2024-2025学年吉林省第二实验学校南湖校区九年级（上）开学数学试卷（含详解）

2024-2025学年吉林省第二实验学校南湖校区九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，，，，，其中无理数的个数是( )
A. B. C. D.
2.进入春季，有些人会出现花粉过敏症状已知某种花粉颗粒直径约为米，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列计算结果正确的是( )
A. B. C. D.
4.从上面看下面的物体，形状不相同的是( )
A. B. C. D.
5.如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，测得米，则树的高单位：米为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在等腰中，，是三角形内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，按以下步骤作图：以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，交边于点若，点到的距离为，则的周长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限内的图象经过点和点，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.单项式的系数是______．
10.若函数的图象与轴只有一个公共点，则常数的值是______．
11.如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，，，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______结果保留根号．
12.如图，在中，，点为边的中点，点为线段的中点若，，则边的长为______．
13.若一次函数函数的图象随的增大而减小，则的取值范围是______．
14.已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的是______．
；
；
；
关于的方程有实根．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
先化简，再求值：，其中．
16.本小题分
七年级某班为了开展活动，购买了一些体育用品，有个毽球和根跳绳，共用去元，其中每根跳绳的价格比每个毽球价格的倍还多元，求毽球和跳绳的单价．
17.本小题分
如图，在四边形中，，过点分别作于点，于点，且．
求证：四边形是菱形；
若，，则四边形的面积为______．
18.本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图、图、图中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
在图中画的中线．
在图边上找一点，连结，使平分的面积．
在图中的内部找一点，使．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线、为常数与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上，设点的横坐标为．
求此抛物线对应的函数表达式；
将此抛物线上、两点之间的部分包括、两点记为图象图象的最高点与最低点的纵坐标差为时，求的值．
20.本小题分
如图，在中，，，，点、分别是边、上的两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，作点关于直线的对称点，设．
当的面积为时，求的值．
当时，求线段的长．
当点落在四边形的边上时，直接写出的值．
21.本小题分
【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图，在中，点为边上的中点，，，求线段长的取值范围．我们采用的方法是延长线段到点，使得，连结，可证≌，可得，根据三角形三边关系可求的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”则的范围是：______．
【拓展应用】
如图，在中，，，，，求的长．
如图，在中，为边的中点，分别以、为直角边向外作直角三角形，且满足，连结，若，则______直接写出
答案解析
1.
【解析】解：是无理数，
是有理数，
是有理数，
是无理数，
是有理数，
其中无理数是和这个，
故选：．
2.
【解析】解：，
故选：．
3.
【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：．
4.
【解析】解：、、选项的俯视图都是第一行三个正方形，第二行中间一个正方形，选项俯视图是第一行三个正方形，第二行是最左边一个正方形，
所以形状不相同的是选项．
故选：．
5.
【解析】解：由题意得：
，，
在中，米，
米，
故选：．
6.
【解析】解：线段绕点逆时针旋转得到，
，，
为等腰直角三角形，
，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
故选：．
7.
【解析】解：由作图可知是的平分线，
点到的距离为，，
，
在中，根据勾股定理得：
，
的周长，
故选：．
8.
【解析】解：反比例函数在第一象限内的图象经过点和点，
，，
设直线的解析式，
点在直线上，
．
直线的解析式，
过点作轴，交于点则点的坐标为，，
．
故选：．
9.
【解析】解：单项式的系数是，
故答案为：．
10.或
【解析】解：有两种情况：
当时，函数为，
图象为一条直线，与轴有一个交点，
；
当时，的图象与轴只有一个公共点，
令，则，
，
解得：，
故答案为：或．
11.
【解析】解：过点作，交的延长线于点，
，
，
在中，，
，
，
的面积，
需要改造的广场面积是，
故答案为：．
12.
【解析】解：，点为线段的中点，，
，
又，
，
点为边的中点，
，
故答案为：．
13.
【解析】解：一次函数函数的图象随的增大而减小，
，
解得：，
故答案为：．
14.
【解析】解：由所给函数图象可知，
，，，
故错误；
抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点的横坐标在和之间，
抛物线与轴的另一个交点的横坐标在和之间．
又抛物线开口向下，
当时，函数值小于零，
即故正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
即，
又，
故错误；
抛物线的顶点坐标为，
抛物线的图象与直线有交点，
关于的方程有实根．故正确．
结论正确的是．
故答案为：．
15.解：
，
当时，
原式．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
16.解：设毽球的单价是元，则跳绳的单价是元，
根据题意得，
解得，
，
答：毽球和跳绳的单价分别为元和元．
【解析】设毽球的单价是元，则跳绳的单价是元，购买毽球需要元，购买跳绳需要元，于是列方程得，解方程求出的值，再求出代数式的值即可．
17.
【解析】证明：于点，于点，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，，
于点，于点，，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
18.解：如图，取格点、，连接交于点，连接，
点及就是所求的图形．
理由：连接，则，，
，
在和中，
，
≌，
；
线段的垂直平分线，交于，连接，线段即为所求；
理由：如图，过作于，
垂直平分，
，
，，
，
平分的面积．
如图，取的中点及格点，连接、交于点，连接，点及就是所求的图形．
理由：如图，≌，
，
点为格点，
取格点，连接，则，
∽，
，，，
，
，
．
【解析】根据三角形中线的定义画出图形即可；
作线段的垂直平分线，交于，连接即可；
取格点，作的垂直平分线交于，连接，交于，则，
19.解：将点，代入，得，
解得：，
此抛物线对应的函数表达式为；
，
抛物线的顶点坐标为，
分两种情况：当点在对称轴的右侧时，点的纵坐标为，
，
解得：或舍去；
当点在对称轴的左侧时，点的纵坐标为，
，
解得：舍去或．
的值为或．
【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
分两种情况：当点在对称轴的右侧时，点的纵坐标为；当点在对称轴的左侧时，点的纵坐标为根据题意，得出关于的一元二次方程，根据解一元二次方程的方法，得出符合题意的值即可．
20.解：由题意得，，，，
，，
的面积为，
，即，
解得：，，
，
的值为或．
如图，设与交于点，
在中，，
点与点关于直线对称，
，，，
，
，
，
，即，
，
，
∽，
，即，
，
．
当点落在四边形的边上时，如图，
则，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，即，
解得：，
，，
是等腰直角三角形，
，
；
当点落在四边形的边上时，如图，
则垂直平分，
，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
；
综上所述， 的值为或．
【解析】根据三角形面积建立方程求解即可；
设与交于点，根据对称性质得出：，，，推出，再由平行线的判定得出，运用平行线分线段成比例建立方程求解求得的值，再证得∽，利用相似三角形性质求得，即可求得；
分两种情况：当点落在四边形的边上时，当点落在四边形的边上时，分别利用等腰直角三角形性质、解直角三角形即可求得答案．
21.
【解析】解：【问题探究】
在中，
，
，
，
故答案为：；
【拓展应用】
如图，延长到点，使，连结，
，，，
≌，
，，，
在中，，，
，
；
如图，延长到点，使，连结，
由知道≌，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
故答案为：．
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