第一章 特殊平行四边形
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是(D)
A.四条边相等,四个角相等 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分
2.如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下面判断错误的是 (C)
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
3.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形,则a的值为 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2023·丽水中考)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为 (D)
A. B.1 C. D.
5.如图,在矩形ABCD中,DE平分∠ADC交BC于点E,EF⊥AD交AD于点F,若EF=3,AE=5,则AD等于 (C)
A.5 B.6 C.7 D.8
6.(2024·贵阳乌当区质检)如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=2,AD=3,则图中阴影部分的面积为 (B)
A.6 B.3 C.2 D.1
7.如图,把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形BEF,若BC=1,则AB的长度为 (A)
A. B. C. D.
8.如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,2),将菱形绕点O旋转,当点A落在x轴上时,点C的对应点的坐标为(D)
A.(-2,-2)或(2,-2) B.(2,2)
C.(-2,2) D.(-2,-2)或(2,2)
9.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(9,0),点C的坐标为(0,3),以OA,OC为边作矩形OABC.动点E,F分别从点O,B同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA,BC向终点A,C移动.当移动时间为4秒时,AC·EF的值为 (D)
A. B.9 C.15 D.30
10.(2023·常德中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为 (C)
A.80° B.90° C.105° D.115°
11.如图,在平面直角坐标系中有一菱形OABC且∠A=120°,点O,B在y轴上,OA=1,现在把菱形向右无滑动翻转,每次翻转60°,点B的落点依次为B1,B2,B3…,连续翻转2 021次,则B2 021的坐标为(D)
A.(1 346,0) B.(1 346,)
C.(1 346.5,0) D.(1 346.5,)
12.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AD=AC,M,N,P分别是OA,OB,CD的中点,下列结论:
①CN⊥BD;②MN=NP;③四边形MNCP是菱形;④ND平分∠PNM.
其中正确的有 (C)
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为 3 .
14.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为点F,则BF的长为 2 .
15.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点H,tan∠ABG=,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为 10 .
16.如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值时,的值是 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2024·贵州一模)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,连接EF,AB∥EF,AB=BE.
(1)试判断四边形ABEF的形状,并说明理由;
(2)若AB=3,CE=1,求矩形ABCD的周长.
【解析】(1)四边形ABEF是正方形,理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AF∥BE,
∵AB∥EF,
∴四边形ABEF是平行四边形.
又∵∠A=90°,
∴ ABEF是矩形.
又∵AB=BE,
∴四边形ABEF是正方形.
(2)由(1)得四边形ABEF是正方形.
∴AB=BE=3.
又∵EC=1,
∴AB+BE+EC=7.
∴矩形ABCD的周长为2×7=14.
18.(10分)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5.
(1)△AOB是直角三角形吗 请说明理由;
(2)求证:四边形ABCD是菱形.
【解析】(1)△AOB是直角三角形,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,BD=8,
∴OB=OD=BD=4,
∵OA=3,OB=4,AB=5,
∴OA2+OB2=AB2,
∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°;
(2)由(1)可知,∠AOB=90°,∴AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
19.(10分)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF.
(1)求证:AE=AF;
(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
又∵AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
在△ABE与△ADF中,∵,
∴△ABE≌△ADF(AAS),
∴AE=AF;
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴∠B+∠BAD=180°.
而∠B=60°,∴∠BAD=120°.
又∵∠AEB=90°,∠B=60°,∴∠BAE=30°.
由(1)知△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=30°,
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°,
∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=60°.
20.(10分)(2023·安顺模拟)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB边上,且EF⊥AB,OG∥EF.
(1)判断四边形OEFG的形状,并说明理由;
(2)若OE=5,EF=4,求AD和BG的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD为菱形,
∴OB=OD,
∵点E为AD的中点,
∴OE为△ABD的中位线,
∴OE∥FG,
∵OG∥EF,
∴四边形OEFG为平行四边形,
∵EF⊥AB,
∴∠EFG=90°,
∴平行四边形OEFG为矩形;
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AD=AB=2OE=10,
∴∠AOD=∠AOB=90°,
∵点E是AD的中点,
∴OE=AE=5,
由(1)可知,四边形OEFG是矩形,
∴∠OGA=∠EFA=90°,OG=EF=4,OE=FG=5,
∴AF===3,
∴BG=AB-FG-AF=10-5-3=2.
21.(10分)如图,在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点,过点O作直线分别与矩形的边AD,BC交于M,N两点,连接CM,AN.
(1)求证:四边形ANCM为平行四边形;
(2)若AD=4,AB=2,且MN⊥AC,求DM的长.
【解析】(1)∵在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点,
∴AD∥BC,AO=CO,∴∠OAM=∠OCN,∠OMA=∠ONC,
在△AOM和△CON中,
∴△AOM≌△CON(AAS),∴AM=CN,
∵AM∥CN,∴四边形ANCM为平行四边形.
(2)∵在矩形ABCD中,AD=BC,由(1)知:AM=CN,
∴DM=BN,
∵四边形ANCM为平行四边形,MN⊥AC,
∴平行四边形ANCM为菱形,∴AM=AN=NC=AD-DM,
∴在Rt△ABN中,根据勾股定理,得AN2=AB2+BN2,
∴(4-DM)2=22+DM2,解得DM=.
22.(12分) 如图所示,有四个动点P,Q,E,F分别从正方形ABCD的四个顶点出发,沿着AB,BC,CD,DA以同样速度向B,C,D,A各点移动.
(1)试判断四边形PQEF是否是正方形,并证明;
(2)PE是否总过某一定点,并说明理由.
【解析】(1)在正方形ABCD中,AP=BQ=CE=DF,AB=BC=CD=DA,
∴BP=QC=ED=FA.
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°,
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF.
∴FP=PQ=QE=EF,∠APF=∠PQB.
∴四边形PQEF是菱形,
∵∠FPQ=90°,∴四边形PQEF为正方形.
(2)连接AC交PE于O,连接AE,PC.
∵AP平行且等于EC,
∴四边形APCE为平行四边形.
∵O为对角线AC的中点,
∴对角线PE总过AC的中点.
23.(12分)如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点F是DC边上的一点,连接AF,将△ADF沿直线AF折叠,点D落在点G处,连接AG并延长交DC于点H,连接FG并延长交BC于点M,交AB的延长线于点E,且AC=AE.
(1)求证:四边形DBEF是平行四边形;
(2)求证:FH=EM.
【解析】【证明】(1)∵△ADF沿直线AF折叠,点D落在点G处,
∴△ADF≌△AGF,
∴AD=AG,∠AGF=∠ADF=90°,
∴∠AGE=∠ADC=90°,
在Rt△ADC和Rt△AGE中,
,
∴Rt△ADC≌Rt△AGE(HL),
∴∠ACD=∠E,
在矩形ABCD中,对角线互相平分,
∴OA=OB,
∴∠CAB=∠ABD,
又∵DC∥AB,
∴∠ACD=∠CAB,
∴∠ABD=∠ACD,
∴∠ABD=∠E,
∴DB∥FE,
又∵DF∥BE,
∴四边形DBEF是平行四边形.
(2)∵四边形DBEF是平行四边形,
∴DF=EB,又∵DF=FG,∴FG=EB,
∵DC∥AE,∴∠HFG=∠E,
在△FGH和△EBM中,,
∴△FGH≌△EBM(ASA),∴FH=EM.
24.(12分)如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠,C,D的对应点分别为C',D',连接AD'交BC'于点F.
(1)若∠DED'=70°,求∠DAD'的度数;
(2)连接EF,试判断四边形C'D'EF的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵点E是AD的中点,∴AE=DE,
由翻折可知:D'E=DE,∴AE=D'E,
∴∠EAD'=∠ED'A,
∵∠DED'=∠EAD'+∠ED'A=70°,
∴∠DAD'=35°;
(2)四边形C'D'EF是矩形,理由如下:
如图,设AD,BC'交于点G,
由翻折可知:∠EBC=∠EBG,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠EBC=∠GEB,
∴∠GBE=∠GEB,∴GE=GB,
∵ED'∥BC',
∴∠AFG=∠AD'E,∴∠AFG=∠GAF,
∴GF=GA,∴AE=BF,
∵AD=2AE=BC',
∴BC'=2BF,∴F是BC'的中点,
∴FC'=BC',
∵ED'=ED=AD,∴FC'=ED',
∵ED'∥BC',∴四边形C'D'EF是平行四边形,
∵∠C'=∠C=90°,
∴四边形C'D'EF是矩形.
25.(12分)【感知】如图①,四边形ABCD,CEFG均为正方形.可知BE=DG.
【拓展】如图②,四边形ABCD,CEFG均为菱形,且∠A=∠F.求证:BE=DG.
【应用】如图③,四边形ABCD,CEFG均为菱形,点E在边AD上,点G在AD延长线上.若AE=2ED,∠A=∠F,△EBC的面积为8,求菱形CEFG的面积.
【解析】拓展:∵四边形ABCD,四边形CEFG均为菱形,
∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠A,∠ECG=∠F.
∵∠A=∠F,∴∠BCD=∠ECG.
∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD,
即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中,
∴△BCE≌△DCG(SAS),∴BE=DG.
应用:∵四边形ABCD为菱形,∴AD∥BC,∵BE=DG,
∴S△ABE+S△CDE=S△BEC=S△CDG=8,
∵AE=2ED,∴S△CDE=×8=,
∴S△ECG=S△CDE+S△CDG=,∴S菱形CEFG=2S△ECG=.第一章 特殊平行四边形
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )
A.四条边相等,四个角相等 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分
2.如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下面判断错误的是 ( )
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
3.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形,则a的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2023·丽水中考)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为 ( )
A. B.1 C. D.
5.如图,在矩形ABCD中,DE平分∠ADC交BC于点E,EF⊥AD交AD于点F,若EF=3,AE=5,则AD等于 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.(2024·贵阳乌当区质检)如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=2,AD=3,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.6 B.3 C.2 D.1
7.如图,把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形BEF,若BC=1,则AB的长度为 ( )
A. B. C. D.
8.如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,2),将菱形绕点O旋转,当点A落在x轴上时,点C的对应点的坐标为( )
A.(-2,-2)或(2,-2) B.(2,2)
C.(-2,2) D.(-2,-2)或(2,2)
9.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(9,0),点C的坐标为(0,3),以OA,OC为边作矩形OABC.动点E,F分别从点O,B同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA,BC向终点A,C移动.当移动时间为4秒时,AC·EF的值为 ( )
A. B.9 C.15 D.30
10.(2023·常德中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为 ( )
A.80° B.90° C.105° D.115°
11.如图,在平面直角坐标系中有一菱形OABC且∠A=120°,点O,B在y轴上,OA=1,现在把菱形向右无滑动翻转,每次翻转60°,点B的落点依次为B1,B2,B3…,连续翻转2 021次,则B2 021的坐标为( )
A.(1 346,0) B.(1 346,)
C.(1 346.5,0) D.(1 346.5,)
12.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AD=AC,M,N,P分别是OA,OB,CD的中点,下列结论:
①CN⊥BD;②MN=NP;③四边形MNCP是菱形;④ND平分∠PNM.
其中正确的有 ( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为 .
14.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为点F,则BF的长为 .
15.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点H,tan∠ABG=,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为 .
16.如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值时,的值是
.
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2024·贵州一模)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,连接EF,AB∥EF,AB=BE.
(1)试判断四边形ABEF的形状,并说明理由;
(2)若AB=3,CE=1,求矩形ABCD的周长.
18.(10分)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5.
(1)△AOB是直角三角形吗 请说明理由;
(2)求证:四边形ABCD是菱形.
19.(10分)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF.
(1)求证:AE=AF;
(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.
20.(10分)(2023·安顺模拟)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB边上,且EF⊥AB,OG∥EF.
(1)判断四边形OEFG的形状,并说明理由;
(2)若OE=5,EF=4,求AD和BG的长.
21.(10分)如图,在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点,过点O作直线分别与矩形的边AD,BC交于M,N两点,连接CM,AN.
(1)求证:四边形ANCM为平行四边形;
(2)若AD=4,AB=2,且MN⊥AC,求DM的长.
22.(12分) 如图所示,有四个动点P,Q,E,F分别从正方形ABCD的四个顶点出发,沿着AB,BC,CD,DA以同样速度向B,C,D,A各点移动.
(1)试判断四边形PQEF是否是正方形,并证明;
(2)PE是否总过某一定点,并说明理由.
23.(12分)如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点F是DC边上的一点,连接AF,将△ADF沿直线AF折叠,点D落在点G处,连接AG并延长交DC于点H,连接FG并延长交BC于点M,交AB的延长线于点E,且AC=AE.
(1)求证:四边形DBEF是平行四边形;
(2)求证:FH=EM.
24.(12分)如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠,C,D的对应点分别为C',D',连接AD'交BC'于点F.
(1)若∠DED'=70°,求∠DAD'的度数;
(2)连接EF,试判断四边形C'D'EF的形状,并说明理由.
25.(12分)【感知】如图①,四边形ABCD,CEFG均为正方形.可知BE=DG.
【拓展】如图②,四边形ABCD,CEFG均为菱形,且∠A=∠F.求证:BE=DG.
【应用】如图③,四边形ABCD,CEFG均为菱形,点E在边AD上,点G在AD延长线上.若AE=2ED,∠A=∠F,△EBC的面积为8,求菱形CEFG的面积.
