4 解直角三角形
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 已知“两边”解直角三角形
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AB=2,则∠B等于 (C)
A.15° B.20° C.30° D.60°
2.(2024·贵阳白云区期末)如图,∠C=90°,BC=6,AC=8,DA⊥BA于点A,若sin D=,则AD长为 24 .
3.为了学生的安全,某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形,DE=10 m,其坡度为i1=1∶,将步梯DE改造为斜坡AF,其坡度为i2=1∶4,求斜坡AF的长度.(结果精确到0.01 m,参考数据:≈1.732,≈4.122)
【解析】∵DE=10 m,其坡度为i1=1∶,
∴CE=DC,
∴在Rt△DCE中,DE==2DC,
即2DC=10,解得DC=5.
∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD=5.
∵斜坡AF的坡度为i2=1∶4,
∴=,
∴BF=4AB=20,∴在Rt△ABF中,AF==5≈20.61(m).
∴斜坡AF的长度约为20.61 m.
知识点2 已知“一边一角”解直角三角形
4.(2024·遵义赤水市模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,∠DBC=
∠A,若AC=4,cos A=,则BD的长度为.
5.(2024·安顺市普定县质检)如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限内,其坐标为(6,y),连接OA,OA与x轴正半轴的夹角α的正切值是,则y的值是 8 .
知识点3 解锐角三角形或钝角三角形
6.在△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,AC=6,则AB的长是 (B)
A.2(+1) B.3(+1)
C.4(+1) D.5(+1)
7.如图,在△ABC中,已知AD是BC边上的高,DC=1,BD=2,tan B=cos ∠DAC,则AB的值为.
8.(2022·齐齐哈尔中考)在△ABC中,AB=3,AC=6,∠B=45°,则BC=
3+3或3-3 .
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·毕节织金县质检)如图,AD是△ABC的高,若BD=2CD=6,sin∠DAC=,则边AB的长为 (D)
A.2 B.4 C.3 D.6
10.(2024·黔东南剑河县期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过点D作AB的垂线交AC于点E,AC=16,cos A=,则DE为 (A)
A. B.10 C. D.15
11.(2022·常州中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,DB平分∠ADC.若
AD=1,CD=3,则sin∠ABD=.
12.(2023·武汉中考)如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm,若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 2.7 cm.(结果精确到0.1 cm,参考数据sin 37°≈0.60,
cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
13.(素养提升题)如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,sinB=,延长边BA至点D,使AD=AC,连接CD.
(1)求∠D的正切值;
(2)取边AC的中点E,连接BE并延长交边CD于点F,求的值.
【解析】(1)过点C作CG⊥AB,垂足为G,
∵∠ACB=90°,∴∠ACG=∠B,
在△ABC中,sinB=,设AC=3x,
则AB=5x,BC=4x,
∴sin∠ACG===sinB,
∴AG=x,CG=x,
∴DG=DA+AG=3x+x=x,
在Rt△DCG中,tan D==;
(2)过点C作CH∥DB,交BF的延长线于点H,则有△CHF∽△DBF,
又有E是AC的中点,可证△CHE≌△ABE,
∴HC=AB=5x,由△CHF∽△DBF得:===.
在任意三角形中,已知两边和一角,若不为夹角,需要讨论三角形是锐角三角形或是钝角三角形.
已知,在△ABC中,∠A=45°,AB=4,BC=5,则△ABC的面积为 2或14 . 4 解直角三角形
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 已知“两边”解直角三角形
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AB=2,则∠B等于 ( )
A.15° B.20° C.30° D.60°
2.(2024·贵阳白云区期末)如图,∠C=90°,BC=6,AC=8,DA⊥BA于点A,若sin D=,则AD长为 .
3.为了学生的安全,某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形,DE=10 m,其坡度为i1=1∶,将步梯DE改造为斜坡AF,其坡度为i2=1∶4,求斜坡AF的长度.(结果精确到0.01 m,参考数据:≈1.732,≈4.122)
知识点2 已知“一边一角”解直角三角形
4.(2024·遵义赤水市模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,∠DBC=
∠A,若AC=4,cos A=,则BD的长度为.
5.(2024·安顺市普定县质检)如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限内,其坐标为(6,y),连接OA,OA与x轴正半轴的夹角α的正切值是,则y的值是 .
知识点3 解锐角三角形或钝角三角形
6.在△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,AC=6,则AB的长是 ( )
A.2(+1) B.3(+1)
C.4(+1) D.5(+1)
7.如图,在△ABC中,已知AD是BC边上的高,DC=1,BD=2,tan B=cos ∠DAC,则AB的值为
8.(2022·齐齐哈尔中考)在△ABC中,AB=3,AC=6,∠B=45°,则BC=
.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·毕节织金县质检)如图,AD是△ABC的高,若BD=2CD=6,sin∠DAC=,则边AB的长为 ( )
A.2 B.4 C.3 D.6
10.(2024·黔东南剑河县期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过点D作AB的垂线交AC于点E,AC=16,cos A=,则DE为 ( )
A. B.10 C. D.15
11.(2022·常州中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,DB平分∠ADC.若
AD=1,CD=3,则sin∠ABD=.
12.(2023·武汉中考)如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm,若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm.(结果精确到0.1 cm,参考数据sin 37°≈0.60,
cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
13. 如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,sinB=,延长边BA至点D,使AD=AC,连接CD.
(1)求∠D的正切值;
(2)取边AC的中点E,连接BE并延长交边CD于点F,求的值.
在任意三角形中,已知两边和一角,若不为夹角,需要讨论三角形是锐角三角形或是钝角三角形.
已知,在△ABC中,∠A=45°,AB=4,BC=5,则△ABC的面积为 .
