第四章 图形的相似
一、选择题(每题3分,共36分)
1.如果ab=cd,且abcd≠0,则下列比例式不正确的是 ( )
A.= B.= C.= D.=
2.(2023·铜仁碧江区 期末)已知△ABC∽△DEF,若∠A=30°,∠B=80°,则∠F的度数为 ( )
A.30° B.80° C.70° D.60°
3.如图是某景区大门部分建筑,已知AD∥BE∥CF,AC=16 m,当DF∶DE=4∶3时,则AB的长是 ( )
A.10 m B.11 m C.12 m D.13 m
4.如图,E是矩形ABCD的边AB上任意一点,F是边AD上一点,∠EFC=90°,则图中一定相似的三角形是 ( )
A.①与② B.③与④ C.②与③ D.①与④
5.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,点F为边CD上一点,且FE⊥AB交AB于点E,若AD=2,BC=8,四边形AEFD相似于四边形EBCF,则的值是 ( )
A. B. C. D.
6.如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC边上的点,DE∥BC,BE与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是 ( )
A.= B.= C.= D.=
7.如图所示,长为8 cm,宽为6 cm的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),如果剩下矩形与原矩形相似,那么剩下的矩形的面积是( )
A.28 cm2 B.27 cm2 C.21 cm2 D.20 cm2
8.如图,为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20 m,CE=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于 ( )
A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m
9.(2023·陕西中考)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为 ( )
A. B.7 C. D.8
10.(2024·贵阳花溪区期中)如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,动点P从点A开始沿边AB向B点以1 cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C点以2 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,经过t s时△PBQ与△ABC相似,那么t的值为 ( )
A.1.2 B.2 C.1.2或3 D.2或
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D,E在斜边AB上,∠DCE=45°,若AE·BD=8,则△ABC的面积为 ( )
A.6 B.4 C.4 D.3
12.(2024·黔东南州从江县质检)如图,在△ABC中,AB
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
二、填空题(每题4分,共16分)
13.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,连接DE,要使△ADE∽△ACB,还需添加一个条件 (只需写一个).
14.(2023·达州中考)如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为 cm.(结果保留根号)
15.如图,D是△ABC的边BC上任意一点,E是线段AD上一点且DE∶AE=2∶3,F是线段CE的中点,若△ABC的面积为24 cm2,则△BEF的面积为 .
16. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图,已知Rt△ABC是8×8网格图形中的格点三角形,则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中,面积最大的三角形的斜边长是 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图,已知:l1∥l2∥l3,AB=2,BC=4,DF=12,求DE的长.
18.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,B,C,E在同一条直线上,且∠D=∠CAE.
(1)求证:△ABD∽△ECA;
(2)若AC=6,CE=4,求BD的长度.
19.(10分)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2).
(1)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1,使它与△OAB的相似比为2∶1 .
(2)分别写出点A,B的对应点A1,B1的坐标:A1(____ ,____ ), B1(____ ,____ ).
(3)△OA1B1与△O2A2B2是位似图形,点M是位似中心,则点M的坐标为:____ .
20.(10分)如图,一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的.矩形ABCD沿EF对开后,再把矩形EFCD沿MN对开,依此类推,如果各种开本的矩形都相似,那么AB与AD的比值是多少
21.(10分)(2023·毕节期末)如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是边CD上的点,CD=4CF,连接EF并延长交AD的延长线于点G.
(1)求证:△ABE∽△ECF;
(2)若正方形ABCD的边长为8,求AG的长.
22.(12分)如图①,在△ABC中,点P是AB边上的一个动点(点P不与A,B重合),过点P的直线PE与AC交于点E使∠AEP=∠B.
(1)试判断△ABC与△AEP的关系,并说明理由.
(2)若把满足(1)的直线PE称作“△ABC的一条相似线”,在图②的△ABC中,∠A=36°,AB=AC,且点P在AC垂直平分线上,请问过点P的“△ABC的相似线”有几条 并在图②中作出所有过点P的“△ABC的相似线”.
23.(12分)如图1,长、宽均为3 cm,高为8 cm的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为6 cm,绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图2是此时的示意图,则图2中水面高度是多少厘米 将这个情景转化成几何图形,如图3所示,请同学们借助图3利用相似的知识解答CF的高是多少.
24.(12分)我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳.如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD(PM⊥MN)的示意图,设油画AD与墙壁的夹角∠PAD=α,此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上,视线恰好落在油画的中心位置E处,且与AD垂直.已知油画的长度AD为100 cm.
(1)∠ABD的度数为____ .(用含α的式子表示)
(2)当小然到墙壁PM的距离AB=250 cm时,求油画顶部点D到墙壁PM的距离.
(3)当油画底部A处位置不变,油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时,小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳,他应该更靠近墙壁PM,还是不动或者远离墙壁PM (直接回答即可)
25.(12分)(2024·贵州一模)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点B在直线l上,直线l与BC的夹角为∠CBD,且∠CBD=∠ABC,分别过点C,A作直线l的垂线,垂足分别为D,E.
(1)【问题解决】
如图①,若∠CBD=30°,则∠BAC的度数为____ ,的值为____ ;
(2)【问题探究】
如图②,若0°<∠CBD<90°,判断的值是否发生变化 并说明理由;
(3)【拓展延伸】
如图③,CE,AB交于点F,点F在线段AB上,若=,CD=2,求线段BD的长.第四章 图形的相似
一、选择题(每题3分,共36分)
1.如果ab=cd,且abcd≠0,则下列比例式不正确的是 (A)
A.= B.= C.= D.=
2.(2023·铜仁碧江区 期末)已知△ABC∽△DEF,若∠A=30°,∠B=80°,则∠F的度数为 (C)
A.30° B.80° C.70° D.60°
3.如图是某景区大门部分建筑,已知AD∥BE∥CF,AC=16 m,当DF∶DE=4∶3时,则AB的长是 (C)
A.10 m B.11 m C.12 m D.13 m
4.如图,E是矩形ABCD的边AB上任意一点,F是边AD上一点,∠EFC=90°,则图中一定相似的三角形是 (A)
A.①与② B.③与④ C.②与③ D.①与④
5.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,点F为边CD上一点,且FE⊥AB交AB于点E,若AD=2,BC=8,四边形AEFD相似于四边形EBCF,则的值是 (B)
A. B. C. D.
6.如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC边上的点,DE∥BC,BE与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是 (A)
A.= B.= C.= D.=
7.如图所示,长为8 cm,宽为6 cm的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),如果剩下矩形与原矩形相似,那么剩下的矩形的面积是(B)
A.28 cm2 B.27 cm2 C.21 cm2 D.20 cm2
8.如图,为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20 m,CE=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于 (B)
A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m
9.(2023·陕西中考)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为 (C)
A. B.7 C. D.8
10.(2024·贵阳花溪区期中)如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,动点P从点A开始沿边AB向B点以1 cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C点以2 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,经过t s时△PBQ与△ABC相似,那么t的值为 (C)
A.1.2 B.2 C.1.2或3 D.2或
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D,E在斜边AB上,∠DCE=45°,若AE·BD=8,则△ABC的面积为 (C)
A.6 B.4 C.4 D.3
12.(2024·黔东南州从江县质检)如图,在△ABC中,ABA.①② B.②③ C.①③ D.①②③
二、填空题(每题4分,共16分)
13.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,连接DE,要使△ADE∽△ACB,还需添加一个条件 答案不唯一,如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD∶AC=AE∶AB或AD·AB=AE·AC等 (只需写一个).
14.(2023·达州中考)如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为 (80-160) cm.(结果保留根号)
15.如图,D是△ABC的边BC上任意一点,E是线段AD上一点且DE∶AE=2∶3,F是线段CE的中点,若△ABC的面积为24 cm2,则△BEF的面积为 cm2 .
16. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图,已知Rt△ABC是8×8网格图形中的格点三角形,则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中,面积最大的三角形的斜边长是 5 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图,已知:l1∥l2∥l3,AB=2,BC=4,DF=12,求DE的长.
【解析】∵l1∥l2∥l3,AB=2,BC=4,DF=12,
∴=,即=,
解得DE=4.
18.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,B,C,E在同一条直线上,且∠D=∠CAE.
(1)求证:△ABD∽△ECA;
(2)若AC=6,CE=4,求BD的长度.
【解析】(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABD=∠ACE.
∵∠D=∠CAE,
∴△ABD∽△ECA.
(2)∵AB=AC,AC=6,
∴AB=AC=6.
∵△ABD∽△ECA,
∴=,
∴=,
∴BD=9.
19.(10分)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2).
(1)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1,使它与△OAB的相似比为2∶1 .
(2)分别写出点A,B的对应点A1,B1的坐标:A1(________,________), B1(________,________).
(3)△OA1B1与△O2A2B2是位似图形,点M是位似中心,则点M的坐标为:________.
【解析】(1)如图所示,分别连接位似中心O与A,B并向y轴的右侧延长一倍,得到A1(4,2),B1(2,-4)并连接A1 B1得到△OA1B1.
(2)由图可知,A1坐标为(4,2),B1坐标为(2,-4).
(3)分别连接两个位似三角形对应点并延长可交于一点M即为位似中心,由图可知M点坐标为(-4,2).
20.(10分)如图,一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的.矩形ABCD沿EF对开后,再把矩形EFCD沿MN对开,依此类推,如果各种开本的矩形都相似,那么AB与AD的比值是多少
【解析】∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍,
各种开本的矩形都相似,
∴()2=,
∴=.
答:AB与AD的比值是.
21.(10分)(2023·毕节期末)如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是边CD上的点,CD=4CF,连接EF并延长交AD的延长线于点G.
(1)求证:△ABE∽△ECF;
(2)若正方形ABCD的边长为8,求AG的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠C=90°,
∵E是BC的中点,
∴CE=BE=BC,∴=,
∵CD=4CF,∴=,
∴=,即=,
∵∠B=∠C=90°,∴△ABE∽△ECF;
(2)∵正方形ABCD的边长为8,
∴BC=CD=AD=8,BC∥AD,
∴∠CEF=∠G,
∵∠CFE=∠DFG,
∴△CEF∽△DGF,
∴=,
∵E是BC的中点,CD=4CF,
∴CF=2,DF=6,CE=4,
∴=,
∴DG=12,
∴AG=DG+AD=20.
22.(12分)如图①,在△ABC中,点P是AB边上的一个动点(点P不与A,B重合),过点P的直线PE与AC交于点E使∠AEP=∠B.
(1)试判断△ABC与△AEP的关系,并说明理由.
(2)若把满足(1)的直线PE称作“△ABC的一条相似线”,在图②的△ABC中,∠A=36°,AB=AC,且点P在AC垂直平分线上,请问过点P的“△ABC的相似线”有几条 并在图②中作出所有过点P的“△ABC的相似线”.
【解析】(1)△ABC∽△AEP,理由如下:
∵∠AEP=∠B,∠A=∠A,
∴△ABC∽△AEP;
(2)共有3条,
如图所示:作直线PC,
过点P分别作PM∥AC,PN∥BC,
∴PM,PC,PN所在直线即为所求作相似线.
23.(12分)如图1,长、宽均为3 cm,高为8 cm的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为6 cm,绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图2是此时的示意图,则图2中水面高度是多少厘米 将这个情景转化成几何图形,如图3所示,请同学们借助图3利用相似的知识解答CF的高是多少.
【解析】设DE=x cm,则AD=(8-x)cm,
根据题意得(8-x+8)×3×3=3×3×6,
解得x=4,∴DE=4 cm.∵∠E=90°,∴由勾股定理得:CD===5(cm).
∵∠BCE=∠DCF=90°,∴∠DCE=∠BCF.
∵∠DEC=∠BFC=90°,∴△CDE∽△CBF,
∴=,即=,∴CF=(cm).
答:CF的高是 cm.
24.(12分)我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳.如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD(PM⊥MN)的示意图,设油画AD与墙壁的夹角∠PAD=α,此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上,视线恰好落在油画的中心位置E处,且与AD垂直.已知油画的长度AD为100 cm.
(1)∠ABD的度数为____________.(用含α的式子表示)
(2)当小然到墙壁PM的距离AB=250 cm时,求油画顶部点D到墙壁PM的距离.
(3)当油画底部A处位置不变,油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时,小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳,他应该更靠近墙壁PM,还是不动或者远离墙壁PM (直接回答即可)
【解析】(1)连接BD,
∵AE⊥BE,PM⊥MN,AB∥MN,∴AB⊥PM,
∴∠PAB=90°,∠AEB=90°,
∴∠ABE=∠PAD=90°-∠BAE=α.
∵AE=DE,BE⊥AD,
∴AB=BD,
∴∠ABE=∠DBE,
∴∠ABD=∠DBE+∠ABE=2α.
答案:2α
(2)过点D作DC⊥PM交PM于点C,
由题意得AB=250 cm,AD=100 cm,则AE=50 cm.
∵∠CAD=∠ABE=α,∠ACD=∠BEA=90°,
∴△ACD∽△BEA,
∴=,∴=,∴CD=20 cm,
∴油画顶部到墙壁的距离CD是20 cm.
(3)当油画底部A处位置不变,油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时,小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳,他应该远离墙壁PM.
25.(12分)(2024·贵州一模)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点B在直线l上,直线l与BC的夹角为∠CBD,且∠CBD=∠ABC,分别过点C,A作直线l的垂线,垂足分别为D,E.
(1)【问题解决】
如图①,若∠CBD=30°,则∠BAC的度数为____ ,的值为____ ;
(2)【问题探究】
如图②,若0°<∠CBD<90°,判断的值是否发生变化 并说明理由;
(3)【拓展延伸】
如图③,CE,AB交于点F,点F在线段AB上,若=,CD=2,求线段BD的长.
【解析】(1)60°
(2)不变.理由:如图,延长AC交l于点Q.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCQ=90°.
又∵∠ABC=∠CBD,BC=BC,
∴△ABC≌△QBC.
∴AC=CQ=AQ.
又∵AE⊥l,CD⊥l,
∴AE∥CD,
∴=,
∴=.
(3)如图,过点C作CG∥DE分别交AE,AB于G,H.则四边形EDCG是矩形.
∴∠HCB=∠CBD,又∵∠ABC=∠CBD,
∴∠HCB=∠ABC,∴HC=HB.
∵∠ACH+∠HCB=∠CAH+∠ABC=90°,
∴∠CAH=∠ACH,∴HC=HA.
∴H,G分别是AB,AE的中点.
∴AE=2CD=4.
∵CG∥DE,
∴△HCF∽△BEF.
∴==.
∴设CH=2x,则BE=3x,GH=x,AB=4x,
在Rt△AEB中,AE2+BE2=AB2,
即42+(3x)2=(4x)2,解得x=,
∴BD=CG-BE=x-3x=x=×=.