第五章 投影与视图
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列说法正确的是 ( )
A.皮影可看成平行投影
B.无影灯(手术用的)是平行投影
C.路灯下人的影子为平行投影
D.日食是太阳光所形成的投影现象
2.小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩,等边三角形木框在地上的投影不可能是 ( )
A.线段 B.一个点 C.等边三角形 D.等腰三角形
3.(2023·泸州中考)一个立体图形的三视图如图所示,则该立体图形是 ( )
A.圆柱 B.圆锥 C.长方体 D.三棱柱
4.(2024·毕节七星关区期末)如图摆放的几何体中,三视图不可能出现三角形的是 ( )
5.如图,夜晚路灯下有一排同样高的旗杆,离路灯越近,旗杆的影子 ( )
A.越长 B.越短
C.一样长 D.随时间变化而变化
6.(2023·绥化中考)如图是一个正方体,被切去一角,则其左视图是 ( )
7.图中是一根电线杆的影子的俯视图,将它们按时间先后顺序进行排列,正确的是 ( )
A.④③①② B.②③①④ C.④①③② D.②①③④
8.如图2是图1长方体的三视图,若用S表示面积,S主=a2,S左=a2+a,则S俯= ( )
A.a2+a B.2a2 C.a2+2a+1 D.2a2+a
9. (2023·包头中考)几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示,图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数,该几何体的主视图是 ( )
10.一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的表面积是 ( )
A.6π B.4π C.8π D.4
11.如图,方桌正上方的灯泡(看成一个点),发出的光线照射方桌后,在地面上形成阴影,已知方桌边长1.2 m,桌面离地面1.2 m,灯泡离地面3.6 m,地面上阴影部分的面积为( )
A.3.24 m2 B.0.36 m2 C.1.8 m2 D.1.44 m2
12.一个几何体由若干个小正方体组成,其主视图和俯视图如图所示,若这个几何体中正方体的个数最多有m个,最少有n个,则m+n的值为 ( )
A.10 B.11 C.12 D.9
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图,小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片ABCD,在墙上形成矩形影子A'B'C'D',现测得OA=2 cm,OA'=5 cm,纸片ABCD的面积为8 cm2,则影子A'B'C'D'的面积为 cm2.
14.从某一个方向观察一个正六棱柱,可看到如图所示的图形,其中四边形ABCD为矩形,E,F分别是AB,DC的中点,若AD=8,AB=6,则这个正六棱柱的侧面积为 .
15.如图,在平面直角坐标系中,点(2,3)是一个光源.木杆AB两端的坐标分别为(-1,1),(3,1).则木杆AB在x轴上的投影长为 .
16.如图,一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子,当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时,影子的长度发生变化.设AB垂直于地面时的影长为AC(假定AC>AB),影长的最大值为m,最小值为n,那么下列结论中:①m>AC;②m=AC;③n=AB;④影子的长度先增大后减小.正确的结论序号是 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)试确定图中路灯的位置,并画出此时小明在路灯下的影子.
18. (10分)如图是一个几何体的三视图(单位:cm).
(1)这个几何体的名称是 ;
(2)根据图中尺寸,求这个几何体的表面积.(结果保留π)
19.(10分)(2024·贵阳南明区质检)如图,由几个棱长为1的正方体组成的一个几何体.
①请在方格纸中用实线画出这个几何体从不同方向看到的图形;
②该几何体的表面积是____ 平方单位(包括底面积).
20.(10分)如图,正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为四边形A1B1C1D1,其中边AB,CD与投影面平行,AD,BC与投影面不平行.若正方形ABCD的边长为5厘米,∠BCC1=45°,求其投影A1B1C1D1的面积.
21.(10分)如图,身高1.6 m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下,他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度,具体做法如下:先从路灯底部向东走20步到M处,发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处,继续沿刚才自己的影子走5步到P处,此时影子的端点在Q处.
(1)找出路灯的位置.
(2)估计路灯的高,并求影长PQ.
22.(12分)如图所示,有4张除了正面图案不同,其余都相同的卡片,将这4张卡片背面朝上混匀.
(1)若小李从中抽一张卡片,求抽到的卡片上所示的立体图形的主视图为矩形的概率;
(2)若小李先从中随机抽出一张后放回并混匀,小张再随机抽出一张,请用列表法或画树状图求两人抽到的卡片上所示的立体图形的主视图都是矩形的概率.
23.(12分)用小立方块搭一个几何体,使它从正面和上面看到的形状如图所示,从上面看到的形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数,请问:
(1)b= ;c= ;
(2)这个几何体最少由 个小立方块搭成,最多由 个小立方块搭成;
(3)从左面看这个几何体的形状图共有 种,请在所给网格图中画出其中的任意一种.
24.(12分)在“测量物体的高度”活动中,某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度.在同一时刻的阳光下,他们分别做了以下工作:
小芳:测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,甲树的影长为4米(如图1).
小华:发现乙树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2),墙壁上的影长为1.2米,落在地面上的影长为2.4米.
小丽:测量的丙树的影子除落在地面上外,还有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图3),测得此影子长为0.3米,一级台阶高为0.3米,落在地面上的影长为4.5米.
(1)在横线上直接填写甲树的高度为________米;
(2)求出乙树的高度;
(3)请选择丙树的高度为________. ( )
A.6.5米 B.5.5米 C.6.3米 D.4.9米
25.(12分)如图,小明家窗外有一堵围墙AB,由于围墙的遮挡,清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处,中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处,小明测得窗户距地面的高度OD=0.8 m,窗高CD=1.2 m,并测得OE=0.8 m,OF=3 m,求围墙AB的高度.第五章 投影与视图
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列说法正确的是 (D)
A.皮影可看成平行投影
B.无影灯(手术用的)是平行投影
C.路灯下人的影子为平行投影
D.日食是太阳光所形成的投影现象
2.小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩,等边三角形木框在地上的投影不可能是 (B)
A.线段 B.一个点 C.等边三角形 D.等腰三角形
3.(2023·泸州中考)一个立体图形的三视图如图所示,则该立体图形是 (D)
A.圆柱 B.圆锥 C.长方体 D.三棱柱
4.(2024·毕节七星关区期末)如图摆放的几何体中,三视图不可能出现三角形的是 (C)
5.如图,夜晚路灯下有一排同样高的旗杆,离路灯越近,旗杆的影子 (B)
A.越长 B.越短
C.一样长 D.随时间变化而变化
6.(2023·绥化中考)如图是一个正方体,被切去一角,则其左视图是 (B)
7.图中是一根电线杆的影子的俯视图,将它们按时间先后顺序进行排列,正确的是 (B)
A.④③①② B.②③①④ C.④①③② D.②①③④
8.如图2是图1长方体的三视图,若用S表示面积,S主=a2,S左=a2+a,则S俯= (A)
A.a2+a B.2a2 C.a2+2a+1 D.2a2+a
9. (2023·包头中考)几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示,图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数,该几何体的主视图是 (D)
10.一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的表面积是 (A)
A.6π B.4π C.8π D.4
11.如图,方桌正上方的灯泡(看成一个点),发出的光线照射方桌后,在地面上形成阴影,已知方桌边长1.2 m,桌面离地面1.2 m,灯泡离地面3.6 m,地面上阴影部分的面积为(A)
A.3.24 m2 B.0.36 m2 C.1.8 m2 D.1.44 m2
12.一个几何体由若干个小正方体组成,其主视图和俯视图如图所示,若这个几何体中正方体的个数最多有m个,最少有n个,则m+n的值为 (B)
A.10 B.11 C.12 D.9
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图,小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片ABCD,在墙上形成矩形影子A'B'C'D',现测得OA=2 cm,OA'=5 cm,纸片ABCD的面积为8 cm2,则影子A'B'C'D'的面积为 50 cm2.
14.从某一个方向观察一个正六棱柱,可看到如图所示的图形,其中四边形ABCD为矩形,E,F分别是AB,DC的中点,若AD=8,AB=6,则这个正六棱柱的侧面积为 96 .
15.如图,在平面直角坐标系中,点(2,3)是一个光源.木杆AB两端的坐标分别为(-1,1),(3,1).则木杆AB在x轴上的投影长为 6 .
16.如图,一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子,当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时,影子的长度发生变化.设AB垂直于地面时的影长为AC(假定AC>AB),影长的最大值为m,最小值为n,那么下列结论中:①m>AC;②m=AC;③n=AB;④影子的长度先增大后减小.正确的结论序号是 ①③④ .
三、解答题(共98分)
17.(10分)试确定图中路灯的位置,并画出此时小明在路灯下的影子.
【解析】如图所示:
18. (10分)如图是一个几何体的三视图(单位:cm).
(1)这个几何体的名称是________;
(2)根据图中尺寸,求这个几何体的表面积.(结果保留π)
【解析】(1)由三视图知该几何体是圆锥.
答案:圆锥
(2)圆锥体的表面积为×13×10π+π×52=90π.
19.(10分)(2024·贵阳南明区质检)如图,由几个棱长为1的正方体组成的一个几何体.
①请在方格纸中用实线画出这个几何体从不同方向看到的图形;
②该几何体的表面积是____________平方单位(包括底面积).
【解析】①如图所示:
②(6+6+6)×2×12=36(平方单位).
答案:36
20.(10分)如图,正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为四边形A1B1C1D1,其中边AB,CD与投影面平行,AD,BC与投影面不平行.若正方形ABCD的边长为5厘米,∠BCC1=45°,求其投影A1B1C1D1的面积.
【解析】过B点作BH⊥CC1于H,如图,∵∠BCC1=45°,
∴BH=CH,BC2=BH2+CH2,
∴BH==,
∵正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为四边形A1B1C1D1,
∴B1C1=BH=,C1D1=CD=5,
∴四边形A1B1C1D1的面积=×5=(cm2).
21.(10分)如图,身高1.6 m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下,他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度,具体做法如下:先从路灯底部向东走20步到M处,发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处,继续沿刚才自己的影子走5步到P处,此时影子的端点在Q处.
(1)找出路灯的位置.
(2)估计路灯的高,并求影长PQ.
【解析】(1)如图,点O为路灯的位置;
(2)作OA垂直地面,AM=20步,MP=5步,MN=PB=1.6 m,
∵MN∥OA,∴△PMN∽△PAO,
∴=,即=,∴OA=8 m,
∵PB∥OA,∴△QPB∽△QAO,
∴=,即=,∴PQ=步.
答:路灯的高为8 m,影长PQ为步.
22.(12分)如图所示,有4张除了正面图案不同,其余都相同的卡片,将这4张卡片背面朝上混匀.
(1)若小李从中抽一张卡片,求抽到的卡片上所示的立体图形的主视图为矩形的概率;
(2)若小李先从中随机抽出一张后放回并混匀,小张再随机抽出一张,请用列表法或画树状图求两人抽到的卡片上所示的立体图形的主视图都是矩形的概率.
【解析】(1)∵球的主视图为圆,长方体的主视图是矩形,圆锥的主视图为等腰三角形,圆柱的主视图为矩形,每张卡片被抽到是等可能的.
∴从4张卡片中抽一张卡片,抽到的卡片上所示的立体图形的主视图为矩形的概率为=;
(2)列表可得,
A B C D
A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D)
由表可知,共有16种等可能结果,其中两人抽出的卡片所示立体图形的主视图都是矩形的有4种,
所以两人抽出的卡片所示立体图形的主视图都是矩形的概率为,即.
23.(12分)用小立方块搭一个几何体,使它从正面和上面看到的形状如图所示,从上面看到的形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数,请问:
(1)b=________;c=________;
(2)这个几何体最少由________个小立方块搭成,最多由________个小立方块搭成;
(3)从左面看这个几何体的形状图共有________种,请在所给网格图中画出其中的任意一种.
【解析】(1)b=1,c=3;
(2)这个几何体最少由4+2+3=9个小立方块搭成;
这个几何体最多由6+2+3=11个小立方块搭成;
(3)能搭出满足条件的几何体共有7种情况,其中从左面看该几何体的形状图共有4种;小立方块最多时几何体的左视图如图所示:
答案:(1)1 3 (2)9 11 (3)4
24.(12分)在“测量物体的高度”活动中,某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度.在同一时刻的阳光下,他们分别做了以下工作:
小芳:测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,甲树的影长为4米(如图1).
小华:发现乙树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2),墙壁上的影长为1.2米,落在地面上的影长为2.4米.
小丽:测量的丙树的影子除落在地面上外,还有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图3),测得此影子长为0.3米,一级台阶高为0.3米,落在地面上的影长为4.5米.
(1)在横线上直接填写甲树的高度为________米;
(2)求出乙树的高度;
(3)请选择丙树的高度为________. ( )
A.6.5米 B.5.5米 C.6.3米 D.4.9米
【解析】(1)根据题意得=,解得x=5;
答案:5
(2)如图1所示:假设AB是乙树,
∴BC=2.4 m,CD=1.2 m,
∴=,
∴=,
∴CE=0.96 m,
∴=,
∴AB=4.2 m;
(3)选C.假设A'B'是丙树,如图2所示:
∵C'D'=0.3 m,D'F=0.3 m,A'C'=4.5 m,
∴E'F=4.5+0.3=4.8(m),
∴=,
∴=,
∴B'E'=6,∴A'B'=6+A'E'=6+0.3=6.3(m).
25.(12分)如图,小明家窗外有一堵围墙AB,由于围墙的遮挡,清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处,中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处,小明测得窗户距地面的高度OD=0.8 m,窗高CD=1.2 m,并测得OE=0.8 m,OF=3 m,求围墙AB的高度.
【解析】延长OD,∵DO⊥BF,∴∠DOE=90°,
∵OD=0.8 m,OE=0.8 m,∴∠DEB=45°,
∵AB⊥BF,∴∠BAE=45°,∴AB=BE,
设AB=EB=x m,∵AB⊥BF,CO⊥BF,
∴AB∥CO,∴△ABF∽△COF,
∴=,=,
解得:x=4.4 m.
经检验:x=4.4是原方程的解.
答:围墙AB的高度是4.4 m.
