2024-2025学年吉林省长春八十七中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春八十七中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.华为手机搭载了全球首款纳米制程芯片，纳米就是米，数据用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3.计算的结果是( )
A. B. C. D.
4.下列运算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形是( )
A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形
6.如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
7.如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，直线分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点，过点作轴与反比例函数的图象相交于点，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.因式分解：______．
10.一元二次方程的根的判别式的值为______．
11.如图，在中，、、分别是、、的中点，若的面积是，则______．
12.如图，在 中，，若的垂直平分线分别交，于点，点，则______．
13.如图，在平面直角坐标系中，、的两点的坐标分别为、，将线段绕某点旋转得到线段若点的对应点的坐标为，则点的坐标为______．
14.在平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，，若对于任意的满足，且此时所对应的函数值的最小值为，则______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
先化简，再求值：，其中．
16.本小题分
一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有数字，，，每张卡片除数字不同外其他都相同小明先从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片记下数字用画树状图或列表的方法，求小明两次抽出的卡片上的数字之和大于的概率．
17.本小题分
在长为，宽为的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．
18.本小题分
如图，在矩形中，，相交于点，，．
求证：四边形是菱形；
若，求四边形的面积．
19.本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点、、、均在格点上在图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
如图， ______．
如图，在上找一点，使．
如图，在上找一点，连结、，使∽．
20.本小题分
某校为了解九年级学生周末家务劳动时长的情况，随机抽取了名学生，调查了这些学生某一周末家务劳动时长单位：分钟的数据，并对数据保留整数进行整理、描述和分析，下面给出部分信息：
学生家务劳动时长的数据在这一组的具体数据如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，
学生家务劳动时长的数据的频数分布直方图如图：
根据以上信息，回答下列问题：
补全频数分布直方图；
学生家务劳动时长的数据的中位数为______；
若该校九年级有学生人，估计该校九年级学生家务劳动时长至少分钟的有______人
21.本小题分
已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示．
分别计算客车从甲地开往乙地的速度及货车的速度；
求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距？
22.本小题分
在九年级上册第章图形的相似时，学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【定理证明】小明想了两种证明定理的方法：
延长至点，使，连结．
过点作的平行线交的延长线于点．
请从小明的两种证明方法中选择一种证明三角形中位线定理．
【定理应用】如图，在中，延长到，使取的中点，连结交于点，求的值．
【能力提升】如图，在中，点在上，且点、分别是、的中点，连结并延长交的延长线于点，连结若，，，则的面积为______．
23.本小题分
如图，在中，，，，是的中点动点从点出发，沿向终点以每秒个单位长度的速度匀速运动，作，交直线于点设点的运动时间为秒．
求的长．
______．
若的面积被的一条边平分时，求的值．
当以、、、为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出的值．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线为常数经过点，点在该抛物线上，点的横坐标为，点的坐标是，以为对角线构造矩形使得轴．
求该抛物线所对应的函数表达式；
当抛物线在、之间的部分包括、两点的最高点与最低点的纵坐标差为时，求点的坐标；
当点在矩形的内部时，求的取值范围；
当点在轴下方时，设抛物线在矩形内部包括边界的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为点到抛物线对称轴的距离为，当时，直接写出的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：原式
，
当时，原式．
16.解：画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中小明两次抽出的卡片上的数字之和是偶数的结果数为，
所以小明两次抽出的卡片上的数字之和大于的概率．
17.解：设小矩形的长为，宽为，由题意得：
，
解得：．
答：小矩形的长为，宽为．
18.证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
四边形是菱形，，
，
≌，
的面积的面积，
四边形的面积是．
19.解：；
如图，点即为所求；
如图，点即为所求．

20.学生家务劳动时长在的有人，
因此补全的频数分布直方图如下：
；
．
21.解：客车从甲地开往乙地的速度为：，
货车的速度为；
由图可知，客车从甲地开到乙地需要，
即点的坐标为，
设客车返回时与之间的函数关系式是，
把，代入得：，
解得，
即客车返回时与之间的函数关系式是；
设客车、货车两车相距千米时，客车行驶了小时，
根据题意得：或或，
解得或或，
因为两车第一次相遇后时间大于小时，
所以或．
答：再经过小时或小时两车之间相距．
22.解：【定理证明】当选择方法时，如图，
延长至点，使，连结，
点为中点，
，
，
≌，
，，
，即，
点为中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，；
当选择方法时，如图，
过点作的平行线交的延长线于点，
，
点为中点，
，
，
≌，
，，
点为中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，；
【定理应用】如图，
取中点，连接，
点为中点，
为的中位线，
，，
点为中点，
，，即：：，
，
；
【能力提升】如图，
连接，取中点，连接，，作于，
点为中点，
为中位线，
，，
点为中点，
为中位线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
23.解：在中，，，，
；
．
当在延长线上时，如图，设与交于点，过作，
此时，将分成两部分，即，
和都是以为底的三角形，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
由知，
，
，
，
，即；
当在线段上时，此时，很明显不可能被的一条边平分，故此情况不存在；
当在线段延长线上时，此时平分的面积，
设与交于点，
平分的面积，
，
如图，过作交于点，过作交于点，作于点，
是中点，
是中点，
，，
，
同易得≌，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得．
综上，的面积被的一条边平分时，的值为或．
，当在延长线上时，
四边形是轴对称图形，
此时四边形是等腰梯形，
，
，
在中，，
即，
整理得，
解得，或舍．
当在线段上时，此时点运动到中点时，四边形是矩形，是轴对称图形，
此时．
当在线段延长线上时，
四边形是轴对称图形，很明显，此时是对称轴，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
综上，的值为或或．
24.解：抛物线经过点，，
，
解得：
抛物线的解析式为：；
抛物线，
抛物线的顶点坐标为，
函数的最小值为，
点的纵坐标为，
当抛物线在、之间的部分包括、两点的最高点与最低点的纵坐标差为时，，
把代入得：，
解得：，，
或．
点的横坐标为，点在抛物线上，
点的坐标为，
轴，点的坐标是，
又四边形为矩形，
点的坐标为，点的坐标为，
当，即时，点在点的右侧，在点的上方，如图所示：
点在矩形的内部，
，
解得：，
综合可得，此时没有符合条件的存在；
当，即时，点在点的右侧，在点的下方，如图所示：
点在矩形的内部，
，
解得：，
综合可得，；
当，即时，点在点的左侧，在点的上方，如图所示：
点在矩形的内部，
，
解得：，
综合可得，；
当，即时，点在点的左侧，在点的下方，如图所示：
根据画图可知，点不可能在矩形的内部；
综上分析可知，点的取值范围是或．
令，
解得：，，
抛物线与轴的另外一个交点为，
点在轴下方，
，
根据解析可知，点在矩形的内部时，或，
，
，
抛物线对称轴为直线
抛物线在矩形内部包括边界的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为：
，
当时，，
点到抛物线对称轴的距离为：，
，
，
解得：或舍去，
的值为．
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