第六章 反比例函数
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.若点A(1,3)是反比例函数y=(k≠0)的图象上一点,则常数k的值为 ( )
A.3 B.-3 C. D.-
2.(2023·怀化中考)已知压力F(N),压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系式:F=pS.当F为定值时,如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是 ( )
3.在同一直角坐标系中函数y1=k1x+b和y2=的图象如图所示,其中k1,k2,b的描述正确的是 ( )
A.k1>0,k2>0,b>0 B.k1>0,k2<0,b>0
C.k1>0,k2>0,b<0 D.k1>0,k2<0,b<0
4.在反比例函数y=的图象的每支上,y都随x的增大而减小,且整式x2-kx+4是一个完全平方式,则该反比例函数的表达式为( )
A.y= B.y=- C.y= D.y=-
5.若点(3,5)在反比例函数y=的图象上,则下列说法错误的是 ( )
A.该函数图象在第一、三象限内
B.点(-,-30)也在该函数图象上
C.当x>0时,y的值随x值的增大而增大
D.该函数图象关于原点对称
6.如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(4,2),C(4,4).若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是( )
A.1≤k≤4 B.2≤k≤8 C.2≤k≤16 D.8≤k≤16
7.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b与反比例函数y=-的大致图象可以是 ( )
8.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点B在函数y=(x>0)的图象上,点P是矩形OABC内的一点,连接PO,PA,PB,PC,则图中阴影部分的面积是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
9.如图,在温度不变的条件下,通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后气缸内气体的体积V(mL)与气体对气缸壁产生的压强P(kPa)的关系可以用如图所示的函数图象进行表示,下列说法正确的是 ( )
A.气压P与体积V的表达式为P=kV(k>0)
B.当气压P=70时,体积V的取值范围为70C.当体积V变为原来的一半时,对应的气压P也变为原来的一半
D.当60≤V≤100时,气压P随着体积V的增大而减小
10.如图,直线y=kx与双曲线y=-在同一坐标系中,则不等式kx>-的解集为 ( )
A.0C.x<-1或01
11.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,BC∥x轴.AD与y轴交于点E,反比例函数y=(x>0)的图象经过顶点C,D,已知点C的横坐标为5,BE=3DE,则k的值为 ( )
A. B. C.3 D.5
12.如图,正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=(k1>0)和y=(k2>0)的图象上.若BD∥y轴,点D的横坐标为3,则k1+k2= ( )
A.36 B.18 C.12 D.9
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.已知反比例函数y=的图象如图,则一元二次方程x2-(2k-1)x+k2-1=0的根的情况是 .
14.反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=x-1交于点A(3,n),则k的值为 .
15.如图,在平面直角坐标系中,点M为x轴正半轴上一点,过点M的直线l∥y轴,且直线l分别与反比例函数y=(x>0)和y=(x>0)的图象交于P,Q两点,若=13,则k的值为 .
16.验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例,y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后,小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米,则近视眼镜的度数减少了 度.
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2023·铜仁德江县期中)已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(2,6).
(1)求这个函数的表达式;
(2)点B(10,),C(-3,-5)是否在这个函数的图象上
18.(10分)如图,已知双曲线y=(x>0)经过矩形OABC的边AB,BC的中点F,E,且四边形OEBF的面积为2,求k的值.
19.(10分)如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离.
20. (10分)(2023·铜仁石阡县期中)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(k>0)的图象经过点A(2,m),过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为5.
(1)求k和m的值;
(2)当x<-6时,求函数值y的取值范围.
21.(10分) 如图,直线y=kx+b与双曲线y=(x>0)相交于点A(2,n),B(6,1).
(1)求直线及双曲线对应的函数表达式;
(2)直接写出关于x的不等式kx+b>(x>0)的解集;
(3)求△AOB的面积.
22.(12分)(2023·贵阳云岩区模拟)已知,在△ABC中,BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为3.
(1)写出y关于x的函数表达式y=________;x的取值范围是________;
(2)小莉准备画出此函数的图象,她列表如下,请你在如图所示的坐标系中帮助她描点并连线,画出此函数图象;
x … 1 2 3 4 …
y … 6 3 2 1.5 …
(3)如果M(x1,y1),N(x2,y2)是此函数图象上的两个点,且x1>x2>0,判断y1与y2的大小.
23. (12分)驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾,某研究所经试验测得:成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y(微克/毫升)与饮酒时间x(小时)之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时,y与x成反比例).
(1)根据图象分别求出血液中酒精浓度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式;
(2)问血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时
24. (12分)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(1,2),B(n,-1)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)直线AB交x轴于点C,点P是x轴上的点,若△ACP的面积是4,求点P的坐标.
25.(12分)(2023·广元中考)如图,已知一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y=(m>0)的图象交于A(3,4),B两点,与x轴交于点C,将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D,E.
(1)求k,m的值及C点坐标;
(2)连接AD,CD,求△ACD的面积.第六章 反比例函数
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.若点A(1,3)是反比例函数y=(k≠0)的图象上一点,则常数k的值为 (A)
A.3 B.-3 C. D.-
2.(2023·怀化中考)已知压力F(N),压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系式:F=pS.当F为定值时,如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是 (D)
3.在同一直角坐标系中函数y1=k1x+b和y2=的图象如图所示,其中k1,k2,b的描述正确的是 (A)
A.k1>0,k2>0,b>0 B.k1>0,k2<0,b>0
C.k1>0,k2>0,b<0 D.k1>0,k2<0,b<0
4.在反比例函数y=的图象的每支上,y都随x的增大而减小,且整式x2-kx+4是一个完全平方式,则该反比例函数的表达式为(A)
A.y= B.y=- C.y= D.y=-
5.若点(3,5)在反比例函数y=的图象上,则下列说法错误的是 (C)
A.该函数图象在第一、三象限内
B.点(-,-30)也在该函数图象上
C.当x>0时,y的值随x值的增大而增大
D.该函数图象关于原点对称
6.如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(4,2),C(4,4).若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是(C)
A.1≤k≤4 B.2≤k≤8 C.2≤k≤16 D.8≤k≤16
7.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b与反比例函数y=-的大致图象可以是 (C)
8.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点B在函数y=(x>0)的图象上,点P是矩形OABC内的一点,连接PO,PA,PB,PC,则图中阴影部分的面积是 (A)
A.3 B.4 C.5 D.6
9.如图,在温度不变的条件下,通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后气缸内气体的体积V(mL)与气体对气缸壁产生的压强P(kPa)的关系可以用如图所示的函数图象进行表示,下列说法正确的是 (D)
A.气压P与体积V的表达式为P=kV(k>0)
B.当气压P=70时,体积V的取值范围为70C.当体积V变为原来的一半时,对应的气压P也变为原来的一半
D.当60≤V≤100时,气压P随着体积V的增大而减小
10.如图,直线y=kx与双曲线y=-在同一坐标系中,则不等式kx>-的解集为 (C)
A.0C.x<-1或01
11.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,BC∥x轴.AD与y轴交于点E,反比例函数y=(x>0)的图象经过顶点C,D,已知点C的横坐标为5,BE=3DE,则k的值为 (B)
A. B. C.3 D.5
12.如图,正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=(k1>0)和y=(k2>0)的图象上.若BD∥y轴,点D的横坐标为3,则k1+k2= (B)
A.36 B.18 C.12 D.9
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.已知反比例函数y=的图象如图,则一元二次方程x2-(2k-1)x+k2-1=0的根的情况是 无实数根 .
14.反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=x-1交于点A(3,n),则k的值为 6 .
15.如图,在平面直角坐标系中,点M为x轴正半轴上一点,过点M的直线l∥y轴,且直线l分别与反比例函数y=(x>0)和y=(x>0)的图象交于P,Q两点,若=13,则k的值为 -18 .
16.验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例,y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后,小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米,则近视眼镜的度数减少了 200 度.
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2023·铜仁德江县期中)已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(2,6).
(1)求这个函数的表达式;
(2)点B(10,),C(-3,-5)是否在这个函数的图象上
【解析】(1)依题意得6=,∴k=12,故这个反比例函数的表达式为y=;
(2)由(1)求得y=,当x=10时,y=,当x=-3时,y=-4,
∴点B(10,)在这个函数图象上,C(-3,-5)不在这个函数的图象上.
18.(10分)如图,已知双曲线y=(x>0)经过矩形OABC的边AB,BC的中点F,E,且四边形OEBF的面积为2,求k的值.
【解析】设F(x,y),E(a,b),那么B(x,2y),
∵点E在反比例函数图象上,∴S△COE=ab=k,
∵点F在反比例函数图象上,∴S△AOF=xy=k,
∵S四边形O EBF=S矩形ABCO-S△COE-S△AOF,且S四边形O EBF=2,
∴2xy-k-xy=2,∴2k-k-k=2,∴k=2.
19.(10分)如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离.
【解析】(1)由题意设y=,把x=6,y=2代入,得k=6×2=12,
∴y关于x的函数表达式为y=;
(2)把y=3代入y=,得x=4,
∴小孔到蜡烛的距离为4 cm.
20. (10分)(2023·铜仁石阡县期中)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(k>0)的图象经过点A(2,m),过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为5.
(1)求k和m的值;
(2)当x<-6时,求函数值y的取值范围.
【解析】(1)∵A(2,m),
∴OB=2,AB=m,
∴S△AOB=·OB·AB=×2×m=5,
∴m=5,
∴点A的坐标为(2,5),
把A(2,5)代入y=,得k=10;
(2)∵反比例函数y=在x<0时,y随x的增大而减小,且当x<0时,y<0,
∴当x<-6时,y的取值范围为-21.(10分) 如图,直线y=kx+b与双曲线y=(x>0)相交于点A(2,n),B(6,1).
(1)求直线及双曲线对应的函数表达式;
(2)直接写出关于x的不等式kx+b>(x>0)的解集;
(3)求△AOB的面积.
【解析】(1)∵点A(2,n),B(6,1)在双曲线y=的图象上,
∴m=2n=6,∴m=6,n=3,∴A(2,3),B(6,1),
∴双曲线的表达式为y=,
∵A(2,3),B(6,1)在直线y=kx+b的图象上,
∴,解得,∴直线的表达式为y=-x+4.
(2)根据函数图象可知,关于x的不等式kx+b>(x>0)的解集为2(3)设直线与y轴的交点为C(0,4),
∵S△AOB=S△BOC-S△AOC,
∴S△AOB=×4×6-×4×2=8.
22.(12分)(2023·贵阳云岩区模拟)已知,在△ABC中,BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为3.
(1)写出y关于x的函数表达式y=________;x的取值范围是________;
(2)小莉准备画出此函数的图象,她列表如下,请你在如图所示的坐标系中帮助她描点并连线,画出此函数图象;
x … 1 2 3 4 …
y … 6 3 2 1.5 …
(3)如果M(x1,y1),N(x2,y2)是此函数图象上的两个点,且x1>x2>0,判断y1与y2的大小.
【解析】(1)根据题意得xy=3,则y=,
∵在△ABC中,BC边的长为x,
∴x>0;
答案: x>0
(2)描点,画出函数的图象,如图所示,
(3)∵反比例函数y=中,k=6>0,
∴当x>0时,y随x的增大而减小,
∵M(x1,y1),N(x2,y2)是函数y=图象上的两个点,
∴当x1>x2>0时,023. (12分)驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾,某研究所经试验测得:成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y(微克/毫升)与饮酒时间x(小时)之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时,y与x成反比例).
(1)根据图象分别求出血液中酒精浓度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式;
(2)问血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时
【解析】(1)当0≤x<4时,设直线的表达式为y=kx,将(4,400)代入,得400=4k,解得k=100,故直线的表达式为y=100x.当4≤x≤10时,设反比例函数的表达式为y=,将(4,400)代入,得400=,解得a=1 600,故反比例函数的表达式为y=.
因此血液中酒精浓度上升阶段的函数表达式为y=100x(0≤x<4),
下降阶段的函数表达式为y=(4≤x≤10).
(2)当y=200,则200=100x.解得x=2.当y=200,则200=,解得x=8.
∵8-2=6(小时),∴血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是6小时.
24. (12分)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(1,2),B(n,-1)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)直线AB交x轴于点C,点P是x轴上的点,若△ACP的面积是4,求点P的坐标.
【解析】(1)将点A(1,2)代入y=,得:m=2,∴y=,当y=-1时,x=-2,∴B(-2,-1),
将A(1,2),B(-2,-1)代入y=kx+b,得:,解得,∴y=x+1,
∴一次函数的表达式为y=x+1,反比例函数的表达式为y=.
(2)在y=x+1中,当y=0时,x+1=0,解得x=-1,
∴C(-1,0),设P(m,0),则PC=|-1-m|,
∵S△ACP=·PC·yA=4,
∴×|-1-m|×2=4,解得m=3或m=-5,∴点P的坐标为(3,0)或(-5,0).
25.(12分)(2023·广元中考)如图,已知一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y=(m>0)的图象交于A(3,4),B两点,与x轴交于点C,将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D,E.
(1)求k,m的值及C点坐标;
(2)连接AD,CD,求△ACD的面积.
【解析】(1)∵一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y=(m>0)的图象交于A(3,4),B两点,
∴4=3k+6,4=,∴k=-,m=12,
∴一次函数的表达式为y=-x+6,反比例函数的表达式为y=,
把y=0代入y=-x+6得:0=-x+6,
解得x=9,
∴点C的坐标为(9,0);
(2)延长DA交x轴于点F,
将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后的表达式为y=-x+6+3=-x+9,
由,解得或,
∴D(,8),
设直线AD的表达式为y=ax+b,
把A,D的坐标代入得,解得,
∴直线AD的表达式为y=-x+12,
令y=0,则0=-x+12,解得x=,
∴F(,0),∴CF=9-=,
∴S△ACD=S△CDF-S△CAF=××8-××4=9.
