第一章 直角三角形的边角关系
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,那么cosA等于 ( )
A. B. C. D.
2.(2024·遵义仁怀市期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,CD⊥AB于点D,设∠ACD=α,则cos α的值为 ( )
A. B. C. D.
3.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanA= ( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中,点A(sin 30°,-cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是 ( )
A.(-,-) B.(,) C.(,) D.(-,-)
5.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为37°,大厅两层之间的距离BC为6米,则自动扶梯AB的长约为(sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75)( )
A.7.5米 B.8米 C.9米 D.10米
6.一配电房示意图如图所示,它是一个轴对称图形.已知BC=6 m,∠ABC=α,则房顶A离地面EF的高度为 ( )
A.(4+3sin α)m B.(4+3tan α)m
C.(4+)m D.(4+)m
7.(2024·黔南州福泉市质检)已知△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=20,则△ABC的周长是 ( )
A.40 B.50 C.60 D.70
8.如图,一架人字梯,若AB=AC,梯子离地面的垂直距离AD为2米,AC与地面BC的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC为 ( )
A.2tan α米 B.米 C.4tan α米 D.米
9.(2024·毕节金沙县质检)若数轴上tan 30°的值用一个点表示,这个点的位置可能落在线段 ( )
A.① B.② C.③ D.④
10.如图,为了加快开凿隧道的施工进度,要在小山的两端同时施工.在AC上找一点B,取∠ABD=145°,BD=500 m,∠D=55°,要使A,C,E成一直线,那么开挖点E离点D的距离是 ( )
A.500sin55° m B.500cos55° m
C.500tan55° m D. m
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,点D是AC上一点,连接BD.若tan A=,tan∠ABD=,则CD的长为 ( )
A.2 B.3 C. D.2
12.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图,某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时,在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°,无人机垂直下降40 m至B处,又测得试验田左侧边界M处俯角为35°,则M,N之间的距离为 ( )
(参考数据:tan 43°≈0.9,sin 43°≈0.7,cos 35°≈0.8,tan 35°≈0.7,结果保留整数)
A.188 m B.269 m C.286 m D.312 m
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.在△ABC中,已知两锐角A,B,且cos =,则△ABC是 三角形.
14.(2024·铜仁思南县期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB长为5,=6,则tan A+tan B的值为 .
15.(2024·贵阳开阳县期末)已知方程x2-7x+12=0两根大小为直角三角形的两直角边长长度,则其最小角的余弦值为 .
16.(2023·枣庄中考)如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为 米.(结果保留根号)
三、解答题(共98分)
17.(12分)计算(1)sin 30°+-2-1.
(2)|-3|-2tan 45°+(-1)2 024-(-π)0.
(3)3tan 30°-+cos 45°+.
18.(10分)(2023·铜仁玉屏县模拟)高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周围的噪音.如图,点A是某市一高考考点,在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队.在听力考试期间,消防队突然接到报警电话,告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾,消防队必须立即赶往救火.已知消防车的警报声传播半径为100米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防车必须改道行驶,试问:消防车是否需要改道行驶 请说明理由.(取1.732)
19.(10分)如图,CD是平面镜,光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点,若入射角为α,反射角为β(反射角等于入射角),AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且AC=3,BD=6,CD=12,求tan α的值.
20.(10分)(2024·贵州一模)贵州榕江的增冲鼓楼是我国侗寨现存最老的鼓楼之一.如图是太阳光照射鼓楼形成的示意图.BD,BC分别是不同时刻太阳光照射鼓楼的影长,测得∠ADB=45°,∠ACB=39°,CD=56.25 m.(点D,B,C在同一水平线上,且点A,D,B,C在同一平面内)
(1)设鼓楼高AB为x m,则BC的长为____ m(用含x的代数式表示).
(2)求鼓楼AB的高度(结果保留整数).
(参考数据:tan 39°≈0.80,sin 39°≈0.62,cos 39°≈0.77)
21.(10分) (2023·临沂中考)如图,灯塔A周围9海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处,测得灯塔A在北偏西58°方向上,继续航行6海里后到达C处,测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行,有没有触礁的危险
(参考数据:sin 32°≈0.530,cos 32°≈0.848,tan 32°≈0.625,sin 58°≈0.848,cos 58°≈0.530,tan 58°≈1.6)
22.(10分)如图,在一座山的前方有一栋住宅楼,已知山高AB=120 m,楼高CD=99 m,某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅楼的点E处.在点A处测得点E的俯角∠EAM=45°,上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅楼点F处,在点A处测得点F的俯角∠FAM=60°,已知每层楼的高度为3 m,EF=40 m,问:以当天测量数据为依据,不考虑季节天气变化,至少要买该住宅的第几层楼,才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙 (≈1.73)(结果保留一位小数)
23.(12分)东昌湖西岸的明珠大剧院,隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应.如图所示,城门楼B在角楼A的正东方向520 m处,南关桥C在城门楼B的正南方向1 200 m处.在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向,南关桥C在南偏东56.31°方向(点A,B,C,P四点在同一平面内),求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1 m).
(参考数据:sin 68.2°≈0.928,cos 68.2°≈0.371,tan 68.2°≈2.50,sin 56.31°≈0.832,cos 56.31°≈0.555,tan 56.31°≈1.50)
24.(12分)
如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,作BC的垂直平分线交AC于点D,延长AC至点E,使CE=AB.
(1)若AE=1,求△ABD的周长;
(2)若AD=BD,求tan∠ABC的值.
25.(12分)(2023·凉山州中考)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C,E两处安装了测速仪,该段隧道的截面示意图如图所示,图中所有点都在同一平面内,且点A,D,B,F在同一直线上.点C,点E到AB的距离分别为CD,EF,且CD=EF=7 m,CE=895 m,在C处测得A点的俯角为30°,在E处测得B点的俯角为45°,小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45 s.
(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1 m);
(2)若该隧道限速80 km/h,判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速 并通过计算说明理由.(参考数据:≈1.4,≈1.7)第一章 直角三角形的边角关系
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,那么cosA等于 (B)
A. B. C. D.
2.(2024·遵义仁怀市期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,CD⊥AB于点D,设∠ACD=α,则cos α的值为 (A)
A. B. C. D.
3.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanA= (C)
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中,点A(sin 30°,-cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是 (D)
A.(-,-) B.(,) C.(,) D.(-,-)
5.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为37°,大厅两层之间的距离BC为6米,则自动扶梯AB的长约为(sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75)(D)
A.7.5米 B.8米 C.9米 D.10米
6.一配电房示意图如图所示,它是一个轴对称图形.已知BC=6 m,∠ABC=α,则房顶A离地面EF的高度为 (B)
A.(4+3sin α)m B.(4+3tan α)m
C.(4+)m D.(4+)m
7.(2024·黔南州福泉市质检)已知△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=20,则△ABC的周长是 (C)
A.40 B.50 C.60 D.70
8.如图,一架人字梯,若AB=AC,梯子离地面的垂直距离AD为2米,AC与地面BC的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC为 (D)
A.2tan α米 B.米 C.4tan α米 D.米
9.(2024·毕节金沙县质检)若数轴上tan 30°的值用一个点表示,这个点的位置可能落在线段 (A)
A.① B.② C.③ D.④
10.如图,为了加快开凿隧道的施工进度,要在小山的两端同时施工.在AC上找一点B,取∠ABD=145°,BD=500 m,∠D=55°,要使A,C,E成一直线,那么开挖点E离点D的距离是 (B)
A.500sin55° m B.500cos55° m
C.500tan55° m D. m
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,点D是AC上一点,连接BD.若tan A=,tan∠ABD=,则CD的长为 (C)
A.2 B.3 C. D.2
12.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图,某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时,在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°,无人机垂直下降40 m至B处,又测得试验田左侧边界M处俯角为35°,则M,N之间的距离为 (C)
(参考数据:tan 43°≈0.9,sin 43°≈0.7,cos 35°≈0.8,tan 35°≈0.7,结果保留整数)
A.188 m B.269 m C.286 m D.312 m
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.在△ABC中,已知两锐角A,B,且cos =,则△ABC是 直角 三角形.
14.(2024·铜仁思南县期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB长为5,=6,则tan A+tan B的值为 .
15.(2024·贵阳开阳县期末)已知方程x2-7x+12=0两根大小为直角三角形的两直角边长长度,则其最小角的余弦值为 .
16.(2023·枣庄中考)如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为 (3+) 米.(结果保留根号)
三、解答题(共98分)
17.(12分)计算(1)sin 30°+-2-1.
(2)|-3|-2tan 45°+(-1)2 024-(-π)0.
(3)3tan 30°-+cos 45°+.
【解析】(1)原式=+3-=3.
(2)|-3|-2tan 45°+(-1)2 024-(-π)0
=3-2×1+1-1
=3-2+1-1
=1.
(3)原式=3×-+×+
=-2+2+-1
=2-1.
18.(10分)(2023·铜仁玉屏县模拟)高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周围的噪音.如图,点A是某市一高考考点,在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队.在听力考试期间,消防队突然接到报警电话,告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾,消防队必须立即赶往救火.已知消防车的警报声传播半径为100米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防车必须改道行驶,试问:消防车是否需要改道行驶 请说明理由.(取1.732)
【解析】如图,过点A作AH⊥CF于点H,
由题意得∠MCF=75°,∠CAN=15°,AC=125米,
∵CM∥AN,∴∠ACM=∠CAN=15°,
∴∠ACH=∠MCF-∠ACM=75°-15°=60°,
∴在Rt△ACH中,AH=AC·sin∠ACH=125×≈108.25(米)>100米.
答:消防车不需要改道行驶.
19.(10分)如图,CD是平面镜,光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点,若入射角为α,反射角为β(反射角等于入射角),AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且AC=3,BD=6,CD=12,求tan α的值.
【解析】如图,
由题意得OE⊥CD,
又∵AC⊥CD,
∴AC∥OE,∴∠A=α,
同理可得∠B=β,
∵α=β,∴∠A=∠B,
在△AOC和△BOD中,,
∴△AOC∽△BOD,
∴=,
∴=,
解得OC=4,
∴tan α=tan A==.
20.(10分)(2024·贵州一模)贵州榕江的增冲鼓楼是我国侗寨现存最老的鼓楼之一.如图是太阳光照射鼓楼形成的示意图.BD,BC分别是不同时刻太阳光照射鼓楼的影长,测得∠ADB=45°,∠ACB=39°,CD=56.25 m.(点D,B,C在同一水平线上,且点A,D,B,C在同一平面内)
(1)设鼓楼高AB为x m,则BC的长为____ m(用含x的代数式表示).
(2)求鼓楼AB的高度(结果保留整数).
(参考数据:tan 39°≈0.80,sin 39°≈0.62,cos 39°≈0.77)
【解析】(1)(56.25-x)(答案不唯一)
(2)由(1)得BC=56.25-x,
在Rt△ABC中,∠ACB=39°,
∵tan 39°=≈0.80,
∴≈0.80,
解得x=25,
经检验,x=25是方程的解.
∴鼓楼AB的高度约为25 m.
21.(10分) (2023·临沂中考)如图,灯塔A周围9海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处,测得灯塔A在北偏西58°方向上,继续航行6海里后到达C处,测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行,有没有触礁的危险
(参考数据:sin 32°≈0.530,cos 32°≈0.848,tan 32°≈0.625,sin 58°≈0.848,cos 58°≈0.530,tan 58°≈1.6)
【解析】过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,设AD=x海里,
由题意得,∠ABD=32°,∠ACD=45°,BC=6海里,
在Rt△ACD中,∠ACD=∠CAD=45°,
∴AD=CD=x海里,
在Rt△ABD中,tan∠ABD=,
∴BD=≈=6+x,
解得x=10,
∵10>9,
∴如果渔船不改变航线继续向西航行,没有触礁危险.
22.(10分)如图,在一座山的前方有一栋住宅楼,已知山高AB=120 m,楼高CD=99 m,某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅楼的点E处.在点A处测得点E的俯角∠EAM=45°,上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅楼点F处,在点A处测得点F的俯角∠FAM=60°,已知每层楼的高度为3 m,EF=40 m,问:以当天测量数据为依据,不考虑季节天气变化,至少要买该住宅的第几层楼,才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙 (≈1.73)(结果保留一位小数)
【解析】根据题意可知:四边形ABDM是矩形,
∴AB=MD=120 m,
在Rt△AME中,ME=AMtan45°=AM,
在Rt△AMF中,MF=AMtan60°=AM,
∵EF=MF-ME=40 m,∴AM-AM=40 m,∴AM≈54.8(m),
∴MF≈54.8×1.73≈94.8(m),
∴DF=120-94.8=25.2(m),25.2÷3=8.4,
答:至少要买该住宅的第9层楼,才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙.
23.(12分)东昌湖西岸的明珠大剧院,隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应.如图所示,城门楼B在角楼A的正东方向520 m处,南关桥C在城门楼B的正南方向1 200 m处.在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向,南关桥C在南偏东56.31°方向(点A,B,C,P四点在同一平面内),求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1 m).
(参考数据:sin 68.2°≈0.928,cos 68.2°≈0.371,tan 68.2°≈2.50,sin 56.31°≈0.832,cos 56.31°≈0.555,tan 56.31°≈1.50)
【解析】过点P作PE⊥BC于点E,过点A作AD⊥PE于点D,则四边形ADEB是矩形,
∴DE=AB=520 m,
设PD=x m,
在Rt△APD中,∵∠PAD=68.2°,
∴AD=≈(m),
∴BE=AD=m,
∴PE=PD+DE=(x+520)m,
CE=BC-BE=(1 200-)m,
在Rt△PCE中,tan C=tan 56.31°==
≈1.5,
解得x=800,
∴PD=800m,
∴PE=PD+DE=800+520=1 320(m),
答:明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1 320 m.
24.(12分)
如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,作BC的垂直平分线交AC于点D,延长AC至点E,使CE=AB.
(1)若AE=1,求△ABD的周长;
(2)若AD=BD,求tan∠ABC的值.
【解析】(1)如图,连接BD,设BC的垂直平分线交BC于点F,
∴BD=CD,C△ABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC,
∵AB=CE,∴C△ABD=AC+CE=AE=1,故△ABD的周长为1;
(2)设AD=x,∴BD=3x,又∵BD=CD,∴AC=AD+CD=4x,在Rt△ABD中,AB===2x,
∴tan∠ABC===.
25.(12分)(2023·凉山州中考)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C,E两处安装了测速仪,该段隧道的截面示意图如图所示,图中所有点都在同一平面内,且点A,D,B,F在同一直线上.点C,点E到AB的距离分别为CD,EF,且CD=EF=7 m,CE=895 m,在C处测得A点的俯角为30°,在E处测得B点的俯角为45°,小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45 s.
(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1 m);
(2)若该隧道限速80 km/h,判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速 并通过计算说明理由.(参考数据:≈1.4,≈1.7)
【解析】(1)根据题意,四边形CDFE是矩形,∠CAD=30°,∠EBF=45°,∴DF=CE=895 m,
在Rt△EBF中,BF===7(m),
∴DB=DF-BF=895-7=888(m),
在Rt△ACD中,AD===7≈11.9(m),
∴AB=AD+BD=11.9+888≈900(m),
∴A,B两点之间的距离约为900 m;
(2)∵900÷45=20(m/s),
∴小型汽车每小时行驶20×3 600=72 000(m),
∵72 000 m=72 km,72<80,∴小型汽车从点A行驶到点B没有超速.
