2024-2025学年河南省郑州市郑中国际学校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省郑州市郑中国际学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法中正确的是( )
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D. 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形
2.在 中，对角线、相交于点，若，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
3.若是关于的一元二次方程，则的值为( )
A. B. C. D.
4.小明在估算方程的解时，列出的部分对应值如下表：
则可判断方程的解的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
5.若是一元二次方程的一个实数根，则的值是( )
A. B. C. D.
6.若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为( )
A. 或 B. C. D. 或
7.若三角形的两边长分别是和，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是( )
A. B. C. 或 D. 或
8.如图，一根木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，当木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑行时，的中点到点的距离( )
A. 变大 B. 变小
C. 先变小后变大 D. 不变
9.如图，四边形是菱形，，，于，则等于( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，正方形的对角线，相交于，平分交于，于，交于，则下列结论：；；≌；平分其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个
C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，在矩形中，点，分别是，上一点，，只需添加一个条件即可证明四边形为菱形，这个条件可以是 写出一个即可．
12.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
13.若是一个直角三角形两条直角边的长，，满足，则这个直角三角形的斜边长为______．
14.念奴娇赤壁怀古，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物而立之年督东吴，早逝英年两位数十位恰小个位三，个位平方与寿符”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则可列方程为______．
15.如图，有一个长方形纸片，，，点为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为______．
16.如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，点在上运动，当是以为腰的等腰三角形时，则点的坐标为______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
以配方法解方程：．
以公式法解方程：．
．
．
18.本小题分
已知关于的一元二次方程为常数．
若方程的一个根为，求的值及方程的另一个根；
求证：不论为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
19.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
20.本小题分
下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形是平行四边形．
求作：菱形点在上，点在上．
作法：以为圆心，长为半径作弧，交于点；
以为圆心，长为半径作弧，交于点；
连接．
所以四边形为所求的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
完成下面的证明．
证明：，，
____________．
在 中，，
即．
四边形为平行四边形．______填推理的依据
，
四边形为菱形．______填推理的依据
21.本小题分
如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园围墙最长可利用，现在已备足可以砌长的墙的材料．
当长度是多少时，矩形花园的面积为；
能否围成矩形花园面积为，为什么？
22.本小题分
如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
求证：四边形是矩形；
若，，求和的长．
23.本小题分
如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
以下两问二选一进行求解．
当______时，四边形是矩形；
当______时，四边形是菱形．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.且
13.
14.
15.
16.或或
17.解：，
，
，
，
则，
所以．
，
，
，
，
则，
所以．
，
，
，
则或，
所以，．
，
，
，
，
则，
所以．
18.解：把代入方程可得，
解得，
当时，原方程为，
解得，
即方程的另一根为；
，，，
，
不论为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
19.解：根据题意得，
解得；
是方程的一个实数根，则，则，
则即，
解得：舍去或．
故的值为．
20.解：菱形即为所求．
证明：，，
，
在 中，，
即．
四边形为平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，填推理的依据
，
四边形为菱形．邻边相等的四边形是菱形
21.解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
22.解：四边形是菱形，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
四边形是菱形，
，，
，
是的中点，
；
由知，四边形是矩形，
，
，，
，
．

23.证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
；
．
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