第二章 一元二次方程
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.一元二次方程3x2-5x-3=0的一次项系数是 (B)
A.3 B.-5 C.-3 D.0
2.(2024·遵义红花岗区期中)若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+5=0的一个根,则m的值是 (C)
A.2 B.-2 C. D.-
3.(2024·铜仁石阡县质检)用配方法解方程x2-4x-3=0,下列配方正确的是 (D)
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=7
C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=7
4.关于x的一元二次方程x2-2x-6=0的根的情况是 (A)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能确定
5.已知M=a2-a,N=a-1(a为任意实数),则M,N的大小关系为(B)
A.M>N B.M≥N C.M
6.如图,一块长16 m,宽8 m的矩形菜地,现要在中间铺设同样宽度的石子路,余下的部分用于种植,且种植面积为105 m2.设石子路的宽度为x m,则下面所列方程正确的是 (B)
A.(16-x)(8-x)+x2=105 B.(16-x)(8-x)=105
C.(16-2x)(8-x)+x2=105 D.(16-2x)(8-x)=105
7.关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两根x1,x2,满足x1+x2-x1x2<-1,则k的取值范围是(C)
A.k>-2 B.k>2 C.-28.某省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛,则参加比赛的队伍共有 (D)
A.8支 B.9支 C.10支 D.11支
9.(2023·兰州中考)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,则b2-2(1+2c)= (A)
A.-2 B.2 C.-4 D.4
10.如图,一块长为a m,宽为b m的长方形土地的周长为18 m,面积为14 m2,现将该长方形土地的长、宽都增加2 m,则扩建后的长方形土地的面积为 (B)
A.32 m2 B.36 m2 C.27 m2 D.38 m2
11.关于x的方程mx2+x-m+1=0,有以下三个结论:①当m=0时,方程只有一个实数解;②当m≠0时,方程有两个不相等的实数解;③无论m取何值,方程都有一个负数解.其中正确的是 (C)
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
12.(2024·贵阳花溪区期中)定义:关于x的一元二次方程:a1(x-m)2+n=0与a2(x-m)2+n=0,称为“同族二次方程”.如2(x-3)2+4=0与3(x-3)2+4=0是“同族二次方程”.若关于x的一元二次方程:2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”.则代数式-ax2+bx+2 019的最大值是 (A)
A.2 024 B.2 023 C.2 022 D.2 021
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·潍坊中考)用与教材中相同型号的计算器,依次按键,显示结果为2.236 067 977.借助显示结果,可以将一元二次方程x2+x-1=0的正数解近似表示为 0.618 .(精确到0.001)
14.若关于x的方程(k-1)x|k|+1-4x+5=0是一元二次方程,则k= -1 .
15.已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1,x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:①x1≠x2;②x1x216.一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.若销售单价降低x元,那么平均每天销售数量为 (20+2x) 件(用含有x的代数式表示),每件商品降价 10 元时该商店每天销售利润为1 200元.
三、解答题(共98分)
17.(10分)用适当的方法解下列方程:
(1)x2+2x-5=0;
(2)(x-2)2+x(x-2)=0.
【解析】(1)x2+2x-5=0,x2+2x+1=6,(x+1)2=6,
∴x+1=±,解得x1=-1+,x2=-1-;
(2)(x-2)2+x(x-2)=0,
(x-2)(x-2+x)=0,即(x-2)(2x-2)=0,
∴x-2=0或2x-2=0,解得x1=2,x2=1.
18.(10分)已知x1,x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使得等式+=k-2成立 如果存在,请求出k的值;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)∵一元二次方程x2-2x+k+2=0有两个实数根,
∴Δ=(-2)2-4×1×(k+2)≥0,解得k≤-1.
(2)∵x1,x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根,
∴x1+x2=2,x1x2=k+2.
∵+=k-2,∴==k-2,
∴k2-6=0,解得k1=-,k2=.
又∵k≤-1,∴k=-.
∴存在这样的k值,使得等式+=k-2成立,k值为-.
19.(10分)在一堂数学、美术的融合课中,每个同学桌上都有一段长60 cm的铁丝,需要将铁丝剪成两段,并把每一段铁丝做成一个配件.
(1)填空:小东想做两个正方形配件,若设其中一个正方形配件的边长为x cm,则另一个正方形配件的边长为____________cm(请用含x的代数式表示);
(2)在(1)的基础上,若小东想让做成的两个正方形配件满足面积之和等于100 cm2,请问小东的想法能否实现 为什么
【解析】(1)∵两段铁丝的总长度为60 cm,且做成的一个正方形配件的边长为x cm,
∴另一个正方形配件的边长为=(15-x)cm.
答案:(15-x)
(2)小东的想法不能实现,理由如下:
假设小东的想法能实现,根据题意得:x2+(15-x)2=100,
整理得:2x2-30x+125=0,
∵Δ=(-30)2-4×2×125=-100<0,
∴原方程没有实数根,∴假设不成立,即小东的想法不能实现.
20.(10分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(b-c)=0,其中a,b,c分别是△ABC的三边长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
【解析】(1)△ABC是等腰三角形,
理由如下:
把x=-1代入方程(a+c)x2+2bx+(b-c)=0
得,a+c-2b+b-c=0,
即a-b=0,∴a=b,
∴△ABC为等腰三角形;
(2)∵△ABC为等边三角形,∴a=b=c,
∴方程(a+c)x2+2bx+(b-c)=0可化为x2+x=0,
解得x1=0,x2=-1.
21. (10分)(2023·黔南州惠水县期中)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b(aAB=5,a,b是方程x2-(m-1)x+(m+4)=0的两个根.
(1)求a,b;
(2)P,Q两点分别从A,C出发,分别以每秒2个单位,1个单位的速度沿边AC,BC向终点C,B运动(有一个点到达终点则停止运动),求经过多长时间后PQ=2.
【解析】(1)∵a,b是方程x2-(m-1)x+(m+4)=0的两个根,
∴a+b=m-1,ab=m+4,
又∵a2+b2=AB2,
∴(m-1)2-2(m+4)=52,
∴m=8,m=-4(舍去),
∴原方程为x2-7x+12=0,
解得a=3,b=4;
(2)设经过t秒后PQ=2,则CP=4-2t,CQ=t,
由题意得(4-2t)2+t2=22,
解得t1=,t2=2,
答:经过秒或2秒后PQ=2.
22.(12分)(2023·毕节赫章县期末)贵阳市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格进行两次下调后,决定以每平方米4 860元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率.
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:
①打九八折销售;
②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠
【解析】(1)设平均每次下调的百分率为x,
由题意,得6 000(1-x)2=4 860,
解得x1=0.1,x2=1.9(舍去),
答:平均每次下调的百分率为10%;
(2)由题意,得
方案①优惠4 860×100×(1-0.98)=9 720(元),
方案②优惠80×100=8 000(元).
∵9 720>8 000,
∴方案①更优惠.
23.(12分)某租赁公司拥有汽车100辆.据统计,每辆车的月租金为4 000元时,可全部租出,每辆车的月租金每增加100元,未租出的车将增加1辆,租出的车每辆每月的维护费为500元,未租出的车辆每月只需维护费100元.
(1)当每辆车的月租金为4 800元时,能租出多少辆 并计算此时租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)是多少万元
(2)规定每辆车月租金不能超过7 200元,当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到40.4万元
【解析】(1)100-=92(辆),
(4 800-500)×92-100×(100-92)=394 800(元),
394 800元=39.48万元.
答:当每辆车的月租金为4 800元时,能租出92辆,此时租赁公司的月收益是39.48万元.
(2)40.4万元=404 000元,
设上涨x个100元,由题意得:
(4 000+100x-500)(100-x)-100x=404 000,
整理得x2-64x+540=0,解得x1=54,x2=10,
∵规定每辆车月租金不能超过7 200元,
∴取x=10,则4 000+10×100=5 000(元).
答:每辆车的月租金定为5 000元时,租赁公司的月收益可达到40.4万元.
24.(12分)中秋节来临之前,某超市以每盒80元的价格购进了1 000盒月饼,第一周以每盒168元的价格销售了300盒,第二周如果单价不变,预计仍可售出300盒,该超市经理为了增加销量,决定降价,据调查,单价每降低1元,可多售出10盒,但最低每盒要赢利30元,第二周结束后,该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖,此时价格为70元/盒.
(1)若设第二周单价降低x元,则第二周的单价是________元,销量是________盒.
(2)经两周后还剩余月饼________盒.
(3)若该超市想通过销售这批月饼获利51 360元,那么第二周的单价应是多少元
【解析】(1)由题意得:第二周降价x元,故第二周的售价为(168-x)元,销量为(300+10x)盒.
答案:(168-x) (300+10x)
(2)第一周的销量为300盒,第二周的销量为(300+10x)盒,
故经两周后还剩余月饼:1 000-300-(300+10x)
=(400-10x)盒.
答案:(400-10x)
(3)因为最低每盒要赢利30元,故168-x-80≥30,解得x≤58,
当0≤x≤58时,获利W=(168-80)×300+(168-80-x)(300+10x)+(-10)×(400-10x)=51 360,
解得x1=4,x2=64,因为x≤58,故x取4.
答:该超市想通过销售这批月饼获利51 360元,那么第二周的单价应是164元.
25.(12分)(2023·黄石中考)关于x的一元二次方程x2+mx-1=0,当m=1时,该方程的正根称为黄金分割数.宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形,希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计;我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数.
(1)求黄金分割数;
(2)已知实数a,b满足:a2+ma=1,b2-2mb=4,且b≠-2a,求ab的值;
(3)已知两个不相等的实数p,q满足:p2+np-1=q,q2+nq-1=p,求pq-n的值.
【解析】(1)由题意,将m=1代入x2+mx-1=0得,x2+x-1=0,
∴x1=x2==.
∵黄金分割数大于0,
∴黄金分割数为.
(2)∵b2-2mb=4,∴b2-2mb-4=0,
∴(-)2+m·(-)-1=0.
又∵b≠-2a,∴a,-是一元二次方程x2+mx-1=0的两个根.
∴a·(-)=-1.∴ab=2.
(3)由题意,令p2+np-1=q①,q2+nq-1=p②,
∴①+②得,(p2+q2)+n(p+q)-2=p+q,
(p+q)2-2pq+n(p+q)-2=p+q.
①-②得,(p2-q2)+n(p-q)=-(p-q),
∵p,q为两个不相等的实数,
∴p-q≠0,
∴(p+q)+n=-1,
∴p+q=-n-1.
又∵(p+q)2-2pq+n(p+q)-2=p+q,
∴(-n-1)2-2pq+n(-n-1)-2=-n-1,
∴n2+2n+1-2pq-n2-n-2=-n-1,∴pq=n,
∴pq-n=0.第二章 一元二次方程
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.一元二次方程3x2-5x-3=0的一次项系数是 ( )
A.3 B.-5 C.-3 D.0
2.(2024·遵义红花岗区期中)若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+5=0的一个根,则m的值是 ( )
A.2 B.-2 C. D.-
3.(2024·铜仁石阡县质检)用配方法解方程x2-4x-3=0,下列配方正确的是 ( )
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=7
C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=7
4.关于x的一元二次方程x2-2x-6=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能确定
5.已知M=a2-a,N=a-1(a为任意实数),则M,N的大小关系为( )
A.M>N B.M≥N C.M6.如图,一块长16 m,宽8 m的矩形菜地,现要在中间铺设同样宽度的石子路,余下的部分用于种植,且种植面积为105 m2.设石子路的宽度为x m,则下面所列方程正确的是 ( )
A.(16-x)(8-x)+x2=105 B.(16-x)(8-x)=105
C.(16-2x)(8-x)+x2=105 D.(16-2x)(8-x)=105
7.关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两根x1,x2,满足x1+x2-x1x2<-1,则k的取值范围是( )
A.k>-2 B.k>2 C.-28.某省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛,则参加比赛的队伍共有 ( )
A.8支 B.9支 C.10支 D.11支
9.(2023·兰州中考)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,则b2-2(1+2c)= ( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
10.如图,一块长为a m,宽为b m的长方形土地的周长为18 m,面积为14 m2,现将该长方形土地的长、宽都增加2 m,则扩建后的长方形土地的面积为 ( )
A.32 m2 B.36 m2 C.27 m2 D.38 m2
11.关于x的方程mx2+x-m+1=0,有以下三个结论:①当m=0时,方程只有一个实数解;②当m≠0时,方程有两个不相等的实数解;③无论m取何值,方程都有一个负数解.其中正确的是 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
12.(2024·贵阳花溪区期中)定义:关于x的一元二次方程:a1(x-m)2+n=0与a2(x-m)2+n=0,称为“同族二次方程”.如2(x-3)2+4=0与3(x-3)2+4=0是“同族二次方程”.若关于x的一元二次方程:2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”.则代数式-ax2+bx+2 019的最大值是 ( )
A.2 024 B.2 023 C.2 022 D.2 021
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·潍坊中考)用与教材中相同型号的计算器,依次按键,显示结果为2.236 067 977.借助显示结果,可以将一元二次方程x2+x-1=0的正数解近似表示为 .(精确到0.001)
14.若关于x的方程(k-1)x|k|+1-4x+5=0是一元二次方程,则k= .
15.已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1,x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:①x1≠x2;②x1x216.一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.若销售单价降低x元,那么平均每天销售数量为 件(用含有x的代数式表示),每件商品降价 元时该商店每天销售利润为1 200元.
三、解答题(共98分)
17.(10分)用适当的方法解下列方程:
(1)x2+2x-5=0;
(2)(x-2)2+x(x-2)=0.
18.(10分)已知x1,x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使得等式+=k-2成立 如果存在,请求出k的值;如果不存在,请说明理由.
19.(10分)在一堂数学、美术的融合课中,每个同学桌上都有一段长60 cm的铁丝,需要将铁丝剪成两段,并把每一段铁丝做成一个配件.
(1)填空:小东想做两个正方形配件,若设其中一个正方形配件的边长为x cm,则另一个正方形配件的边长为____ cm(请用含x的代数式表示);
(2)在(1)的基础上,若小东想让做成的两个正方形配件满足面积之和等于100 cm2,请问小东的想法能否实现 为什么
20.(10分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(b-c)=0,其中a,b,c分别是△ABC的三边长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
21. (10分)(2023·黔南州惠水县期中)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b(aAB=5,a,b是方程x2-(m-1)x+(m+4)=0的两个根.
(1)求a,b;
(2)P,Q两点分别从A,C出发,分别以每秒2个单位,1个单位的速度沿边AC,BC向终点C,B运动(有一个点到达终点则停止运动),求经过多长时间后PQ=2.
22.(12分)(2023·毕节赫章县期末)贵阳市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格进行两次下调后,决定以每平方米4 860元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率.
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:
①打九八折销售;
②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠
23.(12分)某租赁公司拥有汽车100辆.据统计,每辆车的月租金为4 000元时,可全部租出,每辆车的月租金每增加100元,未租出的车将增加1辆,租出的车每辆每月的维护费为500元,未租出的车辆每月只需维护费100元.
(1)当每辆车的月租金为4 800元时,能租出多少辆 并计算此时租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)是多少万元
(2)规定每辆车月租金不能超过7 200元,当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到40.4万元
24.(12分)中秋节来临之前,某超市以每盒80元的价格购进了1 000盒月饼,第一周以每盒168元的价格销售了300盒,第二周如果单价不变,预计仍可售出300盒,该超市经理为了增加销量,决定降价,据调查,单价每降低1元,可多售出10盒,但最低每盒要赢利30元,第二周结束后,该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖,此时价格为70元/盒.
(1)若设第二周单价降低x元,则第二周的单价是________元,销量是________盒.
(2)经两周后还剩余月饼________盒.
(3)若该超市想通过销售这批月饼获利51 360元,那么第二周的单价应是多少元
25.(12分)(2023·黄石中考)关于x的一元二次方程x2+mx-1=0,当m=1时,该方程的正根称为黄金分割数.宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形,希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计;我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数.
(1)求黄金分割数;
(2)已知实数a,b满足:a2+ma=1,b2-2mb=4,且b≠-2a,求ab的值;
(3)已知两个不相等的实数p,q满足:p2+np-1=q,q2+nq-1=p,求pq-n的值.