第三章 概率的进一步认识
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.在大量重复试验中,关于随机事件发生的概率与频率,下列说法正确的是 (D)
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的,与频率无关
D.随着试验次数的增加,频率一般会趋近概率
2.剪纸是中国最古老的民间艺术之一,先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签,他想送给好朋友小乐一张.小文将书签背面朝上(背面完全相同),让小乐从中随机抽取一张,则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 (C)
A. B. C. D.
3.从1,2,3,4,5,5六个数中随机选取一个数,这个数恰为该组数据的众数的概率为 (B)
A. B. C. D.
4.(2024·贵阳期末)一个口袋中装有黑球、白球共15个,这些球除颜色外都相同,将口袋中的球搅拌均匀,从中随机摸出一个球,记下它的颜色后再放回口袋中,不断重复这一过程,共摸了100次球,发现有60次摸到黑球,请估计口袋中黑球有 (D)
A.3个 B.5个 C.6个 D.9个
5.(2023·温州中考)某校计划组织研学活动,现有四个地点可供选择:南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山.若从中随机选择一个地点,则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为 (C)
A. B. C. D.
6.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1,则称该三位数为“平稳数”.用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数,恰好是“平稳数”的概率为 (C)
A. B. C. D.
7.在“-3,-2,-1,0,1,2,3”七个数中,任取一个数等于a,恰好使方程(a2-1)x2+(a+2)x+a-3=0是一元二次方程的概率是 (C)
A. B. C. D.1
8.两个不透明的袋子中分别装有标号1,3,5和标号2,4的五个小球,五个小球除标号外其余均相同,随机从两个袋子中各抽取一个小球,则其标号数字组成的两位数能被4整除的概率是 (B)
A. B. C. D.
9.下列四种说法:
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②将2 020减去它的,再减去剩下的,再减去余下的,再减去余下的…依次减下去,一直到减去余下的,结果是1;
③试验的次数越多,频率越靠近理论概率;
④对于任何实数x,y,多项式x2+y2-4x-2y+7的值不小于2.其中正确的个数是 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2023·毕节威宁县期末)一枚质地均匀的正方体骰子,其六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字,投掷这个骰子一次,得到的点数与3,4作为三角形三边的长,能构成三角形的概率是 (B)
A. B. C. D.
11. (2023·贵阳南明区模拟)将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上,飞镖落在白色区域的概率为 (A)
A. B. C. D.
12.下面试验中,试验结果概率最小的是 (C)
A.如图(1),在一次试验中,老师共做了400次掷图钉游戏,并记录了游戏的结果绘制了折线统计图,估计出的钉尖朝上的概率
B.如图(2),是一个可以自由转动的转盘,任意转动转盘,当转盘停止时,指针落在蓝色区域的概率
C.如图(3),有一个小球在地板上自由滚动,地板上的每个格都是边长为1的正方形,则小球在地板上最终停留在阴影区域的概率
D.有7张卡片,分别标有数字1,2,3,4,6,8,9;将它们背面朝上洗匀后,从中随机抽出一张,抽出标有数字“大于6”的卡片的概率
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.为了解某校九年级学生每周的零花钱情况,随机抽取了该校100名九年级学生,他们每周的零花钱x(元)统计如表:
组别(元) 0≤x<30 30≤x<50 50≤x<60 x≥60
人数 16 31 33 20
根据以上结果,随机抽取该校一名学生,估计该学生每周的零花钱在60元以上(包含60元)的概率为 0.2 .
14.在一个布袋里装着标号分别为1,2,3的3个小球,它们除标号外无其他区别,从布袋中随机摸出一个小球后不放回,将小球上的数字记为a,摇匀后再随机摸出一个小球,将小球上的数字记为b,则a,b使二次根式的值为有理数的概率是 .
15.某校九(1)班准备举行一次演讲比赛,甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序,则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是 .
16.墨菲定律是一种心理学效应,1949年由美国的一名工程师爱德华·墨菲提出的.大意是:凡事只要有可能发生,就一定会发生.用数学的概率知识来解释:假设某事件在一次试验(活动)中发生的概率为P(0
三、解答题(共98分)
17.(10分)某公司对一批某品牌衬衣的质量抽检结果如表.
抽查件数 50 100 200 300 400 500
次品件数 0 4 16 19 24 30
(1)从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为多少
(2)如果销售这批衬衣600件,那么至少要再准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客调换
【解析】(1)抽查总件数m=50+100+200+300+400+500=1 550,
次品件数n=0+4+16+19+24+30=93,P(抽到次品)==0.06.
(2)根据(1)的结论:P(抽到次品)=0.06,则600×0.06=36(件).
答:至少准备36件正品衬衣供顾客调换.
18.(10分)一个不透明的口袋中装有4张卡片,卡片上分别标有数字1,-3,-5,7,这些卡片除数字外都相同.小芳从口袋中随机抽取一张卡片,小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张,请用画树状图或列表的方法,求两人抽到的数字符号相同的概率.
【解析】画树状图为:
∵共有12种等可能的结果,其中两人抽到的数字符号相同的结果数为4,
∴两人抽到的数字符号相同的概率是=.
19.(10分)在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个,它们除颜色不同外,其余都相同,王颖做摸球试验,她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中搅匀,经过大量重复上述摸球的过程,发现摸到白球的频率稳定于0.25,
(1)请估计摸到白球的概率为________ ;
(2)计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个.
(3)如果要使摸到白球的概率为,需要往盒子里再放入多少个白球
【解析】(1)大量重复摸球,摸到白球的频率稳定于0.25,估计摸到白球的概率为0.25.
答案:0.25
(2)60×0.25=15,60-15=45,
答:盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个;
(3)设需要往盒子里再放入x个白球,
根据题意得=,
解得x=15,
经检验x=15是原方程的解,
答:需要往盒子里再放入15个白球.
20.(10分)一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球,搅匀后从盒子里随机摸出一个球,摸到白球的概率为.
(1)求n的值;
(2)将所有球放入盒中,搅匀后随机从中摸出1个球,放回搅匀,再随机摸出第2个球,求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率.请用画树状图或列表的方法进行说明.
【解析】(1)由概率的意义可得,
=,解得,n=1.
答:n的值为1.
(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如表:
黑1 黑2 白
黑1 (黑1,黑1) (黑2,黑1) (白,黑1)
黑2 (黑1,黑2) (黑2,黑2) (白,黑2)
白 (黑1,白) (黑2,白) (白,白)
共有9种等可能的结果,其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球的情况有4种.∴P(一白一黑)=.
21.(10分)为传承中华民族优秀传统文化,提高学生文化素养,学校举办“经典诵读”比赛,比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组(依次记为A,B,C,D).小雨和莉莉两名同学参加比赛,其中一名同学从四组题目中随机抽取一组,然后放回,另一名同学再随机抽取一组.
(1)小雨抽到A组题目的概率是________;
(2)请用列表法或画树状图法,求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率.
【解析】(1)小雨抽到A组题目的概率是;
答案:
(2)画树状图如下:
共有16种等可能的结果,其中小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果有4种,
∴小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率为=.
22.(12分)甲、乙两人做游戏,他们在一只不透明的袋子中装了五个小球,分别标有数字:1,1,2,2,3,这些小球除编号外其余都相同.
(1)搅匀后,甲从中任意摸出一个小球,则这个小球的编号是偶数的概率为____________;
(2)搅匀后,甲从中任意摸出一个小球,记录小球的编号后放回、搅匀,乙再从中任意摸出一个小球.若摸出两个小球编号之和为偶数,则甲获胜;否则,乙获胜.请你用画树状图或列表的方法说明谁获胜的概率大.
【解析】(1)1,1,2,2,3中,是偶数的有:2,2,
∴甲从中任意摸出一个小球,这个小球的编号是偶数的概率为.
答案:
(2)列表如下:
项目 1 1 2 2 3
1 (1,1) (1,1) (1,2) (1,2) (1,3)
1 (1,1) (1,1) (1,2) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,1) (2,2) (2,2) (2,3)
2 (2,1) (2,1) (2,2) (2,2) (2,3)
3 (3,1) (3,1) (3,2) (3,2) (3,3)
共有25种等可能的结果,其中摸出两个小球编号之和为偶数的结果有:(1,1),(1,1),(1,3),(1,1),(1,1),(1,3),(2,2),(2,2),(2,2),(2,2),(3,1),(3,1),(3,3),共13种,
摸出两个小球编号之和为奇数的结果有:(1,2),(1,2),(1,2),(1,2),(2,1),(2,1),(2,3),(2,1),(2,1),(2,3),(3,2),(3,2),共12种,
∴甲获胜的概率为,乙获胜的概率为.
∵>,∴甲获胜的概率大.
23.(12分)在学习用频率估计概率时,小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验:在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个,这4个球除颜色外无其他差别.每次摸球前先将袋中的球搅匀,然后从袋中随机摸出1个球,观察该球的颜色并记录,再把它放回.在老师的帮助下,小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验.如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果.
(1)根据所学的频率与概率关系的知识,估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是____________,其中红球的个数是____________;
(2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球,用列表法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率.
【解析】(1)从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是0.75,4×0.75=3(个),
答:红球的个数是3.
答案:0.75 3
(2)由(1)可知帆布袋中有3个红球和1个白球.
列表如下:
项目 白 红1 红2 红3
白 - 白,红1 白,红2 白,红3
红1 - - 红1,红2 红1,红3
红2 - - - 红2,红3
红3 - - - -
可以看出,从帆布袋中同时摸出两个球,所有可能出现的结果共有6种,即
(白,红1),(白,红2),(白,红3),(红1,红2),(红1,红3),(红2,红3),且这些结果出现的可能性相等,其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球共有3种结果,即(白,红1),(白,红2),(白,红3),所以摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率是=.
24.(12分)《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准(2022年版)》正式发布,劳动课正式成为中小学的一门独立课程,日常生活劳动设定四个任务群:A清洁与卫生,B整理与收纳,C家用器具使用与维护,D烹饪与营养.学校为了较好地开设课程,对学生最喜欢的任务群进行了调查,并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图.
请根据统计图解答下列问题:
(1)本次调查中,一共调查了____________名学生,其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有____________名,选择“D烹饪与营养”的男生有____________名;
(2)补全上面的条形统计图和扇形统计图;
(3)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者,请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率.
【解析】(1)3÷15%=20(名),
所以本次调查中,一共调查了20名学生,
选择“C家用器具使用与维护”的女生数为25%×20-3=2(名),选择“D烹饪与营养”的男生数为20-3-10-5-1=1(名);
答案:20 2 1
(2)选择“D烹饪与营养”的人数所占的百分比为:×100%=10%,
补全条形统计图和扇形统计图为:
(3)画树状图为:
共有20种等可能的结果,其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为12,所以所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为=.
25.(12分)(2024·黔南州期末)2023年5月30日上午,神舟十六号载人飞船成功发射,举国振奋.为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展,黔南州某中学九(1)班团支部在文体艺术节期间组织了一场手抄报比赛.要求该班每位同学从A:北斗卫星;B:5G时代;C:东风快递;D:智轨快运四个主题中任选一个自己喜欢的主题.比赛结束后,该班团支部对同学们所选主题进行统计,绘制成如图两种不完整的统计图,请根据统计图中的信息解答下列问题.
(1)九(1)班共有________名学生,补全折线统计图.
(2)李刚和王丽从A,B,C,D四个主题中各任选一个主题,请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率.
【解析】(1)九(1)班共有学生人数为:20÷40%=50(名),
D的人数为:50-10-20-5=15(名),
补全折线统计图如图:
答案:50
(2)画树状图如图:
共有16种等可能的结果,李刚和王丽选择相同主题的结果有4种,∴李刚和王丽选择相同主题的概率为=.第三章 概率的进一步认识
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.在大量重复试验中,关于随机事件发生的概率与频率,下列说法正确的是 ( )
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的,与频率无关
D.随着试验次数的增加,频率一般会趋近概率
2.剪纸是中国最古老的民间艺术之一,先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签,他想送给好朋友小乐一张.小文将书签背面朝上(背面完全相同),让小乐从中随机抽取一张,则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.从1,2,3,4,5,5六个数中随机选取一个数,这个数恰为该组数据的众数的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.(2024·贵阳期末)一个口袋中装有黑球、白球共15个,这些球除颜色外都相同,将口袋中的球搅拌均匀,从中随机摸出一个球,记下它的颜色后再放回口袋中,不断重复这一过程,共摸了100次球,发现有60次摸到黑球,请估计口袋中黑球有 ( )
A.3个 B.5个 C.6个 D.9个
5.(2023·温州中考)某校计划组织研学活动,现有四个地点可供选择:南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山.若从中随机选择一个地点,则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为 ( )
A. B. C. D.
6.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1,则称该三位数为“平稳数”.用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数,恰好是“平稳数”的概率为 ( )
A. B. C. D.
7.在“-3,-2,-1,0,1,2,3”七个数中,任取一个数等于a,恰好使方程(a2-1)x2+(a+2)x+a-3=0是一元二次方程的概率是 ( )
A. B. C. D.1
8.两个不透明的袋子中分别装有标号1,3,5和标号2,4的五个小球,五个小球除标号外其余均相同,随机从两个袋子中各抽取一个小球,则其标号数字组成的两位数能被4整除的概率是 ( )
A. B. C. D.
9.下列四种说法:
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②将2 020减去它的,再减去剩下的,再减去余下的,再减去余下的…依次减下去,一直到减去余下的,结果是1;
③试验的次数越多,频率越靠近理论概率;
④对于任何实数x,y,多项式x2+y2-4x-2y+7的值不小于2.其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2023·毕节威宁县期末)一枚质地均匀的正方体骰子,其六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字,投掷这个骰子一次,得到的点数与3,4作为三角形三边的长,能构成三角形的概率是 ( )
A. B. C. D.
11. (2023·贵阳南明区模拟)将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上,飞镖落在白色区域的概率为 ( )
A. B. C. D.
12.下面试验中,试验结果概率最小的是 ( )
A.如图(1),在一次试验中,老师共做了400次掷图钉游戏,并记录了游戏的结果绘制了折线统计图,估计出的钉尖朝上的概率
B.如图(2),是一个可以自由转动的转盘,任意转动转盘,当转盘停止时,指针落在蓝色区域的概率
C.如图(3),有一个小球在地板上自由滚动,地板上的每个格都是边长为1的正方形,则小球在地板上最终停留在阴影区域的概率
D.有7张卡片,分别标有数字1,2,3,4,6,8,9;将它们背面朝上洗匀后,从中随机抽出一张,抽出标有数字“大于6”的卡片的概率
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.为了解某校九年级学生每周的零花钱情况,随机抽取了该校100名九年级学生,他们每周的零花钱x(元)统计如表:
组别(元) 0≤x<30 30≤x<50 50≤x<60 x≥60
人数 16 31 33 20
根据以上结果,随机抽取该校一名学生,估计该学生每周的零花钱在60元以上(包含60元)的概率为 .
14.在一个布袋里装着标号分别为1,2,3的3个小球,它们除标号外无其他区别,从布袋中随机摸出一个小球后不放回,将小球上的数字记为a,摇匀后再随机摸出一个小球,将小球上的数字记为b,则a,b使二次根式的值为有理数的概率是 .
15.某校九(1)班准备举行一次演讲比赛,甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序,则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是 .
16.墨菲定律是一种心理学效应,1949年由美国的一名工程师爱德华·墨菲提出的.大意是:凡事只要有可能发生,就一定会发生.用数学的概率知识来解释:假设某事件在一次试验(活动)中发生的概率为P(0三、解答题(共98分)
17.(10分)某公司对一批某品牌衬衣的质量抽检结果如表.
抽查件数 50 100 200 300 400 500
次品件数 0 4 16 19 24 30
(1)从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为多少
(2)如果销售这批衬衣600件,那么至少要再准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客调换
18.(10分)一个不透明的口袋中装有4张卡片,卡片上分别标有数字1,-3,-5,7,这些卡片除数字外都相同.小芳从口袋中随机抽取一张卡片,小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张,请用画树状图或列表的方法,求两人抽到的数字符号相同的概率.
19.(10分)在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个,它们除颜色不同外,其余都相同,王颖做摸球试验,她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中搅匀,经过大量重复上述摸球的过程,发现摸到白球的频率稳定于0.25,
(1)请估计摸到白球的概率为________ ;
(2)计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个.
(3)如果要使摸到白球的概率为,需要往盒子里再放入多少个白球
20.(10分)一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球,搅匀后从盒子里随机摸出一个球,摸到白球的概率为.
(1)求n的值;
(2)将所有球放入盒中,搅匀后随机从中摸出1个球,放回搅匀,再随机摸出第2个球,求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率.请用画树状图或列表的方法进行说明.
21.(10分)为传承中华民族优秀传统文化,提高学生文化素养,学校举办“经典诵读”比赛,比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组(依次记为A,B,C,D).小雨和莉莉两名同学参加比赛,其中一名同学从四组题目中随机抽取一组,然后放回,另一名同学再随机抽取一组.
(1)小雨抽到A组题目的概率是________;
(2)请用列表法或画树状图法,求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率.
22.(12分)甲、乙两人做游戏,他们在一只不透明的袋子中装了五个小球,分别标有数字:1,1,2,2,3,这些小球除编号外其余都相同.
(1)搅匀后,甲从中任意摸出一个小球,则这个小球的编号是偶数的概率为____ ;
(2)搅匀后,甲从中任意摸出一个小球,记录小球的编号后放回、搅匀,乙再从中任意摸出一个小球.若摸出两个小球编号之和为偶数,则甲获胜;否则,乙获胜.请你用画树状图或列表的方法说明谁获胜的概率大.
23.(12分)在学习用频率估计概率时,小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验:在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个,这4个球除颜色外无其他差别.每次摸球前先将袋中的球搅匀,然后从袋中随机摸出1个球,观察该球的颜色并记录,再把它放回.在老师的帮助下,小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验.如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果.
(1)根据所学的频率与概率关系的知识,估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是____ ,其中红球的个数是____ ;
(2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球,用列表法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率.
24.(12分)《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准(2022年版)》正式发布,劳动课正式成为中小学的一门独立课程,日常生活劳动设定四个任务群:A清洁与卫生,B整理与收纳,C家用器具使用与维护,D烹饪与营养.学校为了较好地开设课程,对学生最喜欢的任务群进行了调查,并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图.
请根据统计图解答下列问题:
(1)本次调查中,一共调查了____ 名学生,其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有____ 名,选择“D烹饪与营养”的男生有____ 名;
(2)补全上面的条形统计图和扇形统计图;
(3)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者,请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率.
25.(12分)(2024·黔南州期末)2023年5月30日上午,神舟十六号载人飞船成功发射,举国振奋.为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展,黔南州某中学九(1)班团支部在文体艺术节期间组织了一场手抄报比赛.要求该班每位同学从A:北斗卫星;B:5G时代;C:东风快递;D:智轨快运四个主题中任选一个自己喜欢的主题.比赛结束后,该班团支部对同学们所选主题进行统计,绘制成如图两种不完整的统计图,请根据统计图中的信息解答下列问题.
(1)九(1)班共有________名学生,补全折线统计图.
(2)李刚和王丽从A,B,C,D四个主题中各任选一个主题,请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率.