第三章 圆
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2023·自贡中考)如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是 (C)
A.41° B.45° C.49° D.59°
2.如图,AB,AC是☉O的两条弦,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,连接OB,OC.若∠DOE=130°,则∠BOC的度数为 (B)
A.95° B.100° C.105° D.130°
3.如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4,DE=4,则BC的长是(C)
A.1 B. C.2 D.4
4.如图,在半径为3的☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则cos D的值是 (B)
A.3 B. C. D.
5.如图,AB是☉O的直径,CD为弦,CD⊥AB且相交于点E,则下列结论中不成立的是 (D)
A.∠A=∠D B.=
C.∠ACB=90° D.∠COB=3∠D
6.(2023·江西中考)如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为 (D)
A.3 B.4 C.5 D.6
7. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求,设计了一个如图(1)所示的工件槽,其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内时,若同时具有图(1)所示的A,B,E三个接触点,该球的大小就符合要求.图(2)是过球心及A,B,E三点的截面示意图,已知☉O的直径就是铁球的直径,AB是☉O的弦,CD切☉O于点E,AC⊥CD,BD⊥CD,若CD=16 cm,AC=BD=4 cm,则这种铁球的直径为 (C)
A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.24 cm
8.如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的☉O的圆心O在格点上,则∠BED的正切值等于(D)
A. B. C.2 D.
9.(2023·连云港中考)如图,矩形ABCD内接于☉O,分别以AB,BC,CD,AD为直径向外作半圆.若AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是(D)
A.π-20 B.π-20 C.20π D.20
10.如图,BC为☉O的直径,弦AD⊥BC于点E,直线l切☉O于点C,延长OD交l于点F,若AE=2,∠ABC=22.5°,则CF的长度为(B)
A.2 B.2 C.2 D.4
11.(2023·山西中考)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),则点M的坐标为 (A)
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(2,-3) D.(-2,-3)
12.(2023·黔南州长顺质检)如图,在等腰三角形ABC中,O为底边BC的中点,以O为圆心作半圆与AB,AC相切,切点分别为D,E.过半圆上一点F作半圆的切线,分别交AB,AC于M,N.那么的值等于 (B)
A. B. C. D.1
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·郴州中考)如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 4 台.
14.如图,圆中扇子对应的圆心角α(α<180°)与剩余圆心角β的比值为黄金比时,扇子会显得更加美观,若黄金比取0.6,则β-α的度数是 90° .
15.如图,在半径为1的☉O上顺次取点A,B,C,D,E,连接AB,AE,OB,OC,OD,OE.若∠BAE=65°,∠COD=70°,则与的长度之和为 (结果保留π).
16.(2023·成都中考)为传承非遗文化,讲好中国故事,某地准备在一个场馆进行川剧演出.该场馆底面为一个圆形,如图所示,其半径是10米,从A到B有一笔直的栏杆,圆心O到栏杆AB的距离是5米,观众在阴影区域里观看演出,如果每平方米可以坐3名观众,那么最多可容纳 183 名观众同时观看演出.(π取3.14,取1.73)
三、解答题(共98分)
17.(10分) (2023·宜昌中考)2023年5月30日,“神舟十六号”航天飞船成功发射.如图,飞船在离地球大约330 km的圆形轨道上,当运行到地球表面P点的正上方F点时,从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q.在Rt△OQF中,OP=OQ≈6 400 km.
(参考数据:cos 16°≈0.96,cos 18°≈0.95,cos 20°≈0.94,cos 22°≈0.93,π≈3.14)
(1)求cos α的值(精确到0.01);
(2)在☉O中,求的长(结果取整数).
【解析】(1)由题意知FQ是☉O的切线,∴∠OQF=90°.
∵OP=OQ=6 400 km,FP=330 km,
∴OF=OP+FP=6 730 km,
∴cos α==≈0.95;
(2)∵cos α≈0.95,∴α=18°,∴的长为≈2 010(km).
18.(10分)如图,点A,B,C,D在☉O上,=.
求证:(1)AC=BD;
(2)△ABE∽△DCE.
【证明】(1)∵=,∴=,∴AC=BD;
(2)∵∠A=∠D,∠B=∠C,∴△ABE∽△DCE.
19.(10分)(2023·绍兴中考)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,过点C作☉O的切线CD,交AB的延长线于点D,过点A作AE⊥CD于点E.
(1)若∠EAC=25°,求∠ACD的度数;
(2)若OB=2,BD=1,求CE的长.
【解析】(1)∵AE⊥CD于点E,∴∠AEC=90°,
∴∠ACD=∠AEC+∠EAC=90°+25°=115°;
(2)∵CD是☉O的切线,∴半径OC⊥DE,∴∠OCD=90°.
∵OC=OB=2,BD=1,∴OD=OB+BD=3,
∴CD==.
∵∠OCD=∠AEC=90°,∴OC∥AE,
∴=,∴=,∴CE=.
20.(10分)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中点E是AD的中点.
(1)求证:∠CAD=∠CBA.
(2)求OE的长.
【解析】(1)∵AE=DE,OC是☉O的半径,
∴=,
∴∠CAD=∠CBA.
(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∵AE=DE,∴OC⊥AD,
∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ACB,
又由(1)知∠CAE=∠ABC,∴△AEC∽△BCA,
∴=,
∴=,∴CE=3.6,
∵OC=AB=5,
∴OE=OC-EC=5-3.6=1.4.
21.(10分)△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,将△ABC绕点C旋转到△EDC,点E在☉O上,已知AE=2,tanD=3,求AB的值.
【解析】∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=∠ACB=90°,
∵将△ABC绕点C旋转到△EDC,∴AC=CE,BC=CD,AB=DE,∠ACE=∠BCD,∠ECD=∠ACB=90°,
∵tanD==3,∴设CE=3x,CD=x,∴DE=x,
∵∠ACE=∠BCD,∠D=∠ABC=∠AEC,∴△ACE∽△BCD,∴===3,
∵AE=2,∴BD=∴BE=DE-BD=x-,
∵AE2+BE2=AB2,
∴22+(x-)2=(x)2,
∴x=,
∴AB=x=×=.
22.(12分)如图,AB是半圆AOB的直径,C是半圆上的一点,AD平分∠BAC交半圆于点D,过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H.
(1)求证:DH是半圆的切线;
(2)若DH=2,sin∠BAC=,求半圆的直径.
【解析】(1)连接OD,
∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠OAD,
∴∠CAD=∠ADO,∴AH∥OD,
∵DH⊥AC,∴OD⊥DH,
又∵OD是半圆的半径,
∴DH是半圆的切线;
(2)连接BC交OD于E,
∵AB是半圆AOB的直径,
∴∠ACB=90°,
∴四边形CEDH是矩形,
∴CE=DH=2,∠DEC=90°,
∴OD⊥BC,∴BC=2CE=4,
∵sin∠BAC==,∴AB=12,
即半圆的直径为12.
23.(12分)(2023·安徽中考)已知四边形ABCD内接于☉O,对角线BD是☉O的直径.
(1)如图1,连接OA,CA,若OA⊥BD,求证:CA平分∠BCD;
(2)如图2,E为☉O内一点,满足AE⊥BC,CE⊥AB.若BD=3,AE=3,求弦BC的长.
【解析】(1)∵OA⊥BD,∴=,
∴∠ACB=∠ACD,即CA平分∠BCD;
(2)延长AE交BC于M,延长CE交AB于N,
∵AE⊥BC,CE⊥AB,∴∠AMB=∠CNB=90°.
∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=∠BCD=90°,
∴∠BAD=∠CNB,∠BCD=∠AMB,
∴AD∥NC,CD∥AM,
∴四边形AECD是平行四边形,
∴AE=CD=3,∴BC===3.
24.(12分)(2024·贵州一模)如图,已知☉O是四边形ABCD的外接圆,AB为直径,点C为的中点,过点C作AD的垂线,交AD的延长线于点E,连接AC.
(1)写出图中一个与∠CAD相等的角________;
(2)试判断CE与☉O的位置关系,并说明理由;
(3)探究AE,DE,AB之间的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)∠BAC(答案不唯一)
(2)CE与☉O相切.
理由如下:如图,连接OC,
点C为的中点,即=.
∴∠CAD=∠CAB.
∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAB,
∴∠CAD=∠ACO,∴AE∥OC.
∴∠CED+∠ECO=180°.
∵CE⊥AE,∴∠CED=90°.
∴∠ECO=90°,∴CE⊥OC.
又∵OC为半径,∴CE与☉O相切.
(3)AE+DE=AB.
理由如下:过点C作CF⊥AB于点F.
由(2)得,∠CAD=∠CAB,∴CD=BC,CE=CF.
∴Rt△CED≌Rt△CFB.∴DE=BF.
又∵AC=AC,∴Rt△ACE≌Rt△ACF.∴AE=AF.
又∵AB=AF+BF=AE+DE,∴AE+DE=AB.
25.(12分)(2023·齐齐哈尔中考)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点E是斜边AC上一点,以AE为直径的☉O经过点D,交AB于点F,连接DF.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)若BD=5,tan∠ADB=,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
【解析】(1)连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠BAD,
∴∠ODA=∠BAD,∴OD∥AB,∴∠ODC=∠B=90°,
∴半径OD⊥BC于点D,∴BC是☉O的切线;
(2)连接OF,DE,
∵∠B=90°,tan∠ADB=,
∴∠ADB=60°,∠BAD=30°.
∵BD=5,∴AD=2BD=10.∵AE是☉O的直径,
∴∠ADE=90°.
∵AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠BAD=30°,
在Rt△ADE中,AD=10,
∵cos∠DAE==,
∴AE=,
∴OA=AE=.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAD=60°.
∵OA=OF,∴△AOF是等边三角形,∴∠AOF=60°.
∵OD∥AB,
∴S△ADF=S△AOF,
∴S阴影=S扇形OAF==.第三章 圆
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2023·自贡中考)如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是 ( )
A.41° B.45° C.49° D.59°
2.如图,AB,AC是☉O的两条弦,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,连接OB,OC.若∠DOE=130°,则∠BOC的度数为 ( )
A.95° B.100° C.105° D.130°
3.如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4,DE=4,则BC的长是( )
A.1 B. C.2 D.4
4.如图,在半径为3的☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则cos D的值是 ( )
A.3 B. C. D.
5.如图,AB是☉O的直径,CD为弦,CD⊥AB且相交于点E,则下列结论中不成立的是 ( )
A.∠A=∠D B.=
C.∠ACB=90° D.∠COB=3∠D
6.(2023·江西中考)如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求,设计了一个如图(1)所示的工件槽,其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内时,若同时具有图(1)所示的A,B,E三个接触点,该球的大小就符合要求.图(2)是过球心及A,B,E三点的截面示意图,已知☉O的直径就是铁球的直径,AB是☉O的弦,CD切☉O于点E,AC⊥CD,BD⊥CD,若CD=16 cm,AC=BD=4 cm,则这种铁球的直径为 ( )
A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.24 cm
8.如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的☉O的圆心O在格点上,则∠BED的正切值等于( )
A. B. C.2 D.
9.(2023·连云港中考)如图,矩形ABCD内接于☉O,分别以AB,BC,CD,AD为直径向外作半圆.若AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是( )
A.π-20 B.π-20 C.20π D.20
10.如图,BC为☉O的直径,弦AD⊥BC于点E,直线l切☉O于点C,延长OD交l于点F,若AE=2,∠ABC=22.5°,则CF的长度为( )
A.2 B.2 C.2 D.4
11.(2023·山西中考)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),则点M的坐标为 ( )
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(2,-3) D.(-2,-3)
12.(2023·黔南州长顺质检)如图,在等腰三角形ABC中,O为底边BC的中点,以O为圆心作半圆与AB,AC相切,切点分别为D,E.过半圆上一点F作半圆的切线,分别交AB,AC于M,N.那么的值等于 ( )
A. B. C. D.1
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·郴州中考)如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台.
14.如图,圆中扇子对应的圆心角α(α<180°)与剩余圆心角β的比值为黄金比时,扇子会显得更加美观,若黄金比取0.6,则β-α的度数是 .
15.如图,在半径为1的☉O上顺次取点A,B,C,D,E,连接AB,AE,OB,OC,OD,OE.若∠BAE=65°,∠COD=70°,则与的长度之和为 (结果保留π).
16.(2023·成都中考)为传承非遗文化,讲好中国故事,某地准备在一个场馆进行川剧演出.该场馆底面为一个圆形,如图所示,其半径是10米,从A到B有一笔直的栏杆,圆心O到栏杆AB的距离是5米,观众在阴影区域里观看演出,如果每平方米可以坐3名观众,那么最多可容纳 名观众同时观看演出.(π取3.14,取1.73)
三、解答题(共98分)
17.(10分) (2023·宜昌中考)2023年5月30日,“神舟十六号”航天飞船成功发射.如图,飞船在离地球大约330 km的圆形轨道上,当运行到地球表面P点的正上方F点时,从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q.在Rt△OQF中,OP=OQ≈6 400 km.
(参考数据:cos 16°≈0.96,cos 18°≈0.95,cos 20°≈0.94,cos 22°≈0.93,π≈3.14)
(1)求cos α的值(精确到0.01);
(2)在☉O中,求的长(结果取整数).
18.(10分)如图,点A,B,C,D在☉O上,=.
求证:(1)AC=BD;
(2)△ABE∽△DCE.
19.(10分)(2023·绍兴中考)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,过点C作☉O的切线CD,交AB的延长线于点D,过点A作AE⊥CD于点E.
(1)若∠EAC=25°,求∠ACD的度数;
(2)若OB=2,BD=1,求CE的长.
20.(10分)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中点E是AD的中点.
(1)求证:∠CAD=∠CBA.
(2)求OE的长.
21.(10分)△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,将△ABC绕点C旋转到△EDC,点E在☉O上,已知AE=2,tanD=3,求AB的值.
22.(12分)如图,AB是半圆AOB的直径,C是半圆上的一点,AD平分∠BAC交半圆于点D,过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H.
(1)求证:DH是半圆的切线;
(2)若DH=2,sin∠BAC=,求半圆的直径.
23.(12分)(2023·安徽中考)已知四边形ABCD内接于☉O,对角线BD是☉O的直径.
(1)如图1,连接OA,CA,若OA⊥BD,求证:CA平分∠BCD;
(2)如图2,E为☉O内一点,满足AE⊥BC,CE⊥AB.若BD=3,AE=3,求弦BC的长.
24.(12分)(2024·贵州一模)如图,已知☉O是四边形ABCD的外接圆,AB为直径,点C为的中点,过点C作AD的垂线,交AD的延长线于点E,连接AC.
(1)写出图中一个与∠CAD相等的角________;
(2)试判断CE与☉O的位置关系,并说明理由;
(3)探究AE,DE,AB之间的数量关系,并说明理由.
