力练巩固提升 迁移运用
10. 如图,一个小球由地面沿着坡度i=1∶2的坡面向上前进了2 m,此时小球距离地面的高度为 ( )
A.5 m B.2 m
C.2 m D. m
11.如图,已知在平面直角坐标系xOy内有一点A(2,3),那么OA与x轴正半轴的夹角α的正切值是 ( )
A. B.
C. D.
12.(2023·铜仁德江县模拟)如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,若EF=6,BC=13,CD=5,则tan C等于
13.如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,BC是建筑物底端的一个平台,斜坡CD的坡度(或坡比)为i=1∶0.75,坡长为10米,DE为地平面(A,B,C,D,E均在同一平面内),则平台距地面的高度为 .
14.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2,坡顶有一旗杆BC,顶端B点与A点有一条彩带相连,已知CD=3米,AB=10米,则旗杆BC的高度为 米.
15. 如图是某水库大坝的横截面,坝高CD=20 m,背水坡BC的坡度为i1=1∶1.为了对水库大坝进行升级加固,降低背水坡的倾斜程度,设计人员准备把背水坡的坡度改为i2=1∶,求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.
(参考数据:≈1.41,≈1.73.结果精确到0.1 m)
易错点 对正切概念理解不清
【案例】在Rt△ABC中,∠C=90°,各边都扩大5倍,则tanA的值 ( )
A.不变 B.扩大5倍
C.缩小5倍 D.不能确定1 锐角三角函数
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 正弦和余弦
1. 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5,AC=13,则sinA的值为( )
A. B.
C. D.
2.(2023·南充中考)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距 ( )
A.米 B.米
C.x·sin α米 D.x·cos α米
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则sinB的值是 ( )
A. B. C. D.
4.(2024·黔南州贵定县质检)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,CD=4,AC=6,则cos A的值是 ( )
A. B. C. D.
5.(2024·铜仁德江县质检)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,3)和点B(7,0),则sin ∠ABO的值等于
6.一等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm,则其底角的余弦值为
知识点2 锐角三角函数
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,下列四个选项,正确的是( )
A.tan B=
B.tan A=
C.sin B=
D.cos A=
8.如图,在△ABC中,sinB=,tanC=2,AB=3,则AC的长为 ( )
A. B.
C. D.2
9.梯子与地面的夹角为A,tan A的值越 ,梯子越陡;sin A的值越 ,梯子越陡;cos A的值越 ,梯子越陡.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10. (2023·贵阳乌当区模拟)如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则
cos ∠ABC的值为 ( )
A. B. C. D.
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC∶BC=1∶2,则∠A的正弦值为 ( )
A. B. C.2 D.
12. 在Rt△ABC中,∠C=90°,若△ABC的三边都缩小为原来的,则sin A的值( )
A.放大5倍 B.缩小为原来的
C.不变 D.无法确定
13.(2023·内江中考)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为.
14.(2024·遵义赤水市质检)在锐角△ABC中,AB=15,BC=14,S△ABC=84,求:
(1)tan C的值;
(2)sin A的值.
15.
如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且a=3,c=5.
(1)求sin A,cos A,sin B,cos B的值;
(2)根据(1)的结果,可得出sin A,cos A,sin B,cos B的值中哪些是相等的
(3)计算tan A与tan B,比较它们的值有何关系.
易错点 忽略对直角三角形哪个角为直角的讨论
【案例】在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cos C= . 第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 正切
1.(2024·贵阳云岩区期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若各边都扩大为原来的3倍,则tan A的值 (C)
A.缩小为原来的
B.扩大为原来的3倍
C.不变
D.不能确定
2.(概念应用题)如图,在Rt△EFG中,∠F=90°,则tanE= (A)
A. B.
C. D.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,且tanA=,则AC= 6 .
4.在正方形网格中,∠AOB如图放置,则tan ∠AOB的值为 2 .
5.在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,则tanB=.
6.已知Rt△ABC中,∠B=32°,tan B=,则∠C的度数为 58° .
知识点2 坡度(坡比)
7.(2023·安顺市普定县质检)斜面坡度常用来反映斜坡的倾斜程度.如图,斜坡AB的斜面坡度为 (D)
A.1∶4 B.4∶1
C.∶1 D.1∶
8.如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡AB的坡度i=1∶2.5,则此斜坡的水平距离AC为(A)
A.75 m B.50 m
C.30 m D.12 m
9.(2022·毕节中考)如图,某地修建的一座建筑物的截面图的高BC=5 m,坡面AB的坡度为1∶,则AB的长度为 (A)
A.10 m B.10 m
C.5 m D.5 m
综合能力练巩固提升 迁移运用
10.(生活情境题)如图,一个小球由地面沿着坡度i=1∶2的坡面向上前进了2 m,此时小球距离地面的高度为 (C)
A.5 m B.2 m
C.2 m D. m
11.如图,已知在平面直角坐标系xOy内有一点A(2,3),那么OA与x轴正半轴的夹角α的正切值是 (A)
A. B.
C. D.
12.(2023·铜仁德江县模拟)如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,若EF=6,BC=13,CD=5,则tan C等于.
13.如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,BC是建筑物底端的一个平台,斜坡CD的坡度(或坡比)为i=1∶0.75,坡长为10米,DE为地平面(A,B,C,D,E均在同一平面内),则平台距地面的高度为 8米 .
14.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2,坡顶有一旗杆BC,顶端B点与A点有一条彩带相连,已知CD=3米,AB=10米,则旗杆BC的高度为 5 米.
15.(素养提升题)如图是某水库大坝的横截面,坝高CD=20 m,背水坡BC的坡度为i1=1∶1.为了对水库大坝进行升级加固,降低背水坡的倾斜程度,设计人员准备把背水坡的坡度改为i2=1∶,求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.
(参考数据:≈1.41,≈1.73.结果精确到0.1 m)
【解析】在Rt△BCD中,
∵BC的坡度为i1=1∶1,
∴=1,
∴CD=BD=20 m,
在Rt△ACD中,
∵AC的坡度为i2=1∶,
∴=,
∴AD=CD=20 m,
∴AB=AD-BD=20-20≈14.6(m),
∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6 m.
易错点 对正切概念理解不清
【案例】在Rt△ABC中,∠C=90°,各边都扩大5倍,则tanA的值 (A)
A.不变 B.扩大5倍
C.缩小5倍 D.不能确定1 锐角三角函数
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 正弦和余弦
1.(概念应用题)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5,AC=13,则sinA的值为(A)
A. B.
C. D.
2.(2023·南充中考)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距 (B)
A.米 B.米
C.x·sin α米 D.x·cos α米
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则sinB的值是 (D)
A. B. C. D.
4.(2024·黔南州贵定县质检)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,CD=4,AC=6,则cos A的值是 (D)
A. B. C. D.
5.(2024·铜仁德江县质检)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,3)和点B(7,0),则sin ∠ABO的值等于.
6.一等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm,则其底角的余弦值为.
知识点2 锐角三角函数
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,下列四个选项,正确的是(C)
A.tan B=
B.tan A=
C.sin B=
D.cos A=
8.如图,在△ABC中,sinB=,tanC=2,AB=3,则AC的长为 (B)
A. B.
C. D.2
9.梯子与地面的夹角为A,tan A的值越 大 ,梯子越陡;sin A的值越 大 ,梯子越陡;cos A的值越 小 ,梯子越陡.
综合能力练巩固提升 迁移运用
10. (2023·贵阳乌当区模拟)如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则
cos ∠ABC的值为 (B)
A. B. C. D.
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC∶BC=1∶2,则∠A的正弦值为 (B)
A. B. C.2 D.
12.(易错警示题)在Rt△ABC中,∠C=90°,若△ABC的三边都缩小为原来的,则sin A的值(C)
A.放大5倍 B.缩小为原来的
C.不变 D.无法确定
13.(2023·内江中考)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为.
14.(2024·遵义赤水市质检)在锐角△ABC中,AB=15,BC=14,S△ABC=84,求:
(1)tan C的值;
(2)sin A的值.
【解析】(1)过A作AD⊥BC于点D.
∵S△ABC=BC·AD=84,
∴×14×AD=84,∴AD=12.
又∵AB=15,
∴BD==9.
∴CD=CB-BD=14-9=5.
在Rt△ADC中,AC==13,
∴tan C==;
(2)过B作BE⊥AC于点E.
∵S△ABC=AC·EB=84,∴BE=,
∴sin ∠BAC===.
15.(素养提升题)
如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且a=3,c=5.
(1)求sin A,cos A,sin B,cos B的值;
(2)根据(1)的结果,可得出sin A,cos A,sin B,cos B的值中哪些是相等的
(3)计算tan A与tan B,比较它们的值有何关系.
【解析】(1)∵△ABC为直角三角形,
∴根据勾股定理a2+b2=c2.
∵a=3,c=5,∴b==4,
∴sin A==,cos A==,sin B==,cos B==.
(2)由(1)的结果可得,相等的有:sin A=cos B,cos A=sin B.
(3)∵tan A==,tan B==,
∴tan A与tan B的值互为倒数.
易错点 忽略对直角三角形哪个角为直角的讨论
【案例】在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cos C= 或 .
